ทำไมฟังก์ชั่นนี้จึงคำนวณได้

ตำราของฉันบอกว่า: "เรากำหนดฟังก์ชันดังนี้:และ . โปรดทราบว่าเมื่อได้รับเราสามารถหาได้ง่ายในเวลาที่หมายเลขที่ถูกคั่นระหว่างและ "$f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$$f(1)=2$$f(i+1)=2^{f(i)^{1.2}}$$n$$O(n^{1.5})$$i$$n$$f(i)$$f(i+1)$

ฉันจะโน้มน้าวตัวเองว่าจริง ๆ แล้วเราสามารถหาได้อย่างง่ายดายในเวลา ? ในฐานะที่เป็นถูกกำหนดซ้ำผมคิดว่าเราต้องคำนวณจนกว่าn เพื่อที่จะหาเวลาที่การคำนวณเหล่านี้ใช้ฉันคิดว่าเราต้องหาขอบเขตบนที่เหมาะสมสำหรับขึ้นอยู่กับและเราต้องหาขอบเขตบนของเวลาดำเนินการของฟังก์ชัน1.2}} ในท้ายที่สุดเราหวังว่าจะสามารถแสดงข้อเสนอที่ยกมา น่าเสียดายที่ฉันไม่เห็นสิ่งใดเลย$i$$O(n^{1.5})$$f$$f(1),f(2),f(3)\dots f(j)$$f(j)\geq n$$i$$n$$x\to2^{x^{1.2}}$

ฉันลืมที่จะพูดถึง: โปรดทราบว่าเราอยู่ในบริบท nondeterministic ดังนั้นจึงอ้างว่าสามารถคำนวณได้ในโดยเครื่องจักรทัวริง nondeterministic$f$$O(n^{1.5})$

เนื่องจากมีบางคนที่อ่านคำถามนี้แล้วบางคนพบว่ามันมีประโยชน์และน่าสนใจเช่นกัน แต่ไม่มีใครตอบฉันต้องการให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับบริบท: การอ้างสิทธิ์ที่อ้างถึงเป็นส่วนหนึ่งของการพิสูจน์ ทฤษฎีลำดับชั้นของเวลา nondeterministic หลักฐาน (พร้อมสิทธิ) สามารถพบได้เช่นในหนังสือโดย Arora และ Barakแต่ฉันได้พบแหล่งข้อมูลอื่น ๆ บนเว็บด้วยซึ่งนำเสนอหลักฐานเดียวกัน แต่ละคนเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนง่ายหรือไม่สำคัญและไม่ได้อธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับวิธีหาในเวลา ดังนั้นทั้งแหล่งข้อมูลเหล่านี้เพิ่งคัดลอกมาจาก Arora และ Barak หรือการอ้างสิทธิ์ในความเป็นจริงก็ไม่ยาก$i$$O(n^{1.5})$

แสดงโดย $|x|$ ความยาวของตัวเลข $x$เช่น $\lfloor \log_2 x \rfloor + 1$ (สำหรับ $x > 0$) การคำนวณ$2^x$ ต้องใช้เวลา $O(x)$ ในรูปแบบ RAM และการคำนวณ $f(i+1)$ จาก $f(i)$ ใช้เวลา $O(f(i)^{1.2}) = O(|f(i+1)|)$. ตั้งแต่$f(i)$ มีการเติบโตเร็วกว่าทางเรขาคณิตเวลาในการคำนวณโดยรวม $f(i+1)$ คือ $O(|f(i+1)|)$. ในขณะที่คุณชี้ให้เห็นคุณจะต้องทำเช่นนั้นจนกระทั่ง$f(i+1) \geq n$ซึ่งหมายความว่า $f(i) < n$. ดังนั้นเวลาทำงานทั้งหมดคือ$O(|f(i+1)|) = O(f(i)^{1.2}) = O(n^{1.2})$.

ในโมเดลเครื่องทัวริงด้วยเทปเดียวการคำนวณ $2^x$ ใช้เวลา $O(x\log x)$และเวลาการทำงานทั้งหมดคือ $O(n^{1.2} \log n) = O(n^{1.5})$. อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณ$2^x$ แทนที่ $[x]$ โดย $1[[x]]$ (ที่นี่ $[x]$ เป็นตัวแทนไบนารีของ $x$และ $[[x]]$ เป็นตัวแทนไบนารีที่ใช้ตัวเลขต่างกัน $0',1'$) จากนั้นเรียกใช้การแปลงซ้ำ ๆ $[[x]] \longrightarrow 0[[x-1]]$ซึ่งต้องใช้เวลา $O(|x|) = O(\log x)$.