ขอบเขตรันไทม์บนอัลกอริธึมของปัญหาที่สมบูรณ์ของปัญหาสมมติว่า P ≠ NP

สมมติ $P\neq NP$ P

เราสามารถพูดอะไรได้บ้างเกี่ยวกับขอบเขตการทำงานของปัญหา NP-complete ทั้งหมด?

นั่นคือฟังก์ชันที่รัดกุมที่สุดคือ $L,U:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ ซึ่งเราสามารถรับประกันได้ว่าอัลกอริธึมที่ดีที่สุดสำหรับปัญหา NP-Complete ใด ๆ ที่ทำงานในเวลาอย่างน้อย $\omega(L(n))$ และที่มากที่สุด $o(U(n))$ ในอินพุทที่มีความยาว $n$ ?

เห็นได้ชัดว่า $\forall c:L(n)=\Omega(n^c)$ )นอกจากนี้ $U(n) = O(2^{n^{\omega(1)}})$ )

หากปราศจากการสมมติว่า $QP\neq NP$ , $ETH$ หรือสมมติฐานอื่นใดที่ไม่ได้บอกเป็นนัยโดย $P\neq NP$ เราสามารถให้ขอบเขตที่ดีกว่ากับ $L,U$ หรือไม่?

แก้ไข:

โปรดทราบว่าอย่างน้อยหนึ่ง $L,U$ จะต้องอยู่ห่างจากขอบเขตที่ฉันให้ที่นี่เนื่องจากเป็นปัญหา NPC ปัญหาเหล่านี้มีการลดเวลาโพลีระหว่างกันซึ่งหมายความว่าหากปัญหา NPC บางอย่างมีอัลกอริทึมที่เหมาะสมที่สุดของเวลา $f(n)$ แล้วทุกปัญหามีขั้นตอนวิธี (ที่ดีที่สุดหรือไม่) ของรันไทม์ $O(f(n^{O(1)}))$ )

— RB
แหล่งที่มา

ถ้า P

NP เราสามารถพูดได้ว่าขอบเขตรันไทม์มีขนาดใหญ่กว่าพหุนามใด ๆ .... afaik ไม่, ขอบเขตที่ดีกว่าไม่เป็นที่รู้จัก .... สัญกรณ์จำนวนมากไม่ได้ chg ว่า ... มีอยู่ superpolynomial - แต่ - subexponential ฟังก์ชั่นเช่น

\neq

$\neq$

2^{\log n}

$2^{\log n}$

— vzn

ครั้งแรกที่

เป็นเส้นตรงเพียงดังนั้นฉันคิดว่าคุณหมายถึง

ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในชั้นเรียน

ฉันรู้อย่างเต็มที่ว่า

ไม่ได้หมายความว่าฟังก์ชั่น NP-complete จะทำงานในเวลาที่อธิบาย แต่นั่นไม่ใช่สิ่งที่ฉันขอ ตัวอย่างเช่นสมมติว่า

เป็นไปได้ว่าปัญหา NPC สามารถแก้ไขได้ใน

2^{\log n}

$2^{\log n}$

2^{p o l y l o g (n)}

$2^{polylog(n)}$

Q P

$QP$

P \neq N P

$P\neq NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

, ที่

เป็นฟังก์ชัน Ackermann แบบผกผัน? สัญลักษณ์เป็นเพียงเครื่องมือที่ใช้ในการแสดงคำถามของฉันอย่างเป็นทางการ ..

2^{l o g (n) \cdot l o g^{*} (n)}

$2^{log(n)\cdot log^*(n)}$

l o g^{*} (n)

$log^*(n)$

— RB

ขอบคุณสำหรับการแก้ไข ไม่ค่อยมีใครรู้จักในพื้นที่นี้ afaik ลองคำถามนี้NTime (n ^ k) =? DTime (n ^ k) tcs.se

— vzn

@RB ในขณะที่มันเป็นความจริงที่ในแต่ละ "โลกที่เป็นไปได้" มีขอบเขตที่ต่ำกว่าและสูงกว่าซึ่งอยู่ในพหุนามของกันและกันซึ่งไม่ชัดเจนว่าเป็นไปได้ที่ขอบเขตเบื้องต้นจะเป็นอย่างไร

— Yuval Filmus

การตีความคำถามของฉันคือถามเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในโลกที่สัมพันธ์กัน สมมติว่าในโลก relativized บาง Pเราสามารถอนุมานอะไรที่ไม่สำคัญกับปัญหาความซับซ้อนของปัญหา NP-complete ได้หรือไม่? เบเกอร์-ปลา Solovay โต้แย้งแสดงให้เห็นว่าเราสามารถ "บังคับ" บางปัญหา NP ที่จะต้องใช้เวลาชี้แจงดังนั้นขอบเขตบนได้รับในคำถามเป็นหลักที่ดีที่สุด $P \neq NP$

เกี่ยวกับการที่ถูกผูกไว้ที่ต่ำกว่าที่เราวาดด้านล่างหลักฐานที่เทียบกับ oracle บาง )สมมติว่าหลักฐานสเก็ตช์นั้นถูกต้องเราสามารถนำไปใช้กับฟังก์ชั่นที่มีขนาดเล็กกว่าและนี่แสดงให้เห็นว่าขอบเขตล่างที่ให้ในคำถามนั้นก็แน่น $NP = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$ $2^{O(\log^2 n)}$

ร่างหลักฐาน เราสร้าง oracle สองตัว : ตัวแรกทำตัวเหมือน - ปัญหาที่สมบูรณ์และที่สองใช้การทำเครื่องหมายทแยงมุม Baker – Gill – Solovay เป็นเรื่องตรงไปตรงมาที่จะบรรจุ oracle ทั้งสองไว้ใน oracle เดียว $O_1,O_2$ $\mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$

oracle ประกอบด้วยคู่ทั้งหมดเช่นนั้นเป็นเครื่องทัวริงของ Oracle ที่ยอมรับในเวลาทำงาน $O_1$ $\langle M, x \rangle$ $M$ $x$ เมื่อให้การเข้าถึง oraclesจำกัด ให้อินพุตที่ความยาวสูงสุด $2^{2^{\sqrt{\log |x|}}}$ $O_1,O_2$ . (นี่ไม่ใช่นิยามแบบวงกลม) $2^{\sqrt{\log |x|}}$

oracle ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับที่ oracle กำหนดไว้ใน Baker – Gill – Solovay: สำหรับเครื่อง oracle ทัวริงแบบโอเวอร์คล็อกแต่ละตัวทำงานในเวลาเราจะพบความยาวอินพุตซึ่งคือ "ไม่มีการแตะ" รันวันที่สำหรับขั้นตอนและสำหรับแต่ละแบบสอบถามถึงของขนาดเราทำเครื่องหมายว่าอินพุตนี้ไม่ได้อยู่ใน (สำหรับข้อความค้นหาอื่น ๆ เรายังทำเครื่องหมายว่าอินพุตนั้นไม่มีอยู่เว้นแต่ว่าเรา ได้ตัดสินใจแล้วว่ามันเป็นใน $O_2$ $M$ $T = 2^{o(\log^2 n)}$ $n$ $M$ $1^n$ $T$ $O_2$ $n$ $O_2$ ) การค้นหาไปยังได้รับการจัดการในทำนองเดียวกัน (เนื่องจากการสืบค้นโดยนัยถึงมีขนาดเล็กลง ขอให้สังเกตว่าแบบสอบถามดังกล่าวไม่เคยพูดถึงสตริงที่มีความยาวในตั้งแต่ $O_2$ $O_1$ $O_1,O_2$ $n$ $O_2$ nถ้าเครื่องรับเราทำเครื่องหมายสตริงอื่น ๆ ทั้งหมดของความยาวในเป็นหายไปมิฉะนั้นเราเลือกสตริงที่มีความยาวบางและวางไว้ใน2 $2^{\sqrt{\log T}} < n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$

คลาสประกอบด้วยโปรแกรมทั้งหมดที่รันในเวลา $P^{O_1,O_2}$ ทำการสอบถามของขนาด $2^{2^{O(\sqrt{\log n})}}$ $O_1,O_2$ )ชั้นเป็นของแบบฟอร์มที่และดังนั้นจึงมีอยู่ในชั้นเรียนของโปรแกรมทั้งหมดที่ทำงานในเวลาและการทำคำสั่ง oracle ขนาด $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $NP^{O_1,O_2}$ $x \mapsto \exists |y|<n^C \varphi(x,y)$ $\varphi \in P^{O_1,O_2}$ $2^{n^C}$ )ส่วนหลังมีอยู่ในเนื่องจากเราสามารถใช้เพื่อตัดสินใจได้ นี้แสดงให้เห็นว่า2 $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $\mathrm{TIME}(2^{\log^2 n^C})^{O_1,O_2}$ $O_1$ $NP^{O_1,O_2} \subseteq \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

$L$ $1^n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$ $L \notin \mathrm{TIME}(2^{o(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ $L \in NP^{O_1,O_2}$ $NP^{O_1,O_2} = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

Π

$\Pi$

Ω (2^{n^{c}})

$\Omega(2^{n^c})$

Ω (2^{n^{Ω (1)}})

$\Omega(2^{n^{\Omega(1)}})$

Π

$\Pi$

Π

$\Pi$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

E T H

$ETH$

— RB

E T H

$ETH$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

คุณไม่ได้หายไปอะไร มีโลกที่สัมพันธ์กันซึ่ง ETH เป็นความจริง มีอีกโลกที่มีความสัมพันธ์ซึ่ง P = NP และอื่น ๆ โดยเฉพาะ ETH นั้นเป็นเท็จ

— Yuval Filmus

P \neq N P

$P\neq NP$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

P ⊊ Q P = N P

$P\subsetneq QP = NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

ในคำตอบของฉันฉัน (ต้นฉบับ) ให้โลก relativized ซึ่งn)}) โลก relativized ได้อีก(1)}}) ในโลก relativized ๆ อื่น ๆPเกี่ยวกับฉันไม่เรียกร้องอะไรเลย

N P = T I M E (n^{O (\log n)})

$NP = \mathrm{TIME}(n^{O(\log n)})$

N P = T I M E (2^{n^{O (1)}})

$NP = \mathrm{TIME}(2^{n^{O(1)}})$

P = N P

$P=NP$

Q P

$QP$

— Yuval Filmus