อัลกอริทึมในการค้นหาเส้นผ่านศูนย์กลางของต้นไม้โดยใช้ BFS / DFS ทำไมมันทำงาน

นี้การเชื่อมโยงให้อัลกอริทึมสำหรับการหาขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางของต้นไม้ไม่มีทิศทางใช้ BFS สรุป:

รัน BFS บนโหนดใด ๆ ในกราฟโดยระลึกถึงโหนดที่ค้นพบล่าสุด รัน BFS จากการที่คุณจดจำโหนด v ที่พบล่าสุด d (u, v) คือเส้นผ่านศูนย์กลางของต้นไม้

ทำไมมันทำงาน

หน้า 2 ของสิ่งนี้ให้เหตุผล แต่มันทำให้เกิดความสับสน ฉันกำลังอ้างอิงส่วนเริ่มต้นของการพิสูจน์:

รัน BFS บนโหนดใด ๆ ในกราฟโดยระลึกถึงโหนดที่ค้นพบล่าสุด รัน BFS จากการที่คุณจดจำโหนด v ที่พบล่าสุด d (u, v) คือเส้นผ่านศูนย์กลางของต้นไม้

ความถูกต้อง: ให้ a และ b เป็นสองโหนดใด ๆ ที่ d (a, b) คือเส้นผ่านศูนย์กลางของต้นไม้ มีเส้นทางที่ไม่ซ้ำกันจาก a ถึง b ปล่อยให้เป็นโหนดแรกบนเส้นทางที่ค้นพบโดย BFS หากเส้นทาง$p_1$จาก s ถึง u และ$p_2$จาก a ถึง b ไม่แชร์ขอบดังนั้นเส้นทางจาก t ถึง u รวมถึง s ดังนั้น

$d(t,u) \ge d(s,u)$

$d(t,u) \ge d(s,a)$

.... (มีความไม่เท่าเทียมเพิ่มขึ้นตามมา .. )

ความไม่เท่าเทียมนั้นไม่สมเหตุสมผลสำหรับฉัน

ทุกส่วนของการพิสูจน์บานพับการเรียกร้องกับคุณสมบัติที่สำคัญ 2 ประการของต้นไม้ที่มีขอบที่ไม่ได้บอกทิศทาง:

• 1-connectedness (เช่นระหว่าง 2 โหนดในทรีมีทางเดียวเท่านั้น)
• โหนดใด ๆ สามารถทำหน้าที่เป็นรากของต้นไม้

เลือกต้นไม้พลโหนดsสมมติว่าคุณ, v ∈ V ( G )เป็นโหนดที่มีd ( u , v ) = d ฉันa m $s$$u, v \in V(G)$ ) สมมติต่อไปว่าอัลกอริทึมค้นหาโหนด xเริ่มต้นที่ sบางโหนด yเริ่มต้นที่ xถัดไป WLOG d ( s , U ) ≥ d ( s , โวลต์ ) ทราบว่า$d(u,v) = diam(G)$$x$$s$$y$$x$$d(s,u) \geq d(s,v)$ต้องถือเว้นแต่ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมจะไม่จบลงที่x เราจะเห็นว่า d ( x , Y ) = d ( U , V )$d(s,x) \geq d(s,y)$$x$$d(x,y) = d(u,v)$

การกำหนดค่าทั่วไปของโหนดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องสามารถเห็นได้ในกราฟิกหลอกต่อไปนี้ (อาจเป็นหรือs = z x yหรือทั้งสองอย่าง):$s = z_{uv}$$s = z_{xy}$

(u)                                            (x)
  \                                            /
   \                                          /
    \                                        /
     ( z_uv )---------( s )----------( z_xy )
    /                                        \
   /                                          \
  /                                            \
(v)                                            (y)

เรารู้ว่า:

1. ) มิฉะนั้น d ( u , v ) < d ฉันa m ( G )ขัดแย้งกับสมมติฐาน$d(z_{uv},y) \leq d(z_{uv},v)$$d(u,v) < diam(G)$
2. ) มิฉะนั้น d ( u , v ) < d ฉันa m ( G )ขัดแย้งกับสมมติฐาน$d(z_{uv},x) \leq d(z_{uv},u)$$d(u,v) < diam(G)$
3. มิฉะนั้นขั้นตอนที่ 1 ของขั้นตอนวิธีจะไม่ได้หยุดอยู่ที่x$d(s,z_{xy}) + d(z_{xy},x) \geq d(s,z_{uv}) + d(z_{uv},u)$$x$
4. มิฉะนั้นเวทีที่ 2 ของอัลกอริทึมจะไม่ได้หยุดอยู่ที่ปี$d(z_{xy},y) \geq d(v,z_{uv}) + d(z_{uv},z_{xy})$$y$

1) และ 2) บ่งบอกถึง )$\, \\ d(u,v) = d(z_{uv},v) + d(z_{uv},u) \\ \qquad\geq d(z_{uv},x) + d(z_{uv},y) = d(x,y) + 2\, d(z_{uv}, z_{xy}) \\ \qquad\qquad\geq d(x,y)$

3) และ 4) บ่งบอกถึง $\, \\ d(z_{xy},y) + d(s,z_{xy}) + d(z_{xy},x) \\ \qquad\geq d(s,z_{uv}) + d(z_{uv},u) + d(v,z_{uv}) + d(z_{uv},z_{xy}) \qquad\qquad\qquad\qquad \\ \,$ เทียบเท่ากับ )$\, \\ d(x,y) = d(z_{xy},y) + d(z_{xy},x) \\ \qquad\geq 2*\,d(s,z_{uv}) + d(v,z_{uv}) + d(u,z_{uv}) \\ \qquad\qquad\geq d(u,v)$

ดังนั้น )$d(u,v) = d(x,y)$

การพิสูจน์แบบอะนาล็อกมีไว้สำหรับการกำหนดค่าทางเลือก

                 (u)                          (x)
                   \                          /
                    \                        /
                     \                      /
     ( s )---------( z_uv )----------( z_xy )
                     /                      \
                    /                        \
                   /                          \
                 (v)                          (y)

และ

                          (x)        (u)  
                          /            \  
                         /              \ 
                        /                \
     ( s )---------( z_xy )----------( z_uv )
                        \                /          
                         \              /           
                          \            /            
                          (y)        (v)            

นี่คือการกำหนดค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากผลมาจากขั้นตอนที่ 1 ของอัลกอริทึมและY ∉ พีทีเอช( x , U $x \not\in path(s,u), x \not\in path(s,v)$เนื่องจากระยะที่ 2$y \not\in path(x,u), y \not\in path(x,v)$

สัญชาตญาณด้านหลังเป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจ สมมติว่าฉันต้องค้นหาเส้นทางที่ยาวที่สุดที่มีอยู่ระหว่างสองโหนดในต้นไม้ที่กำหนด

หลังจากวาดไดอะแกรมเราสามารถสังเกตได้ว่าเส้นทางที่ยาวที่สุดจะเกิดขึ้นระหว่างโหนดใบไม้สองโหนด (โหนดที่มีการเชื่อมโยงขอบเดียวเท่านั้น) สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยความขัดแย้งว่าถ้าเส้นทางที่ยาวที่สุดอยู่ระหว่างสองโหนดและอย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองโหนดไม่ได้เป็นโหนดใบจากนั้นเราสามารถขยายเส้นทางเพื่อให้ได้เส้นทางที่ยาวขึ้น

ดังนั้นวิธีหนึ่งคือตรวจสอบว่าโหนดใดเป็นโหนดลีฟก่อนจากนั้นจึงเริ่ม BFS จากโหนดโหนดใดโหนดหนึ่งเพื่อให้ได้โหนดที่อยู่ไกลที่สุดจากโหนดนั้น

แทนที่จะค้นหาว่าโหนดใดเป็นโหนดใบเราจะเริ่มต้น BFS จากโหนดสุ่มและจากนั้นดูว่าโหนดใดอยู่ไกลที่สุด ให้โหนดอยู่ไกลที่สุดคือ x เป็นที่ชัดเจนว่า x เป็นโหนดลีฟ ตอนนี้ถ้าเราเริ่มต้น BFS จาก x และตรวจสอบโหนดที่ไกลที่สุดจากนั้นเราจะได้คำตอบของเรา

แต่การรับประกันว่า x จะเป็นจุดสิ้นสุดของเส้นทางสูงสุดคืออะไร?

ลองดูตัวอย่าง: -

       1   
    / /\ \
   6 2  4 8
         \ \
          5 9
           \
            7

สมมติว่าฉันเริ่มต้น BFS ของฉันจาก 6 โหนดที่ระยะทางสูงสุดจาก 6 คือโหนด 7 โดยใช้ BFS เราสามารถรับโหนดนี้ได้ ตอนนี้เราติดดาว BFS จากโหนด 7 เพื่อรับโหนด 9 ที่ระยะทางสูงสุด เส้นทางจากโหนด 7 ไปยังโหนด 9 เป็นเส้นทางที่ยาวที่สุดอย่างชัดเจน

เกิดอะไรขึ้นถ้า BFS ที่เริ่มต้นจากโหนด 6 ให้ 2 เป็นโหนดที่ระยะทางสูงสุด จากนั้นเมื่อเราจะ BFS จาก 2 เราจะได้รับ 7 เป็นโหนดที่ระยะทางสูงสุดและเส้นทางที่ยาวที่สุดจะเป็น 2-> 1-> 4-> 5-> 7> ความยาว 4 แต่ความยาวเส้นทางที่ยาวที่สุดที่แท้จริงคือ 5 ซึ่งไม่สามารถ เกิดขึ้นเนื่องจาก BFS จากโหนด 6 จะไม่ให้โหนด 2 เป็นโหนดที่ระยะทางสูงสุด

หวังว่าจะช่วย

นี่เป็นข้อพิสูจน์ที่เป็นไปตามชุดโซลูชั่น MIT ที่เชื่อมโยงกับคำถามเดิมอย่างใกล้ชิดยิ่งขึ้น เพื่อความชัดเจนฉันจะใช้สัญลักษณ์เดียวกับที่ใช้เพื่อการเปรียบเทียบสามารถทำได้ง่ายขึ้น

สมมติว่าเรามีจุดยอดสองจุดและbเพื่อให้ระยะห่างระหว่างaและbบนเส้นทางp ( a , b )เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางเช่นระยะทางd ( a , b )เป็นระยะทางสูงสุดระหว่างจุดสองจุดใด ๆ ในต้นไม้ สมมติว่าเรามีโหนดs ≠ a , b (ถ้าs = aดังนั้นจะเห็นได้ชัดว่ารูปแบบการทำงานเนื่องจาก BFS แรกจะได้รับbและที่สองจะกลับไป a) สมมติว่าเรามีโหนด$a$$b$$a$$b$$p(a, b)$$d(a, b)$$s \neq a, b$$s = a$$b$ดังกล่าวว่า d ( s , U ) = สูงสุดx d ( s , x )$u$$d(s, u) = \max_x d(s, x)$

เล็มม่า 0: ทั้งและbเป็นโหนดลีฟ$a$$b$

การพิสูจน์: หากพวกเขาไม่ได้เป็นโหนดใบเราสามารถเพิ่มโดยการขยายจุดปลายไปยังโหนดใบตรงกันข้ามกับd ( a , b )เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง$d(a,b)$$d(a, b)$

แทรก 1: )$\max [d(s,a), d(s, b)] = d(s, u)$

พิสูจน์: สมมติว่าเพื่อประโยชน์ของความขัดแย้งว่าทั้งและd ( s , B )อย่างเคร่งครัดน้อยกว่าd ( s , U ) เราดูสองกรณี:$d(s, a)$$d(s,b)$$d(s, u)$

กรณีที่ 1: เส้นทางไม่ได้มีจุดสุดยอดของ ในกรณีนี้d ( a , b )ต้องไม่เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง เพื่อดูว่าทำไมปล่อยให้เสื้อเป็นจุดสุดยอดไม่ซ้ำกันในพี( , ข)กับระยะทางที่เล็กที่สุดs จากนั้นเราจะเห็นว่าd ( a , u ) = d ( a , t ) + d ( t , $p(a, b)$$s$$d(a, b)$$t$$p(a, b)$$s$ , ตั้งแต่ d ( s , u ) > d ( s , b ) = d ( s , t ) + d ( t , b ) > d $d(a, u) = d(a, t) + d(t, s) + d(s, u) > d(a, b) = d(a, t) + d(t, b)$ ) ในทำนองเดียวกันเราก็จะมี d ( ข, U ) > d ( , B ) สิ่งนี้ขัดแย้งกับ d ( a , b )เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง$d(s, u) > d(s, b) = d(s, t) + d(t, b) > d(t, b)$$d(b, u) > d(a, b)$$d(a, b)$

กรณีที่ 2: เส้นทางมีจุดสุดยอดของ ในกรณีนี้d ( , ข)อีกครั้งไม่สามารถเส้นผ่าศูนย์กลางตั้งแต่จุดสุดยอดบางยูดังกล่าวว่าd ( s , U ) = สูงสุดx d ( s , x )ทั้งd ( , U )และD ( ข, u )จะมากกว่า$p(a, b)$$s$$d(a, b)$ $u$$d(s, u) = \max_x d(s, x)$$d(a, u)$$d(b, u)$ )$d(a, b)$

แทรก 1 ให้เหตุผลว่าทำไมเราเริ่มต้นการค้นหาในแนวกว้างสองที่ผ่านมาค้นพบจุดสุดยอดของ BFS แรก ถ้ามึงเป็นจุดสุดยอดที่ไม่ซ้ำกับระยะทางที่เป็นไปได้มากที่สุดจากsแล้วโดยบทแทรก 1 มันจะต้องเป็นหนึ่งในปลายทางของเส้นทางที่มีระยะทางบางเท่ากับเส้นผ่าศูนย์กลางและด้วยเหตุนี้ BFS สองกับยูเป็นรากอย่างไม่น่าสงสัยพบ เส้นผ่าศูนย์กลาง ในทางกลับกันถ้าอย่างน้อยหนึ่งจุดยอดvอื่นที่d ( s , v ) = d ( s , u ) , จากนั้นเรารู้ว่าเส้นผ่านศูนย์กลางเป็น$u$$u$$s$$u$$v$$d(s, v) = d(s, u)$$d(a, b) = 2d(s, u)$$u$$v$

ขั้นแรกให้เรียกใช้ DFS จากโหนดสุ่มจากนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางของต้นไม้คือเส้นทางระหว่างใบไม้ที่ลึกที่สุดของโหนดในทรีย่อยของ DFS:

ตามคำนิยามของ BFS ระยะทาง (จากโหนดเริ่มต้น) ของแต่ละโหนดที่สำรวจจะเท่ากับระยะทางของโหนดก่อนหน้านี้ที่สำรวจหรือมากกว่าโดย 1 ดังนั้นโหนดสุดท้ายที่สำรวจโดย BFS จะอยู่ในกลุ่มที่ไกลที่สุดจากจุดเริ่มต้น ปม

ดังนั้นอัลกอริทึมของการใช้ BFS จำนวนสองครั้งเพื่อ "เลือกโหนดโดยพลการ $x$. ค้นหาโหนด$a$ ไกลที่สุดจาก $x$ (โหนดสุดท้ายที่ BFS ค้นพบเริ่มต้นจาก $x$) ค้นหาโหนด$b$ ไกลที่สุดจาก $a$ (โหนดสุดท้ายที่ BFS ค้นพบเริ่มต้นจาก $a$) "ซึ่งพบระยะสองโหนดที่มีระยะทางสูงสุดจากแต่ละโหนด

สิ่งสำคัญที่ควรทราบคือต้นไม้มักจะเป็นแนวระนาบซึ่งหมายความว่าสามารถวางบนระนาบได้บ่อยครั้งที่การคิดแบบสองมิติ ในกรณีนี้อัลกอริทึมพูดว่าเริ่มต้นได้ทุกที่ไกลที่สุดเท่าที่จะทำได้ ระยะทางจากจุดนั้นไปไกลที่สุดเท่าที่คุณสามารถหลีกเลี่ยงได้จากจุดนั้นคือระยะทางที่ยาวที่สุดในต้นไม้และทำให้เส้นผ่าศูนย์กลาง

วิธีนี้จะใช้เพื่อหาเส้นผ่านศูนย์กลางของเกาะจริงที่มีอยู่จริงถ้าเรากำหนดว่าเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่เล็กที่สุดซึ่งจะล้อมรอบเกาะอย่างเต็มที่

@op, the way the cases are defined in the PDF may be a bit off.

I think that the two cases should be:

1. $p_1$ does not intersect with $p_2$, i.e. there are no common vertices between paths $p_1$ and $p_2$. In this case, define $t$ as the first node on $p_2$ discovered by the first BFS starting at $s$.

2. $p_1$ and $p_2$ have at least one common vertex. In this case, define $t$ to be the first node on $p_2$ discovered by the first BFS that is also on $p_1$.

The rest of the proof in the PDF should follow.

With this definition, the figure shown by OP falls into Case 2.