ความซับซ้อนในการค้นหาเมทริกซ์ pseudoinverse

จำเป็นต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์จำนวนเท่าใดเพื่อค้นหาเมทริกซ์ pseudoinverseของMoore – Penroseในฟิลด์ใด ๆ

ถ้าเมทริกซ์กลับด้านและมีค่าซับซ้อนแสดงว่ามันเป็นแค่อินเวอร์ส การค้นหาอินเวอร์สนั้นใช้เวลา $O(n^\omega)$ โดยที่ $\omega$ คือค่าคงที่การคูณเมทริกซ์ มันเป็นทฤษฎีบท 28.2 ในบทนำสู่อัลกอริทึมรุ่นที่ 3

หากเมทริกซ์มีแถว linearly อิสระหรือคอลัมน์และซับซ้อนมูลค่าแล้วเมทริกซ์ pseudoinverse สามารถคำนวณกับหรือตามลำดับที่เป็น transpose คอนจูเกต ของ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนี้หมายถึงเวลาสำหรับการค้นหา pseudoinverse ของ $A$ $A^*(A A^*)^{-1}$ $(A A^*)^{-1}A^*$ $A^*$ $A$ $O(n^\omega)$ $A$

สำหรับเมทริกซ์ทั่วไปอัลกอริทึมที่ฉันเห็นใช้การสลายตัว QR หรือ SVD ซึ่งดูเหมือนว่าจะใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด มีอัลกอริทึมที่ใช้การดำเนินงานน้อยลงหรือไม่ $O(n^3)$

algorithms linear-algebra

— เจ้า Xu
แหล่งที่มา

ฉันมีการติดตามมันอาจจะธรรมดาเกินไป แต่คุณสามารถยืนยันสิ่งที่nในสมการความซับซ้อนได้ที่นี่ มันคือมิติของเมทริกซ์และถ้าเมทริกซ์ไม่ใช่สแควร์

— Mike Pomp

ในการอ้างว่าผกผันสามารถพบได้ในเวลา

เวลา

เป็นมิติของเมทริกซ์จตุรัส ถ้าเมทริกซ์ไม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสคุณอาจใช้

เป็นมิติที่ใหญ่กว่าได้

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$

n

$n$

n

$n$

— David Richerby

ตั้งแต่นี้เป็นคำถามง่ายฉันได้ตอบที่นี่ อย่างไรก็ตามหากคุณมีคำถามเพิ่มเติมโปรดถามพวกเขาเป็นหน้าของตัวเองโดยใช้ปุ่ม "ถามคำถาม" ที่ด้านบนของหน้า คุณสามารถลิงค์กลับมายังหน้านี้เพื่อบอกบริบท ไซต์นี้มีการตั้งค่าสำหรับหนึ่งคำถามต่อหน้าเท่านั้น: ไม่มีเธรดและการโพสต์ไปตามการโหวตของพวกเขาดังนั้นสิ่งต่าง ๆ ยุ่งเหยิงอย่างยิ่งยวดกับคำถามมากกว่าหนึ่งคำถามบนหน้าเว็บ มีข้อมูลเพิ่มเติมได้ที่สั้น ๆ ของเราคือการท่องเที่ยวและเราศูนย์ช่วยเหลือ

— David Richerby

ก่อนอื่นผู้คนมักจะลืมว่าน้อยมาก เมื่อใดก็ตามที่เราเขียนเราจริงหมายสำหรับทุกมีเป็นขั้นตอนวิธีการทำงานในเวลา ) $\omega$ $O(n^\omega)$ $\gamma > \omega$ $O_\gamma(n^\gamma)$

เคลเลอร์-ไป๋แสดงให้เห็น (ในหมู่อื่น) วิธีการที่จะนำเสนอเมทริกซ์ในรูปแบบปกติยศในเวลา )หากมียศแล้วอันดับของรูปแบบปกติของคือ สำหรับบาง invertible ของมิติที่เหมาะสม; ดูเพิ่มเติมทฤษฎีเชิงพีชคณิตเชิงซ้อน, ข้อเสนอ 16.13 ที่หน้า 435 $A$ $O(n^\omega)$ $A$ $r$ $A$

S (\begin{matrix} {ผม}_{R} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) T

$S \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} T$

S, T

$S,T$

แบบฟอร์มอันดับปกติคล้ายกับการสลายตัวของอันดับที่กล่าวถึงในบทความ Wikipedia, โดยที่มีคอลัมน์และมีแถวอันที่จริงเราสามารถใช้จะเป็นคนแรกคอลัมน์ของและจะเป็นคนแรกแถวของTจากการสลายตัวนี้ Wikipedia จึงได้จัดทำสูตรสำหรับ pseudoinverse โดยใช้เพียง adjoint ของ Hermitian การคูณเมทริกซ์และเมทริกซ์ผกผัน ดังนั้น pseudoinverse สามารถคำนวณได้ในเวลา ) $A = XY$ $X$ $r$ $Y$ $r$ $X$ $r$ $S$ $Y$ $r$ $T$ $O(n^\omega)$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ! ฉันได้รับกระดาษและพบว่าดูเหมือนว่าฉันไม่มีพื้นหลัง มีการแนะนำ / สำรวจที่ดีเกี่ยวกับผลลัพธ์ประเภทนี้หรือไม่? ฉันรู้ว่าหนังสือเชิงพีชคณิตเชิงพีชคณิตเป็นหนังสือที่ดี แต่ในปัจจุบันมันได้รับการตรวจสอบจากห้องสมุด ...

— Chao Xu

อาจมีบันทึกการบรรยายที่เกี่ยวข้องแม้ว่าอาจเป็นการดีที่สุดที่จะอ่านหนังสือ CLRS (รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับอัลกอริทึม) ยังมีวัสดุที่เกี่ยวข้องเช่นความเท่าเทียมกันระหว่างการคูณเมทริกซ์และเมทริกซ์ผกผัน

— Yuval Filmus

O (n^{ω})

$O(n^ω)$

w

$w$

เราไม่ทราบว่าค่าของω

ที่ดีที่สุดที่ถูกผูกไว้บนเนื่องจาก Le Gall เป็น

2.3728639

มันถูกสันนิษฐานว่า

ω

$\omega$

ω < 2.3728639

$\omega < 2.3728639$

ω = 2

$\omega = 2$

— Yuval Filmus