คำถามติดแท็ก linear-algebra

คำถาม: มีขั้นตอนหรือทฤษฎีที่สร้างขึ้นสำหรับการสร้างรหัสที่ใช้การคูณเมทริกซ์เวกเตอร์อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่เมื่อเมทริกซ์นั้นหนาแน่นและเต็มไปด้วยเลขศูนย์และอันเดียว ตามหลักการแล้วรหัสที่ได้รับการปรับปรุงจะใช้ประโยชน์จากข้อมูลที่คำนวณก่อนหน้านี้อย่างเป็นระบบเพื่อลดงานซ้ำซ้อน ในคำอื่น ๆ ฉันมีเมทริกซ์ และผมต้องการที่จะทำบาง precomputation ขึ้นอยู่กับที่จะทำให้การคำนวณเป็นที่มีประสิทธิภาพที่สุดเมื่อผมมารู้ทีหลังได้รับเวกเตอร์โวลต์MMMMMMMvMvMvvvv MMMเป็นเมทริกซ์ไบนารีหนาแน่นที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่รู้จักกันใน "เวลารวบรวม" ในขณะที่เป็นเวกเตอร์จริงที่ไม่รู้จักซึ่งรู้จักกันใน "เวลารัน" เท่านั้นvvv ตัวอย่างที่ 1: (หน้าต่างบานเลื่อน) ให้ฉันใช้ตัวอย่างเล็ก ๆ ง่ายๆเพื่ออธิบายประเด็นของฉัน พิจารณาเมทริกซ์ เผื่อว่าเราใช้เมทริกซ์นี้เพื่อเวกเตอร์จะได้รับW = Mv จากนั้นรายการของผลลัพธ์คือ \ start {align} w_1 & = v_1 + v_2 + v_3 + v_5 \\ w_2 & = v_2 + v_3 + v_4 + v_5 + …

22 linear-algebra  matrices  program-optimization 

ฉันได้อ่านLinear Algebra และแอปพลิเคชันของมันเพื่อช่วยให้เข้าใจเนื้อหาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ (โดยส่วนใหญ่การเรียนรู้ของเครื่อง) แต่ฉันกังวลว่าข้อมูลจำนวนมากไม่ได้เป็นประโยชน์กับ CS ตัวอย่างเช่นการรู้วิธีแก้ปัญหาอย่างมีประสิทธิภาพของระบบสมการเชิงเส้นนั้นไม่ได้มีประโยชน์มากนักเว้นแต่ว่าคุณกำลังพยายามตั้งโปรแกรมแก้สมการใหม่ นอกจากนี้หนังสือเล่มนี้ได้พูดคุยกันมากมายเกี่ยวกับการขยายการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเมื่อเมทริกซ์มีค่าผกผันและความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งเหล่านี้ แต่ฉันไม่สามารถนึกถึงแอปพลิเคชันนี้ใน CS ดังนั้นส่วนใดของพีชคณิตเชิงเส้นที่ใช้ใน CS

15 education  linear-algebra  didactics  mathematical-foundations 

ถ้าฉันมีเมทริกซ์และสองขนาดและตามลำดับและต้องการคำนวณมันมีประสิทธิภาพมากกว่าที่จะเขียนนิพจน์ใหม่เป็นและเพียงแล้วประเมินตัวเลขเพราะเป็นมิติแต่เป็นของมิติ2B 1,000 × 2 2 × 1,000 ( A B ) 5,000 A ( B A ) 4999 B A B 1,000 × 1000 B A 2 × 2AAABBB1000×21000×21000\times22×10002×10002\times1000(AB)5000(AB)5000(AB)^{5000}A(BA)4999BA(BA)4999BA(BA)^{4999}BABABAB1000×10001000×10001000\times1000BABABA2×22×22\times2 ฉันต้องการแก้ปัญหานี้โดยทั่วไป มีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพพอสมควร (ไม่ใช่แรงเดรัจฉาน) เพื่อปรับการแสดงออกที่มี: ตัวแปรเมทริกซ์อิสระของขนาดที่รู้จัก ผลิตภัณฑ์ของ subexpressions โดยพลการ subexpressions โดยพลการยกกำลังธรรมชาติ ... เพื่อที่จะใช้เวลาน้อยที่สุดในการประเมินตัวเลขหลังจากการแทนที่ตัวแปรเมทริกซ์อิสระด้วยค่าเมทริกซ์คอนกรีต? ห่วงโซ่คูณเมทริกซ์ปัญหาเป็นกรณีพิเศษของปัญหาของฉัน แก้ไข: นี่คือคำตอบเบื้องต้น ดูเหมือนว่าเหมาะสมกับฉัน แต่ฉันก็ไม่มีข้อพิสูจน์ว่าถูกต้อง หากปรากฎว่าถูกต้องฉันยังคงสนใจในการพิสูจน์ (หากมันไม่ถูกต้องแน่นอนโปรดแก้ไขให้ถูกต้อง) สำหรับทุกผลิตภัณฑ์ที่ยกระดับพลังงานให้พูดว่าให้พิจารณาการเปลี่ยนรูปแบบวนรอบของปัจจัยทั้งหมด:(A1A2…Ak)n(A1A2…Ak)n(A_1 A_2 …

13 optimization  dynamic-programming  linear-algebra 

จำเป็นต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์จำนวนเท่าใดเพื่อค้นหาเมทริกซ์ pseudoinverseของMoore – Penroseในฟิลด์ใด ๆ ถ้าเมทริกซ์กลับด้านและมีค่าซับซ้อนแสดงว่ามันเป็นแค่อินเวอร์ส การค้นหาอินเวอร์สนั้นใช้เวลาO(nω)O(nω)O(n^\omega)โดยที่ωω\omegaคือค่าคงที่การคูณเมทริกซ์ มันเป็นทฤษฎีบท 28.2 ในบทนำสู่อัลกอริทึมรุ่นที่ 3 หากเมทริกซ์มีแถว linearly อิสระหรือคอลัมน์และซับซ้อนมูลค่าแล้วเมทริกซ์ pseudoinverse สามารถคำนวณกับ* ( * ) - 1หรือ( * ) - 1 *ตามลำดับที่*เป็น transpose คอนจูเกต ของ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนี้หมายถึงO ( n ω )เวลาสำหรับการค้นหา pseudoinverse ของAAAA∗( A A* * * *)- 1A* * * *(AA* * * *)-1A^*(A A^*)^{-1}( A …

11 algorithms  linear-algebra 

พิจารณาโปรแกรมเชิงเส้น D u a l : → c ≤ → y T APr i m a l :A x⃗ ≤ b⃗ สูงสุดc⃗ Tx⃗ Primal:Ax→≤b→maxc→Tx→\begin{array}{|ccc|} \hline Primal: & A\vec{x} \leq \vec{b} \hspace{.5cm} & \max \vec{c}^T\vec{x} \\ \hline \end{array} D ยูลิตร:ค⃗ ≤ y⃗ TAขั้นต่ำy⃗ Tข⃗ Dual:c→≤y→TAminy→Tb→\begin{array}{|ccc|} \hline Dual: & \vec{c} \leq \vec{y}^TA …

10 algorithms  reference-request  linear-programming  linear-algebra  duality 

ฉันกำลังดูปัญหาต่อไปนี้: ได้รับมิติเวกเตอร์ของจำนวนธรรมชาติและบางเวกเตอร์อินพุตเป็นรวมกันเชิงเส้นของ 's มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนธรรมชาติ?nnnโวลต์1, … ,โวลต์ม.v1,…,vmv_1, \ldots, v_mยูuuยูuuโวลต์ผมviv_i นั่นคือมีบางโดยที่ ?t1,…,tm∈Nt1,…,tm∈Nt_1, \ldots, t_m \in \mathbb{N}u=t1v1+⋯+tmvmu=t1v1+⋯+tmvmu = t_1 v_1 + \dots + t_m v_m แน่นอนว่าปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้การกำจัดแบบเกาส์ ฉันสงสัยว่ามีการศึกษาปัญหาจำนวนเต็มนี้หรือไม่ มีอัลกอริทึมใดบ้างที่สามารถแก้ไขได้? โปรดทราบว่านี่คือการใช้ตัวเลขธรรมชาติ แต่ไม่ใช่เลขคณิตแบบแยกส่วนดังนั้นจึงค่อนข้างแยกจากทฤษฎีบท Remainder ของจีนและระบบเช่นนี้ นอกจากนี้ดูเหมือนว่าจะเกี่ยวข้องกับสมการไดโอแฟนไทน์ แต่ฉันสงสัยว่าเกิดอะไรขึ้นในกรณีที่พิจารณาเฉพาะจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ นี่เป็นการเตือนความจำของปัญหาผลรวมย่อยหลายมิติโดยทั่วไปเพื่อให้เราสามารถคัดลอกจำนวนของแต่ละเวกเตอร์โดยพลการ นอกจากนี้ยังดูเหมือนว่าเกี่ยวข้องกับการทดสอบว่าเป็นองค์ประกอบของขัดแตะที่สร้างขึ้นโดย ,ยกเว้นว่าที่นี่เราอนุญาตให้ใช้การผสมแบบเชิงเส้นกับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นลบเท่านั้นuuuv1,…,vmv1,…,vmv_1,\dots,v_m สำหรับทุกคนที่สนใจนี้เป็นแรงบันดาลใจโดยดูที่ไม่ว่าจะเป็นเวกเตอร์ Parikh อยู่ในชุดเชิงเส้นในขณะที่Parikh ทฤษฎีบท โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันสนใจอัลกอริทึมที่สามารถแก้ปัญหาโดยใช้การดำเนินการกับจำนวนธรรมชาติเท่านั้น

9 algorithms  reference-request  linear-algebra  integers  knapsack-problems