อิทธิพลของมิติออโตมาตาเซลลูลาร์ต่อคลาสความซับซ้อน

ลองมาเป็นตัวอย่างการลด 3d → 2d: ค่าใช้จ่ายในการจำลองหุ่นยนต์เซลลูลาร์ 3d โดยหุ่นยนต์เซลลูล่าร์ 2d คืออะไร?

นี่เป็นคำถามที่เจาะจงมากขึ้น:

1. อัลกอริธึมชนิดใดที่ความซับซ้อนของเวลาจะเปลี่ยนไป

2. อะไรคือความคิดพื้นฐานสำหรับการเข้ารหัส ตาราง 3 มิติมีประสิทธิภาพอย่างไร (หรือไม่มีประสิทธิภาพ ... ) ที่แมปกับตาราง 2d (ความท้าทายดูเหมือนว่าจะบรรลุการสื่อสารระหว่างสองเซลล์ที่เดิมเพื่อนบ้านในตาราง 3 มิติ แต่ไม่ใช่เพื่อนบ้านอีกต่อไปในตาราง 2d)

3. โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันสนใจในความซับซ้อนที่ซับซ้อนสำหรับอัลกอริธึมซับซ้อนแบบเอกซ์โปเนนเชียล

หมายเหตุ: ฉันไม่สนใจคลาสที่มีความซับซ้อนต่ำซึ่งวิธี I / O ที่เลือกมีอิทธิพลต่อความซับซ้อน (อาจจะดีที่สุดคือการสมมติว่าวิธี I / O ไม่มีมิติ: ทำแบบโลคอลในเซลล์หนึ่งโดยเฉพาะในช่วงเวลาที่แปรผัน)

บริบทบางอย่าง: ฉันสนใจในการเขียนกราฟท้องถิ่นแบบขนาน แต่กราฟเหล่านั้นอยู่ใกล้กับกริด 3 มิติ (หรืออาจωd…) กริดมากกว่า 2d กริดฉันต้องการรู้ว่าสิ่งที่คาดหวังจากการนำฮาร์ดแวร์ไปใช้ใน 2 มิติ ชิปซิลิคอน

ผมจะอธิบายชิ้นส่วนของบทความนี้: การจำลอง 3D เซลลูลาร์ออโตมากับ 2D Cellular Automata

ขอเริ่มต้นด้วยการเข้ารหัสของตารางที่มีฟังก์ชั่น 2 โดยสังหรณ์ใจไม่สามารถรักษาระยะห่างได้เนื่องจากจำนวนเซลล์ในระยะทางน้อยกว่าจากจุดกำเนิดจะไม่เหมือนกัน คุณจะต้องฝังเหล่านี้เกี่ยวกับเซลล์เป็นบางส่วนจำนวนเดียวกันของเซลล์ แต่ที่จะเป็นอย่างใดของรูปแบบแต่แล้วคุณต้องมี R และเหล่านี้มีลักษณะคล้ายรัศมีความคิดของย่านที่คุณพบในหุ่นยนต์เคลื่อนที่$t:\mathbb Z^3 → \mathbb Z^2$$t$$R$$R^3$$r^2$$r>R$$r$$R$

ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของบทความจะทำให้สิ่งที่เป็นหลักใหญ่โดยการใช้พลังงานอย่างน้อย3/2ถ้าคะแนนอยู่ไกลจากในกริดแรกพวกมันจะอยู่ไกลอย่างน้อยในกริดที่สอง แต่น่าเสียดายที่ฝังได้รับเป็นเพียงใน3)$3/2$$d$$O(\sqrt d^3)$$O(d^3)$

อย่างไรก็ตามและนี่เป็นคำพูดที่สำคัญมากคุณไม่ได้รับย่านใกล้เคียงมากกว่าในหุ่นยนต์ตัวแรกและนั่นคือสาเหตุที่ฉันเคยพูดว่า "คล้ายกัน" อ้างบทความ:

เห็นได้ชัดว่าจะมีเซลล์ที่อยู่ใกล้มากในและเช่นนั้น [การเข้ารหัสของพวกเขาจะ] ห่างไกลใน$\mathbb Z^3$$\mathbb Z^2$

ผลงานที่เวลาเกินไป: เวลาการดำเนินการของขั้นตอนเดียวในสามารถ arbitrary ยาวใน 2 โปรดทราบว่าการเข้ารหัสที่มีมากขึ้นของการจำลองที่: 2D CA ผู้เขียนแม้จะเลียนแบบการคำนวณของฟังก์ชัน 2$\mathbb Z^3$$\mathbb Z^2$$t:\mathbb Z^3 → \mathbb Z^2$

เป็นการเดิมพันที่ปลอดภัยที่จะกล่าวว่าความซับซ้อน (ในเวลา) ของอัลกอริทึมใด ๆ ที่ทำงานใน 3D CA จะระเบิดเมื่อวิ่งเข้ารหัส 3D CA นี้เป็น 2D CA ผู้เขียนบอกว่ามันไม่สามารถผูกพันได้กับฟังก์ชั่นใด ๆ ในการจำลองของเขา และฉันก็บอกว่าการระเบิดนั้นอย่างน้อยก็เป็นการยกกำลังแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเพราะเวลาการแพร่กระจายของข้อมูลขึ้นอยู่กับตำแหน่ง

แนวคิดของการใช้อัลกอริธึมบนออโตมาตาเซลลูล่าดูเหมือนจะแปลกสำหรับฉันแล้ว แต่มันก็เป็นเรื่องส่วนตัว อย่างไรก็ตามนั่นไม่มีอะไรเทียบกับแนวคิดของการนำหุ่นยนต์อัตโนมัติมาใช้ในชิปซิลิคอนหรือเป็นแค่ฉันหรือเปล่า