อัลกอริทึมการประมาณ bicriteria คืออะไร?

อัลกอริทึมการประมาณ bicriteria คืออะไร? สิ่งนี้จะเกิดขึ้นในกรณีของการจัดกลุ่มสตรีมข้อมูล สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการเพิ่มประสิทธิภาพหลายวัตถุประสงค์หรือไม่

นี่คือที่ฉันเจอ: cis.upenn.edu/~sudipto/mypapers/datastream.pdf บทความนี้เกี่ยวกับอัลกอริทึม k-mean รุ่นสตรีมมิ่ง มีการอ้างอิงในกระดาษ แต่ไม่มีใครอธิบายได้ว่าอัลกอริทึมการประมาณแบบ bicriteria คืออะไร ฉันไม่สามารถหาอะไรใน Google ที่จะให้คำจำกัดความที่แม่นยำกับฉัน

ฉันจะขยายคำตอบโดย Yuval Filmusโดยการให้ความหมายขึ้นอยู่กับปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพหลายวัตถุประสงค์

การเพิ่มประสิทธิภาพและการประมาณวัตถุประสงค์เดี่ยว

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์เรามักจะศึกษาปัญหาการปรับให้เหมาะสมด้วยวัตถุประสงค์เดียว (เช่นลดf ( x ) ภายใต้ข้อ จำกัด ) เมื่อพิสูจน์แล้วพูดว่า NP-ครบถ้วนเป็นเรื่องธรรมดาที่จะพิจารณาปัญหางบประมาณที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่นในปัญหาสูงสุดของกลุ่มเป้าหมายคือการเพิ่มความสำคัญสูงสุดของกลุ่มและปัญหางบประมาณเป็นปัญหาของการตัดสินใจว่ามีขนาดของกลุ่มอย่างน้อยkซึ่งkให้เป็นส่วนหนึ่งของอินพุต ปัญหา.

เมื่อมันเป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณหาทางออกที่ดีที่สุดอย่างมีประสิทธิภาพเช่นในกรณีของปัญหากลุ่มที่มีค่าสูงสุดเราจะหาอัลกอริธึมการประมาณฟังก์ชั่นที่ส่งออกวิธีแก้ปัญหาภายในปัจจัยคูณของโซลูชั่นที่ดีที่สุด นอกจากนี้คุณยังสามารถพิจารณาอัลกอริทึมการประมาณสำหรับปัญหางบประมาณฟังก์ชันที่แสดงผลโซลูชันที่ตอบสนองf ( x ) ≥ ckในกรณีของปัญหาการขยายให้ใหญ่สุดโดยที่cคือตัวเลขน้อยกว่าหนึ่ง ในสถานการณ์เช่นนี้การแก้ปัญหาอาจละเมิดฮาร์ด จำกัดฉ ( x ) ≥ kแต่ "ความรุนแรง" ของการละเมิดจะถูกล้อมรอบด้วยค

การเพิ่มประสิทธิภาพหลายวัตถุประสงค์และการประมาณสองเกณฑ์

ในบางกรณีคุณอาจต้องการเพิ่มประสิทธิภาพสองวัตถุประสงค์พร้อมกัน สำหรับตัวอย่างคร่าวๆฉันอาจต้องการเพิ่ม "รายได้" ของฉันให้มากที่สุดในขณะที่ลด "ต้นทุน" ให้น้อยที่สุด ในสถานการณ์ดังกล่าวไม่มีค่าที่ดีที่สุดเพียงอย่างเดียวเนื่องจากมีการแลกเปลี่ยนระหว่างวัตถุประสงค์ทั้งสอง สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมโปรดดูบทความวิกิพีเดียมีประสิทธิภาพ Pareto

วิธีหนึ่งในการเปลี่ยนปัญหาการปรับให้เหมาะสมแบบสองวัตถุประสงค์ให้เป็นปัญหาการปรับให้เหมาะสมแบบเป้าหมายเดียว (ซึ่งเราสามารถให้เหตุผลเกี่ยวกับคุณค่าที่เหมาะสมที่สุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์) คือการพิจารณาปัญหาข้อ จำกัดสองข้อหนึ่งสำหรับแต่ละวัตถุประสงค์ หากปัญหาไปพร้อม ๆ กันเพิ่มF ( x ) ในขณะที่ลดกรัม ( x ) ปัญหาข้อ จำกัด แรกคือการลดกรัม ( x ) ภายใต้ข้อ จำกัดฉ ( x ) ≥ kที่kจะได้รับเป็นส่วนหนึ่งของการป้อนข้อมูลเพื่อ ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพวัตถุประสงค์เดียวนี้ ปัญหาข้อ จำกัด ที่สองถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

An ( α , β ) - อัลกอริทึมการประมาณ bicriteriaสำหรับปัญหาข้อ จำกัด แรกคือฟังก์ชั่นที่ใช้พารามิเตอร์งบประมาณkเป็นอินพุทและเอาท์พุททางออกxเช่นนั้น

• ,$f(x) \geq \alpha k$
• ,$g(x) \leq \beta g(x^*)$

ที่คือการแก้ปัญหาที่ประสบความสำเร็จในค่าที่ดีที่สุดสำหรับกรัม อัลกอริทึมการประมาณ bicriteria สำหรับปัญหาข้อ จำกัด ที่สองเอาท์พุทโซลูชั่นเช่นนั้น$x^*$

• ,$f(x) \geq \alpha f(x^*)$
• ,$g(x) \leq \beta \ell$

กล่าวอีกนัยหนึ่งอัลกอริธึมการประมาณค่า bicriteria นั้นพร้อมเพรียงกันสำหรับปัญหางบประมาณในวัตถุประสงค์แรกและปัญหาการปรับให้เหมาะสมในวัตถุประสงค์ที่สอง (คำจำกัดความนี้ดัดแปลงมาจากหน้าสี่ของ "การเพิ่มประสิทธิภาพ Submodular พร้อม Submodular Cover และ Submodular Knapsack Constraints " โดย Iyer และ Bilmes, 2013)

ความไม่เท่าเทียมกันสลับทิศทางเมื่อวัตถุประสงค์เปลี่ยนจากสูงสุดเป็นต่ำสุดหรือกลับกัน

$k$$\rho$$k$$V_1,\ldots,V_k$$\rho$$E(V_1,\ldots,V_k)$$\rho$

$f(n),g(n) \geq 1$$f(n),g(n)$$V_1,\ldots,V_k$$f(n)\rho$$g(n)\mathrm{OPT}$$\mathrm{OPT}$$\rho$

กล่าวอีกนัยหนึ่งอัลกอริทึมการประมาณ bicriteria บรรลุอัตราส่วนที่แน่นอนในขณะที่การละเมิดข้อ จำกัด บางอย่างโดยจำนวนที่ จำกัด สำหรับตัวอย่างของอัลกอริทึมการประมาณค่า bicriteria สำหรับปัญหาที่เพิ่งอธิบายให้ดูบทความนี้โดยพี่น้อง Makarychev