ความซับซ้อนของการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของสเปียร์แมนคืออะไร?

ฉันกำลังศึกษาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของสเปียร์แมน

$\qquad \displaystyle \rho = \frac{\sum_i(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_i (x_i-\bar{x})^2 \sum_i(y_i-\bar{y})^2}}$.

สำหรับสองรายการ $x_1, \dots, x_n$ และ $y_1, \dots, y_n$. อะไรคือความซับซ้อนของขั้นตอนวิธี?

เนื่องจากอัลกอริทึมควรคำนวณ $n$ การลบมันเป็นไปได้ไหม $O(n)$ ?

คุณต้องคำนวณ

• สองค่าเฉลี่ย
• $2n$ ความแตกต่าง
• สามจำนวนด้วย $n$ summands - ซึ่งสามารถคำนวณได้ในเวลาคงที่ - แต่ละอันและ
• การหารหนึ่งการคูณหนึ่งและหนึ่งสแควร์รูท

ทั้งหมดนี้สามารถทำได้ในเวลาเชิงเส้นถ้าเราถือว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาทำงานในเวลาคงที่ดังนั้นเวลาทั้งหมดใน $O(n)$เป็นไปได้อย่างแน่นอน โปรดทราบว่าการคำนวณรูทอาจทำให้เกิดปัญหา

เกี่ยวกับพื้นที่คุณมีหลายตัวเลือก:

• เก็บเฉพาะค่าเฉลี่ยนั่นคือตัวเลขสองตัว ($O(\log M)$ กับ $M$จำนวนสูงสุด) คุณต้องคำนวณความแตกต่างทั้งหมดใหม่อีกครั้ง$6n$ subtractions
• เก็บค่าเฉลี่ยและความแตกต่างนั่นคือ$2n+2$ ตัวเลข ($O(n \cdot \log M)$) สิ่งนี้ช่วยคุณได้$4n$ subtractions

สิ่งที่ดีกว่าขึ้นอยู่กับบริบทของคุณ

คุณได้ละขั้นตอนสำคัญออกไป ... สูตรที่คุณใช้มีความสัมพันธ์กับลูกแพร์สัน สิ่งที่ทำให้ spearman คือ x และ y เป็นอันดับของตัวแปรดั้งเดิมสองตัว ขั้นตอนการจัดอันดับนี้จะต้องพิจารณาถึงความซับซ้อนของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์สเปียร์แมน โดยพื้นฐานแล้วคุณต้องจัดเรียงตัวแปรสองตัวแต่ละตัวซึ่งจะขึ้นอยู่กับอัลกอริทึมการเรียงลำดับที่คุณเลือกตามด้วยการคำนวณที่กล่าวถึงข้างต้น