พิสูจน์ว่าทุกเส้นทางที่ยาวที่สุดมีจุดยอดอย่างน้อยหนึ่งจุดร่วมกัน

หากกราฟเชื่อมต่อกันและไม่มีเส้นทางที่มีความยาวมากกว่าแสดงว่าทุกเส้นทางในของความยาวมีจุดยอดอย่างน้อยหนึ่งจุดร่วมกัน $G$ $k$ $G$ $k$

ฉันคิดว่าจุดสุดยอดทั่วไปควรอยู่กลางเส้นทางทั้งสอง เพราะถ้ากรณีนี้ไม่ได้แล้วเราจะได้มีเส้นทางของความยาว $>k$ k ฉันถูกไหม?

graph-theory graphs combinatorics

— Saurabh
แหล่งที่มา

ตัวอย่างตัวอย่างสำหรับกราฟกำกับที่ไม่ได้เชื่อมต่ออย่างยิ่ง: จุดยอด , ขอบ , , , เส้นทางและไม่มีอะไรเหมือนกัน จุดสุดยอด

A, B, C, D

$A,B,C,D$

A \to C

$A \to C$

A \to D

$A \to D$

B \to D

$B \to D$

A \to C

$A \to C$

B \to D

$B \to D$

— sdcvvc

@sdcvvc คุณสามารถระบุเป็นคำตอบได้

@sdcvvc ฉันเดาว่าคำถามถูก จำกัด ให้ใช้กราฟที่ไม่ได้บอกทิศทาง

— กราฟิลส์

คุณสามารถยืนยัน (หรือไม่แข็งแรง) ว่าเป็นกราฟที่ไม่ได้ถูกบอกทิศทางและคุณกำลังพิจารณาเส้นทางที่ง่าย (= รอบที่ปราศจากวัฏจักร) เท่านั้น?

G

$G$

— Gilles 'หยุดความชั่วร้าย'

@Gilles ใช่กราฟไม่ได้ถูกบอกทิศทางและเส้นทางเดินซึ่งมีขอบและจุดยอดที่แตกต่างกัน

— Saurabh

คำตอบ:

สมมติว่าความขัดแย้งและเป็นสองพา ธ ในของความยาวโดยไม่มีจุดยอดที่แชร์ $P_{1} = \langle v_{0},\ldots,v_{k}\rangle$ $P_{2} = \langle u_{0},\ldots,u_{k}\rangle$ $G$ $k$

ในฐานะที่เป็นมีการเชื่อมต่อมีเส้นทางเชื่อมต่อจะสำหรับบางเช่นที่หุ้นไม่มีจุดที่มีอื่นที่ไม่ใช่และเจพูดว่า $G$ $P'$ $v_{i}$ $u_{j}$ $i,j \in [1,k]$ $P'$ $P_{1} \cup P_{2}$ $v_{i}$ $u_{j}$ $P' = \langle v_{i},x_{0},\ldots,x_{b},u_{j}\rangle$ (โปรดทราบว่าอาจไม่มีจุดยอด $x_{i}$ กล่าวคือ $b$ อาจเป็น $0$ - สัญกรณ์มีข้อบกพร่องเล็กน้อย)

โดยไม่สูญเสียของทั่วไปเราอาจคิดว่า $i,j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$ (เราสามารถย้อนกลับจำนวนได้เสมอ) จากนั้นเราสามารถสร้างเส้นทางใหม่ $P^{*} = \langle v_{0},\ldots,v_{i},x_{1},\ldots,x_{b},u_{j},\ldots,u_{0}\rangle$ (โดยไปตาม $P_{1}$ ถึง $v_{i}$ , จากนั้นข้ามสะพานก่อตัวขึ้น โดย $P'$ ถึง $u_{j}$ จากนั้นไปตาม $P_{2}$ ถึง $u_{0}$ )

เห็นได้ชัดว่า $P^{*}$ มีความยาวอย่างน้อย $k+1$ แต่ตรงกันข้ามนี้สมมติฐานที่ว่า $G$ มีเส้นทางของความยาวมากกว่าไม่มีk $k$

ดังนั้นความยาวสองเส้นทางใด ๆ ของ $k$ จะต้องตัดอย่างน้อยหนึ่งจุดยอดและการสังเกตของคุณว่ามันต้องอยู่ตรงกลาง (ถ้ามีเพียงอันเดียว) ตามที่คุณให้เหตุผล

— ลุคมาติสัน
แหล่งที่มา

ผมคิดว่าคุณต้อง

ไม่เช่นนั้นเส้นทางใหม่จะไม่จำเป็นต้องใช้อีกต่อไป โปรดทราบว่า

เป็นไปได้

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$

b = 0

$b=0$

— กราฟิลส์

@ ราฟาเอลใช่ฉันไม่ได้ระบุอย่างชัดเจน (และใช้สัญกรณ์ที่ทำให้เข้าใจผิดเล็กน้อย) แต่

สามารถเป็น

อย่างมีความสุขสะพานจะเพิ่มขอบอย่างน้อยหนึ่งเสมอแม้ว่าแม้ว่าจุดยอดเดียวใน

คือ

และ

. บนจุดแรกที่ทราบว่าผมได้สร้างเส้นทางจาก

ดังนั้น

b

$b$

0

$0$

P^{'}

$P'$

v_{i}

$v_{i}$

u_{j}

$u_{j}$

v_{0} \to v_{i} \to u_{j} \to u_{0}

$v_{0} \rightarrow v_{i} \rightarrow u_{j}\rightarrow \mathbf{u_{0}}$

ถูกต้อง ถ้ามันจะไป

แล้ว

j \geq ⌈ \frac{k}{2} ⌉

$j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$

u_{k}

$u_{k}$

จะเป็นเงื่อนไขที่เหมาะสม

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$

— ลุคแมททีสัน

คุณถูกต้องที่จุดสุดยอดทั่วไปจะต้องเกิดขึ้นกลางเส้นทางทั้งสอง

อย่างไรก็ตามสัญชาตญาณจะไม่แก้ปัญหาจริงที่คุณกำลังพยายามแก้ไข

แทนที่จะพยายามแสดงให้เห็นว่าเมื่อกำหนดจุดใดก็ได้ในเส้นทางส่วนของเส้นทางจาก (และรวมถึง) ที่ชี้ไปที่ปลายด้านหนึ่งของเส้นทางเดิมจะต้องมีมากกว่าครึ่งหนึ่งของโหนดเป็นเส้นทางแบบเต็ม

เมื่อคุณแสดงให้เห็นว่าคุณจะสามารถแก้ปัญหาที่คุณถูกถามและตรวจสอบการคาดเดาของคุณ

— btilly
แหล่งที่มา