มีแคลคูลัสแลมบ์ดาพิมพ์ทัวริงอยู่หรือไม่?

มีแลมบ์ดาแคลคูลัสทัวริงพิมพ์อยู่หรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นมีตัวอย่างอะไรบ้าง?

แน่นอน. แลมบ์ดาแคลคูลัสที่พิมพ์จำนวนมากยอมรับการทำให้เป็นมาตรฐานอย่างยิ่งเงื่อนไขการโดยการออกแบบดังนั้นพวกเขาจึงไม่สามารถแสดงการคำนวณแบบสุ่มได้ แต่ระบบพิมพ์สามารถเป็นอะไรก็ได้ที่คุณชอบ; ทำให้มันกว้างพอและคุณสามารถแสดงการคำนวณที่กำหนดได้ทั้งหมด

ระบบประเภทเล็ก ๆ ที่ครอบคลุมชิ้นส่วนทัวริงสมบูรณ์ของแคลคูลัสแลมบ์ดานั้นเป็นระบบที่ยอมรับทุกคำศัพท์ที่พิมพ์ได้ดี ประเภทบนสุด )

$$\dfrac{}{\Gamma \vdash M : \top}$$

ในทางปฏิบัติภาษาการเขียนโปรแกรมการทำงานแบบคงที่มีแกนแคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์อยู่ในแกนกลางซึ่งช่วยให้ผู้จัดทำcombpointคงที่ ยกตัวอย่างเช่นเริ่มต้นด้วยแคลคูลัสแลมบ์ดาพิมพ์เพียง (หรือระบบการพิมพ์ ML หรือระบบ Fหรือระบบการพิมพ์อื่น ๆ ของทางเลือกของคุณ) และเพิ่มกฎที่ทำให้บาง Combinator fixpoint เหมือนพิมพ์ได้ดี แกมมา⊢ ฉ: T → $\mathbf{Y} = \lambda f. (\lambda x. f (x\,x)) (\lambda x. f (x\,x))$

$$\dfrac{\Gamma \vdash f : T \rightarrow T} {\Gamma \vdash \mathbf{Y}\,f : T} \qquad \dfrac{\Gamma \vdash f : T \rightarrow T} {\Gamma \vdash (\lambda x. f (x\,x)) (\lambda x. f (x\,x)) : T}$$ $\mathbf{Y}\,f$ $$\begin{gather*} \dfrac{}{\Gamma \vdash \textbf{fix} : (T \rightarrow T) \rightarrow T} \\ \textbf{fix}\,f \to f (\textbf{fix}\,f) \\ \end{gather*}$$

ติดกับแคลคูลัสแลมบ์ดาบริสุทธิ์ระบบประเภทที่น่าสนใจคือแคลคูลัสแลมบ์ดาที่มีประเภทจุดตัด

$$\dfrac{\Gamma \vdash M : T_1 \quad \Gamma \vdash M : T_2} {\Gamma \vdash M : T_1 \wedge T_2} (\wedge I) \qquad\qquad \dfrac{} {\Gamma \vdash M : \top} (\top I)$$

ประเภทแยกมีคุณสมบัติที่น่าสนใจเกี่ยวกับการทำให้เป็นมาตรฐาน:

• คำแลมบ์ดาสามารถพิมพ์ได้โดยไม่ต้องใช้ $\top I$ กฎ iff มันเป็น normalizing อย่างยิ่ง
• คำแลมบ์ดายอมรับประเภทที่ไม่มี $\top$ ถ้ามันมีรูปแบบปกติ

ดูลักษณะของคำแลมบ์ดาที่มีประเภทสหภาพเพื่อการเข้าใจอย่างลึกซึ้งว่าเหตุใดประเภทของการแยกจึงมีขอบเขตที่น่าทึ่ง

ดังนั้นคุณมีระบบพิมพ์ที่กำหนดภาษาทัวริงที่สมบูรณ์ (เนื่องจากทุกเทอมถูกพิมพ์อย่างดี) และการอธิบายลักษณะอย่างง่ายของการยุติการคำนวณ แน่นอนเนื่องจากระบบประเภทนี้มีลักษณะเป็นมาตรฐานจึงไม่สามารถตัดสินใจได้

_{ข้อสังเกตเกี่ยวกับชื่อกฎ $(\top I)$ และ $(\wedge I)$: พวกเขาไม่มีความหมายอย่างเป็นทางการ แต่พวกเขาถูกเลือกอย่างจงใจ $I$ ย่อมาจาก "การแนะนำ" เพราะสิ่งเหล่านี้เป็นกฎการแนะนำ - พวกเขาแนะนำสัญลักษณ์ ($\wedge$ หรือ $\top$) เป็นประเภทด้านล่างบรรทัด ในบางครั้งคุณจะพบกฎการกำจัดเมื่อสัญลักษณ์ปรากฏเหนือเส้น แต่ไม่อยู่ด้านล่าง ตัวอย่างเช่นกฎในการพิมพ์เช็คแลมบ์ดาแลมบ์ในแคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ง่ายคือกฎการแนะนำสำหรับ$\rightarrow$และกฎในการพิมพ์แอปพลิเคชันเป็นกฎการกำจัด $\rightarrow$.}