ทำไมฟังก์ชั่นทั้งหมดถึงไม่สามารถนับได้?

เราเรียนรู้เกี่ยวกับแนวคิดของฟังก์ชั่นการแจกแจง ในทางปฏิบัติมันสอดคล้องกับภาษาการเขียนโปรแกรม

ในคำพูดที่ผ่านอาจารย์กล่าวว่าชั้นเรียนของฟังก์ชั่นทั้งหมด (เช่นฟังก์ชั่นที่มักจะจบลงสำหรับการป้อนข้อมูลทุกครั้ง) จะไม่นับ นั่นหมายความว่าเราไม่สามารถประดิษฐ์ภาษาการเขียนโปรแกรมที่ช่วยให้เราสามารถเขียนฟังก์ชั่นทั้งหมด แต่ไม่มีคนอื่น --- ซึ่งน่าจะมี!

แล้วเราจะต้องยอมรับศักยภาพของการไม่เลิกจ้างอย่างไรถ้าเราต้องการพลังการคำนวณที่เหมาะสม?

เพราะเส้นทแยงมุม ถ้าเป็นการนับจำนวนฟังก์ชั่นที่คำนวณได้ทั้งหมดจากNถึงNเช่นว่าทุกf eเป็นผลรวมแล้วg ( i ) = f i ( i ) + 1ก็จะคำนวณได้ทั้งหมด ฟังก์ชั่น แต่มันจะไม่อยู่ในการแจงนับ ที่จะขัดแย้งกับสมมติฐานเกี่ยวกับลำดับ ดังนั้นจึงไม่มีการคำนวณฟังก์ชั่นการคำนวณที่สามารถประกอบด้วยฟังก์ชั่นการคำนวณทั้งหมด$(f_e: e \in \mathbb{N})$$\mathbb{N}$$\mathbb{N}$$f_e$$g(i) = f_i(i)+ 1$

สมมติว่าเราคิดถึงฟังก์ชันสากลที่คำนวณได้โดยที่ "universal" หมายถึงคือฟังก์ชันเลขฐานสองที่คำนวณได้และสำหรับทุก ๆ ฟังก์ชันฟังก์ชันที่คำนวณได้ของh f ( n $h(e,i)$$h$$f(n)$มีบางที่f ( i ) = h ( E , ฉัน)สำหรับทุกฉัน จากนั้นจะต้องมีeเช่นนั้นที่g ( n ) = h ( e , n )ไม่ใช่ฟังก์ชันทั้งหมดเนื่องจากย่อหน้าก่อนหน้า มิฉะนั้น$e$$f(i) = h(e,i)$$i$$e$$g(n) = h(e,n)$$h$ จะให้การนับจำนวนของฟังก์ชันยูนารีที่คำนวณได้ทั้งหมดซึ่งรวมถึงฟังก์ชันยูนารีที่คำนวณได้ทั้งหมด

ดังนั้นความต้องการที่ทุกฟังก์ชั่นคือระบบของฟังก์ชั่นนั้นทั้งหมดจึงไม่สอดคล้องกับการมีอยู่ของฟังก์ชั่นสากลในระบบนั้น สำหรับระบบที่อ่อนแอบางอย่างเช่นฟังก์ชั่นการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมทุกฟังก์ชั่นจะเป็นผลรวม แต่ไม่มีฟังก์ชั่นสากล ระบบที่แข็งแกร่งกว่าซึ่งมีฟังก์ชันสากลเช่นการคำนวณของทัวริงต้องมีฟังก์ชันบางส่วนเพื่อให้ฟังก์ชันสากลมีอยู่

เพียงเพื่อจะชัดเจนเราต้องแยกแยะความแตกต่างฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ (ฉันจะเรียกพวกเขาฟังก์ชั่นและมักจะมี uncountably มากของพวกเขาดังนั้นพวกเขาจะไม่ได้นับทั้งหมด) และฟังก์ชั่นที่คุณสามารถเขียน: ฉันจะเรียกพวกเขาโปรแกรมหรือยังฟังก์ชันคำนวณ

$S$$E$$x$$E$$x∈S$$x\not∈S$$S$

ชุดของโปรแกรมทั้งหมดที่รวมอยู่ในชุด จำกัดนั้นนับได้เนื่องจากคุณสามารถเขียนล่ามที่เพิ่งเรียกใช้โปรแกรมบนองค์ประกอบทั้งหมดของชุด จำกัด และส่งคืน "ใช่" หากพวกเขายุติ (แต่ไม่สามารถดูว่ามีคนใดไม่)

อาจารย์ของคุณบอกว่าชุดของโปรแกรมทั้งหมดที่รวมอยู่ในเซตอนันต์นั้นไม่สามารถนับได้เพราะคุณไม่สามารถเรียกใช้โปรแกรมของคุณกับองค์ประกอบจำนวนอนันต์

แต่นี่ไม่ได้หมายความว่าไม่ดี:

1. ตัวอย่างเช่นการตั้งค่าหากโปรแกรมทั้งหมดที่พิสูจน์ได้ทั้งหมดนั้นนับได้เพราะคุณสามารถระบุการพิสูจน์ทั้งหมดและตรวจสอบโดยอัตโนมัติหากพวกเขาพิสูจน์ว่าโปรแกรมของคุณนั้นสมบูรณ์

2. แม้แต่ชุดที่นับได้ก็ไม่สามารถใช้งานได้จริงเพราะคุณอาจต้องรอตลอดไปโดยไม่แน่ใจว่าขั้นตอนดังกล่าวจะยุติลงในวันหนึ่งหรือไม่ ฉันไม่เห็นวิธีการใช้โปรแกรมที่ระบุฟังก์ชั่นทั้งหมดทั้งหมด ...

มีภาษาการเขียนโปรแกรมบางอย่างที่รับประกันทุกสิ่งที่คุณเขียนเพื่อยกเลิกเพียงแค่พิมพ์แบบคงที่! มีแม้กระทั่งบางอย่างที่รับประกันว่าคุณจะผูกพันกับพหุนาม ตอนนี้พวกเขาส่วนใหญ่เป็นนักวิชาการสำหรับตอนนี้การเขียนสิ่งเหล่านั้นอาจทำให้คุณรู้สึกว่าข้อ จำกัด มากกว่าในการเขียนใน Python แต่มีนักวิจัยจำนวนมากที่ทำงานเกี่ยวกับเรื่องนี้

ดังนั้นเพื่อตอบคำถามของคุณ: ในแง่หนึ่งใช่ ศักยภาพที่ไม่จำเป็นต้องสิ้นสุดคือการทำให้สมบูรณ์แบบทัวริง (กำลังการคำนวณสูงสุดสำหรับตอนนี้) แต่ฉันไม่พบสิ่งนี้เกี่ยวข้องโดยตรงกับความจริงที่ว่าฟังก์ชั่นทั้งหมดนับได้หรือไม่ คุณยังสามารถเขียนโปรแกรมทั้งหมดได้!