Karp Reduction เหมือนกับการลดระดับของเลวินหรือไม่

คำที่เกี่ยวข้อง: Karp Reduction

ภาษาคือคาร์ปเบลดไปเป็นภาษาหากมีฟังก์ชันคำนวณเวลาแบบพหุนามเช่นนั้นสำหรับทุก ๆ , ถ้าและถ้า B $A$ $B$ $f:\{0,1\}^*\rightarrow\{0,1\}^*$ $x$ $x\in A$ $f(x)\in B$

คำที่เกี่ยวข้อง: เลวิน - ลด

ปัญหาการค้นหาคือเลวินลดปัญหาการค้นหาถ้ามีฟังก์ชันเวลาพหุนามที่ Karp ลดเป็นและมีฟังก์ชันคำนวณเวลาแบบพหุนามแบบและเช่นนั้น $V_A$ $V_B$ $f$ $L(V_A)$ $L(V_B)$ $g$ $h$

, $\langle x, y \rangle \in V_A \implies \langle f(x), g(x,y) \rangle \in V_B$
$\langle f(x), z \rangle \in V_B \implies \langle x, h(x,z) \rangle \in V_A$

การลดลงเหล่านี้เทียบเท่าหรือไม่

ฉันคิดว่าคำจำกัดความทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน สำหรับสองภาษาและถ้าเป็นคาร์พออกซิเจนแล้วเป็นเลวินออกซิเจนB $\mathsf{NP}$ $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $B$

นี่คือหลักฐานของฉัน:

ให้และเป็นกรณีโดยพลการของขณะที่เป็นที่ของBสมมติว่าและมียืนยันของและBLet และเป็นใบรับรองโดยพลการของและตามให้เป็นที่ของตาม B $x$ $\overline{x}$ $A$ $x'$ $B$ $V_A$ $V_B$ $A$ $B$ $y$ $\overline{y}$ $x$ $\overline{x}$ $V_A$ $z$ $x'$ $V_B$

สร้างตัวตรวจสอบใหม่และพร้อมใบรับรองใหม่และ : $V'_A$ $V'_B$ $y'$ $z'$

$V'_A(x,y'):$

: ถ้าปฏิเสธ ส่งออกมิฉะนั้น ) $y'=\langle 0,\overline{x},\overline{y}\rangle$ $f(x)\ne f(\overline{x})$ $V_A(\overline{x},\overline{y})$
: เอาท์พุท ) $y'=\langle 1,z\rangle$ $V_B(f(x),z)$

$V'_B(x',z'):$

: เอาท์พุท ) $z'=\langle 0,z\rangle$ $V_B(x',z)$
: ถ้า , ปฏิเสธ ส่งออกมิฉะนั้น ) $z'=\langle 1,x,y\rangle$ $x'\ne f(x)$ $V_A(x,y)$

ฟังก์ชันที่คำนวณได้แบบ polynomial-time และถูกกำหนดดังนี้: $g$ $h$

$g(x,y')$

: เอาท์พุท ⟩ $y'=\langle 0,\overline{x},\overline{y}\rangle$ $\langle 1,\overline{x},\overline{y}\rangle$
: เอาท์พุท ⟩ $y'=\langle 1,z\rangle$ $\langle 0,z\rangle$

$h(x',z')$

: เอาท์พุท ⟩ $z'=\langle 0,z\rangle$ $\langle 1,z\rangle$
: เอาท์พุท ⟩ $z'=\langle 1,x,y\rangle$ $\langle 0,x,y\rangle$

Let เป็นชุดของใบรับรองทั้งหมดของตามและเป็นชุดของใบรับรองทั้งหมดของตาม Bจากนั้นชุดใบรับรองทั้งหมดของตามคือเช่นนั้น $Y_x$ $x$ $V_A$ $Z_{x'}$ $x'$ $V_B$ $x$ $V'_A$ $0\overline{x}Y_\overline{x}+1Z_{f(x)}$ $f(x)=f(\overline{x})$ และชุดของใบรับรองทั้งหมดของตามเป็นเช่นว่า ) $x'$ $V'_B$ $0Z_{x'}+1\overline{x}Y_\overline{x}$ $x'=f(\overline{x})$

(นี่มาจากภาษาที่รับได้ของและ ) $V'_A$ $V'_B$

ตอนนี้ให้ส่วนที่เหลือนั้นง่ายต่อการตรวจสอบ $x'=f(x)$

complexity-theory reductions check-my-proof

— ซีซี
แหล่งที่มา

ก่อนที่จะพิสูจน์ข้อเรียกร้องของคุณคุณควรกำหนดความหมายของภาษาที่เลวินให้กับผู้อื่นได้

— Tsuyoshi Ito

คำตอบ:

$\mathsf{NP}$

ประการที่สองการลดเลวินหมายความว่าหนึ่งสามารถค้นหาใบรับรองหนึ่งจากใบรับรองอื่น ๆ มันเป็นความจริงที่การลดลงของคาร์ปที่รู้จักกันดีระหว่างปัญหาทางธรรมชาติกลายเป็นการลดเลวิน แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นเรื่องจริงโดยทั่วไป

$A$ $B$

$\mathsf{NP\text{-}complete}$ $\mathsf{NP}$

— Kaveh
แหล่งที่มา

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

N P

$NP$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

ในการพิสูจน์ของฉันก่อนอื่นให้

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

N P

$NP$

M_{1}

$M_1$

M_{2}

$M_2$

x \in L_{1}

$x\in L_1$

Y_{x}

$Y_x$

T M_{1}

$TM_1$

Z_{x^{'}}

$Z_{x'}$

x^{'} \in L_{2}

$x'\in L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

f

$f$ ตามที่กำหนดไว้

— ซีซี

ตอนนี้เราสร้าง

ใหม่

M_{1}^{'}

$M_1'$

M_{2}^{'}

$M_2'$

x \in L_{1}

$x\in L_1$

0 Y_{x} + 1 Z_{f (x)}

$0Y_x+1Z_{f(x)}$

f (x) \in L_{2}

$f(x)\in L_2$

0 Z_{f (x)} + 1 x Y_{x}

$0Z_{f(x)}+1xY_x$

M_{1}^{'}

$M_1'$

M_{2}^{'}

$M_2'$

g

$g$

h

$h$

x^{'} \in L_{2}

$x'\in L_2$

x \in L_{1}

$x\in L_1$

x^{'} = f (x)

$x'=f(x)$

@cc ดูเหมือนว่าคุณยังคงคิดว่าคุณสามารถเปลี่ยน verifier ได้คุณไม่สามารถนิยามของการลดเลวินได้สำหรับปัญหาการค้นหาเช่นตัวตรวจสอบได้รับการแก้ไขแล้ว

— Kaveh

$x_1, x_2 \in L_1$ $f(x_1) = f(x_2) \in L_2$ $w$ $x_1$ $x_2$

$M_1'(x_1,\langle 0,w \rangle)= M_1(x_1,w)=1$

$M_1'(x_2,\langle 0,w \rangle)= M_1(x_2,w)=0$

$g(x_1,\langle 0,w \rangle) = \langle 1,x_1,w \rangle$

ดังนั้น $f(x_1)=f(x_2)$ $M'_2(f(x_2),\langle 1,x_1, w \rangle)) = M_1(x_1,w) = 1$ $\langle 1,x_1, w \rangle$ $f(x_2)$ แต่

$h(f(x_2), \langle 1,x_1, w \rangle) = \langle 0, w \rangle$ $x_2$

— Vor
แหล่งที่มา

ขอบคุณมากสำหรับการชี้ตัวอย่างของตัวอย่าง ฉันได้แก้ไขการก่อสร้างและฉันคิดว่ามันทำงานได้ในขณะนี้ คุณช่วยดูหน่อยได้ไหม?

— ซีซี