การลดพหุนามจากปัญหา NP-Complete ใด ๆ ไปยัง PCP ที่มีขอบเขต

หนังสือแบบเรียนทุกแห่งสมมติว่าปัญหาสารบรรณโพสต์ที่ถูกผูกไว้เป็นปัญหาสมบูรณ์ (ไม่เกินดัชนีอนุญาตให้ทำซ้ำได้) อย่างไรก็ตามไม่มีที่ใดที่แสดงให้เห็นถึงการลดเวลาพหุโนเมียจากปัญหา NP-complete อีกอย่างหนึ่งอย่างง่าย$N$

อย่างไรก็ตามการลดลงทุกครั้งที่ฉันนึกได้ก็คือเอ็กซ์โพเนนเชียล (โดยหรือตามขนาดของซีรี่ส์) ในเวลาทำงาน บางทีมันสามารถแสดงให้เห็นว่ามันลดลงถึง SAT?$N$

มักจะเป็นกรณีที่มีการลด NP - มันทำให้รู้สึกถึงการมองหาปัญหาที่คล้ายกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นการยากที่จะเข้ารหัสเงื่อนไขทั่วโลกเช่น "ได้เห็นบางโหนด" ลงใน PCP (ที่มีหลายพหุนามกระเบื้อง) ซึ่งห้ามใช้ปัญหากราฟปัญหาการบรรจุจะทำให้เราต้องเข้ารหัสตัวเลขที่ไม่แน่นอนใน PCP (การสร้างอินสแตนซ์ขนาดใหญ่ชี้แจง) เป็นต้น ดังนั้นปัญหาเกี่ยวกับสตริงที่มีข้อ จำกัด ในตัวเครื่องเท่านั้นจึงคาดว่าจะทำงานได้ดีที่สุด

พิจารณาเวอร์ชันการตัดสินใจของปัญหาการสลับที่เป็นสามัญที่สั้นที่สุด :

ได้รับสองสาย, ข∈ Σ +กับ| a | = nและ| b | = มและk ∈ Nตัดสินใจว่ามีสตริงค∈ Σ +กับ| c | ≤ kดังกล่าวว่าและBมี subsequences ของค$a,b \in \Sigma^+$$|a|=n$$|b|=m$$k \in \mathbb{N}$$c \in \Sigma^+$$|c| \leq k$$a$$b$$c$

ความคิดคือการให้ PCP สร้าง supersequences ของและbจากซ้ายไปขวาเข้ารหัสในทับซ้อนของไทล์ที่ตำแหน่งที่เราอยู่ในaและbตามลำดับ มันจะใช้ไทล์เดียวต่อสัญลักษณ์ในcดังนั้นkจึงสอดคล้องกับขอบเขตของ BPCP: ถ้าเราสามารถแก้ PCP นี้ด้วยไพ่≤ kคุณสามารถอ่าน supersequence ทั่วไปที่มีความยาวเท่ากันและในทางกลับกัน$a$$b$$a$$b$$c$$k$$\leq k$

การก่อสร้างกระเบื้องค่อนข้างน่าเบื่อ แต่ค่อนข้างชัดเจน โปรดทราบว่าเราจะไม่สร้างกระเบื้องที่ไม่ได้ไปข้างหน้า$a$หรือ ; สิ่งเหล่านี้ไม่สามารถเป็นส่วนหนึ่งของการมีอำนาจเหนือสามัญที่สั้นที่สุดดังนั้นพวกเขาจึงไม่จำเป็น สามารถเพิ่มได้ง่ายโดยไม่ทำลายคุณสมบัติของการลด$b$

ตัวเลขในการทับซ้อนนั้นจะถูกเข้ารหัสเป็นเลขฐานสอง แต่การใช้สัญลักษณ์นอกและใส่เข้าไปในความยาวสูงสุดบันทึกทั่วไป( m $\Sigma$ ) ดังนั้นเราจึงมั่นใจได้ว่ากระเบื้องถูกนำมาใช้เป็นกราฟิกแนะนำ (tetris) นั่นคือตัวละครและการซ้อนทับการเข้ารหัสดัชนีไม่รวมกัน (PCP ไม่ได้ป้องกันสิ่งนี้ตามลำดับ) พวกเราต้องการ:$\log \max(m,n)$

• กระเบื้องเริ่มต้นที่: สามารถเริ่มต้นด้วย1 ,$c$$a_1$หรือทั้งสองอย่างถ้าพวกเขามีค่าเท่ากัน$b_1$
• Intermediate tiles: สามารถดำเนินการกับสัญลักษณ์ถัดไปในa , bหรือทั้งสองถ้ามันเท่ากัน$c$$a$$b$
• การยกเลิกไทล์: ลงท้ายด้วยสัญลักษณ์สุดท้ายของa (หากเห็นอันสุดท้ายของbแล้ว), คล้ายกับbหรือด้วยสัญลักษณ์สุดท้ายของทั้งสอง$c$$a$$b$$b$

นี่คือแผนผังของกระเบื้อง โปรดทราบว่ากระเบื้องกลางจะต้องมีการยกตัวอย่างสำหรับทุกคู่ ] ดังที่ได้กล่าวมาแล้วสร้างไทล์โดยไม่มี∗เฉพาะเมื่อตัวละครที่เกี่ยวข้องในการแข่งขันaและ$(i,j) \in [n]\times [m]$$*$$a$$b$

^{[ แหล่งที่มา ]}

เป็นสัญลักษณ์สำหรับ "ไม่สนใจ"; ในกระเบื้องจริงสัญลักษณ์อื่นจะต้องถูกคัดลอกที่นั่น หมายเหตุว่าจำนวนของกระเบื้องที่อยู่ในΘ ( มn )และกระเบื้องแต่ละคนมีความยาว4 บันทึกสูงสุด( ม. , n ) + 1ดังนั้นเช่น BPCP สร้าง (มากกว่าตัวอักษรΣ ∪ { 0 , 1 $*$$\Theta(mn)$$4\log \max(m,n) + 1$$\Sigma \cup \{0,1\}$บวกสัญลักษณ์แยก) มีขนาดพหุนาม นอกจากนี้การก่อสร้างของกระเบื้องทุกกระเบื้องเป็นไปได้อย่างชัดเจนในเวลาพหุนาม ดังนั้นการลดลงที่เสนอจึงเป็นการแปลงพหุนามที่ถูกต้องซึ่งจะช่วยลดปัญหา supersequence ทั่วไปที่สั้นที่สุดให้กับ BPCP

ฉันคิดว่าคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่า BPCP นั้นสมบูรณ์แบบ NP โดยใช้การลดที่คล้ายกับที่ใช้ในการพิสูจน์ความไม่แน่นอนของมัน เราจะพิสูจน์โดยตรงว่า BPCP นั้นสมบูรณ์แบบด้วย NP โดยแสดงวิธีการลดปัญหาใด ๆ ใน NP ไปในเวลาพหุนาม

การลดมาตรฐานที่ใช้เพื่อพิสูจน์ PCP ที่เป็นที่ตัดสินไม่ได้ ( ร่างออกจากที่นี่ ) ทำงานโดยการสร้างชุดของกระเบื้องดังกล่าวว่ามีวิธีแก้ปัญหาพีซี IFF มีการคำนวณการยอมรับของที่กำหนด TM บนสตริงW จำนวนของกระเบื้องที่สร้างขึ้นในการลดนี้มีขนาดใหญ่มาก - โดยเฉพาะจำนวนโดมิโนที่สร้างขึ้นคือฟังก์ชั่นบางอย่างของขนาดของตัวอักษรเทปและจำนวนสถานะใน TM โดมิโนเท่านั้นที่มีขนาดใหญ่อาจเป็นโดมิโนเริ่มต้นซึ่งมี$M$$w$$w$เขียนบนมัน หากเราสรุปการลดลงนี้จากการทำงานกับ TM ที่กำหนดขึ้นมาให้ทำงานกับ nondeterministic TMs นี่จะแนะนำจำนวนโดมิโนคงที่ส่วนใหญ่เนื่องจากจำนวนการเปลี่ยนมี จำกัด ดังนั้นเราสามารถสร้างชุดมาตรฐานของโดมิโนเพื่อลดความไม่แน่นอนในเวลาพหุนาม

เมื่อพิจารณาถึงสิ่งนี้เราสามารถลดปัญหา NP ให้เป็น BPCP ดังต่อไปนี้ - เนื่องจากปัญหา NP ใด ๆ ก็มี NTM แบบพหุนามเวลาบางส่วนที่ทำงานในเวลาp ( $M$) จากนั้นเราสามารถลดปัญหานี้เป็น BPCP ในเวลาพหุนามดังนี้ - สร้างชุดมาตรฐานของโดมิโนจาก Mแล้วถามว่ามีวิธีแก้ปัญหาที่ใช้ f ( p ( n ) ) หรือไม่โดยที่ fคือฟังก์ชันพหุนามที่แสดงออกถึง จำนวนโดมิโนที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาที่มีอยู่ (นี่อาจเป็นอะไรที่เหมือน$p(n)$$M$$f(p(n))$$f$$n^2$และแน่นอนไม่ได้อธิบาย) จากนั้นใช้หลักฐานเดียวกับที่คุณใช้เพื่อแสดงว่า PCP ไม่สามารถตัดสินใจได้คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีวิธีแก้ปัญหาสำหรับอินสแตนซ์ BPCP นี้ที่ใช้ไทล์ถ้าหาก NTM Mดั้งเดิมยอมรับmภายในp ( n )ขั้นตอน ดังนั้นเราจึงลดเวลาพหุนามจากทุกปัญหาใน NP เป็น BPCP ดังนั้น BPCP จึงเป็น NP-hard$f(p(n))$$M$$m$$p(n)$

(เราควรแสดงให้เห็นว่า BPCP อยู่ใน NP แต่ก็เป็นเรื่องง่ายเพียงแค่คาดเดากันไม่ได้ว่าโดมิโนตัวไหนที่จะต้องเรียงตามลำดับ

หวังว่านี่จะช่วยได้!