การคำนวณจำนวนบิตของพลังงานจำนวนเต็มขนาดใหญ่

ด้วยจำนวนเต็มสองจำนวนและnในการแทนฐานสองความซับซ้อนของการคำนวณขนาดบิตของx nคืออะไร?$x$$n$$x^n$

วิธีหนึ่งในการทำเช่นนั้นคือการคำนวณโดยคำนวณการประมาณของlog 2 ( x )ด้วยความแม่นยำเพียงพอ ปรากฏว่าการคำนวณล็อก2 ( x )พร้อมkบิตของ precisions สามารถทำได้ในO ( M ( k ) บันทึกk )โดยที่M $1+\lfloor \log_2(x^n)\rfloor=1+\lfloor n\log_2(x)\rfloor$$\log_2(x)$$\log_2(x)$$k$$O(M(k)\log k)$คือเวลาที่จำเป็นในการคำนวณผลิตภัณฑ์สองจำนวนเต็มของความยาวk นี่เป็นอัลกอริธึมของความซับซ้อน (ไม่ใช่แบบธรรมดา) โดยประมาณ O ( s log 2 s )ถ้า sถูกผูกไว้กับบิตของทั้ง xและ n (ถ้าฉันไม่มีข้อผิดพลาด)$M(k)$$k$$O(s\log^2 s)$$s$$x$$n$

เราสามารถเอาชนะโดยที่sคือขนาดของxและn (ในกรณีที่มีขนาดใกล้เคียงกัน)? มีอัลกอริทึมง่าย ๆ ที่จะทำให้เกิดความซับซ้อนนี้หรือดีกว่า$O(s\log^2(s))$$s$$x$$n$

หมายเหตุ: ฉันสนใจความซับซ้อนในแบบจำลองทางทฤษฎีเช่นเครื่องทัวริง

[แก้ไข]ตามที่แนะนำฉันแก้ไขคำตอบของฉันเพื่อให้รายละเอียดเพิ่มเติม

คำตอบสำหรับคำถามที่สองของฉันคือไม่ :

เรื่อง คอมพิวเตอร์ขึ้นอยู่กับความแม่นยำkเป็นอย่างน้อยเป็นเรื่องยากที่คำนวณบิตขนาดของx 2 k$\log(x)$$k$$x^{2^k}$

พิสูจน์ ให้แสดงบิตขนาดของจำนวนเต็มY แจ้งให้ทราบล่วงหน้าครั้งแรกที่ติดลบY , บิตขนาดของปีคือ1 + ⌊ บันทึกY ⌋$|y|$$y$$y$$y$$1+\lfloor \log y\rfloor$

ดังนั้น ⌋ ตอนนี้ล็อก2 k ( x ) คือล็อก( x )เลื่อนตำแหน่งkไปทางซ้าย ดังนั้นเราสามารถคำนวณlog ( x )ถึงความแม่นยำk ได้โดยเพียงแค่ลบ1ถึงบิตขนาดx 2 kและเลื่อนตำแหน่งkผลลัพธ์ไปทางขวา$\left|x^{2^k}\right| = 1+\lfloor 2^k\log x\rfloor$$2^k\log(x)$$\log(x)$$k$$\log(x)$$k$$1$$x^{2^k}$$k$