การหา GCD สูงสุดตามลำดับสูงสุดของชุดตัวเลขธรรมชาติอย่างมีประสิทธิภาพ

พิจารณาปัญหาต่อไปนี้:

ปล่อย $S = \{ s_1, s_2, ... s_n \}$ เป็นเซตย่อยของตัวเลขธรรมชาติ

ให้ | โดยที่เป็นตัวหารร่วมมากที่สุดของและ$G = \{$ $gcd(s_i, s_j)$$s_i, s_j \in S,$ $s_i \neq s_j \}$$gcd(x,y)$$x$$y$

ค้นหาองค์ประกอบสูงสุดของG$G$

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยการใช้ตัวหารสามัญที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของแต่ละคู่โดยใช้อัลกอริทึมของ Euclid และติดตามตัวที่ใหญ่ที่สุด

มีวิธีที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นในการแก้ปัญหานี้หรือไม่?

นี่คืออัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพ (ในPython ) โปรดหาคำอธิบายด้านล่าง

def max_gcd_pair(S):
    # Assumption 1: S is the list of numbers
    # Assumption 2: There are no duplicates in S

    s = set(S)
    m = max(S)

    res = 0
    i = m

    while(i > 0):
        a = i
        cnt = 0
        while (a<=m): # a maxed at max of the list
            if a in s:   
               cnt += 1
            a += i

        if cnt >= 2:  # we have found the result
            res = i
            break

        i = i -1 

    return res

คำอธิบายตัวอย่างโค้ดข้างต้น:

เราสังเกตสิ่งต่อไปนี้ในปัญหานี้:

1. ผลลัพธ์ต้องไม่เกิน max(S)
2. ผลลัพธ์คือตัวเลขที่มีทวีคูณอย่างน้อยสองรายการในรายการนี้ S
3. ในความเป็นจริงผลที่ได้คือmaxตัวเลขทั้งหมดดังกล่าวกับทรัพย์สินที่กล่าวถึงข้างต้น

ด้วยการสังเกตเหล่านี้โปรแกรมจะทำสิ่งต่อไปนี้:

1. ทำsetรายการ เป็นชุดสามารถค้นหาได้อย่างมีประสิทธิภาพในO(log(n))
2. mค้นหาสูงสุดของรายการและเก็บไว้ในตัวแปร
3. เริ่มต้นจากmจนถึง1ค้นหาหมายเลขแรกที่มีทวีคูณอย่างน้อยสองรายการในชุด หมายเลขดังกล่าวแรกที่พบคือผลลัพธ์

ฉันหวังว่านี่ชัดเจน โปรดแจ้งให้เราทราบหากคุณต้องการคำอธิบายโดยละเอียดเพิ่มเติม