งงงวยโดยทฤษฎีบทของข้าว

สรุป:ตามทฤษฎีบทของไรซ์ทุกอย่างเป็นไปไม่ได้ แต่ถึงกระนั้นฉันก็ทำสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ตลอดเวลา!

แน่นอนทฤษฎีบทของไรซ์ไม่เพียงแค่พูดว่า "ทุกอย่างเป็นไปไม่ได้" มันบอกอะไรบางอย่างที่ค่อนข้างเฉพาะเจาะจง: "คุณสมบัติของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ทุกโปรแกรมไม่สามารถคำนวณได้"

(ถ้าคุณต้องการที่จะแยกเส้นผมคุณสมบัติ "ไม่สำคัญ" ทุกอย่างนั่นคือคุณสมบัติที่โปรแกรมทั้งหมดมีหรือไม่มีโปรแกรมที่มีการคำนวณได้เล็กน้อย แต่คุณสมบัติอื่น ๆ นั้นไม่สามารถคำนวณได้)

นั่นคือสิ่งที่ทฤษฎีบทพูดหรือดูเหมือนจะพูด และน่าจะมีคนฉลาดจำนวนมากได้ตรวจสอบความถูกต้องของทฤษฎีนี้อย่างรอบคอบ แต่ดูเหมือนว่าจะท้าทายตรรกะอย่างสมบูรณ์! มีคุณสมบัติมากมายของโปรแกรมที่ไม่สำคัญในการคำนวณ !! ตัวอย่างเช่น:

• โปรแกรมดำเนินการกี่ขั้นตอนก่อนหยุดพัก ในการตัดสินใจว่าจำนวนนี้มี จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุดเป็นปัญหาการหยุดชะงักอย่างแม่นยำซึ่งไม่สามารถคำนวณได้ ที่จะตัดสินใจว่าตัวเลขนี้เป็นมากหรือน้อยกว่าบาง จำกัดเป็นที่น่ารำคาญ! เพียงเรียกใช้โปรแกรมนานถึงnขั้นตอนและดูว่าหยุดทำงานหรือไม่ ง่าย!$n$$n$

• โปรแกรมใช้หน่วยความจำมากกว่าหรือน้อยกว่าหน่วยในขั้นตอนการเอ็มครั้งแรกหรือไม่ คำนวณได้เล็กน้อย$n$$m$

• ข้อความของโปรแกรมพูดถึงตัวแปรที่ชื่อหรือไม่? การวิเคราะห์ข้อความเล็กน้อยจะเปิดเผยคำตอบ$k$

• โปรแกรมเรียกใช้คำสั่งหรือไม่ สแกนข้อความของโปรแกรมอีกครั้งเพื่อค้นหาชื่อคำสั่งนั้น$\sigma$

ฉันสามารถเห็นความอุดมสมบูรณ์ของคุณสมบัติที่ทำดูไม่ใช่คำนวณเช่นกัน; เช่นการเติมเต็มจำนวนของโปรแกรมทำงานเป็นจำนวนเท่าใด? เกือบจะเหมือนกันกับการถามว่ามีกี่ขั้นตอนในการทำงานของโปรแกรมซึ่งเป็นปัญหาการหยุดชะงัก แต่ดูเหมือนว่ามีคุณสมบัติโปรแกรมจำนวนมากซึ่งง่ายต่อการคำนวณ ทฤษฎีบทของไรซ์ยังยืนยันว่าไม่มีใครสามารถคำนวณได้

สิ่งที่ฉันหายไปที่นี่?

$f$$g$$n$$f(n)$$g(n)$

$P$$f$$g$$P$

นี่คือตัวอย่างของคุณสมบัติที่ไม่ใช่มิติ:

1. $n$
2. $n$$m$
3. kข้อความที่กล่าวถึงโปรแกรมชื่อตัวแปร (เราสามารถเปลี่ยนชื่อตัวแปร)
4. $\sigma$$\sigma$$\sigma$

ฉันแน่ใจว่าคุณสังเกตเห็นว่าฉันระบุตัวอย่างที่ถูกกล่าวหาของคุณอย่างชัดเจนถึงทฤษฎีบทของไรซ์ซึ่งกล่าวว่า:

ทฤษฎีบท (ข้าว):คำนวณextensionalคุณสมบัติของโปรแกรมทั้งถือของโปรแกรมทั้งหมดหรือของใคร

มีอีกวิธีในการอธิบายสิ่งนี้: คุณต้องแยกความแตกต่างระหว่างโปรแกรมและฟังก์ชันที่คำนวณ โปรแกรมที่แตกต่างกันมากมายคำนวณฟังก์ชั่นเดียวกัน ทฤษฎีบทของข้าวเป็นเรื่องเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชั่นไม่ใช่เกี่ยวกับคุณสมบัติของโปรแกรมที่คำนวณได้

ความเข้าใจผิดขั้นพื้นฐาน:

คุณสมบัติทั้งหมดของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ไม่สามารถคำนวณได้

$\emptyset \subset P \subset \mathsf{RE}$

$\qquad \displaystyle \{ \langle M \rangle \mid f_M \in P \}$

$P$

ทฤษฎีบทของข้าวเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติเชิงความหมาย (คุณสมบัติของฟังก์ชันที่คำนวณโดยโปรแกรมเช่นช่วงของโดเมนหรือค่า) สิ่งที่คุณอ้างถึงคือคุณสมบัติวากยสัมพันธ์ (คุณสมบัติของโปรแกรมเช่นรันไทม์หรือจำนวนตัวแปรที่ใช้)

ดูเหมือนจะไม่ค่อยเป็นที่รู้จักสำหรับคุณสมบัติวากยสัมพันธ์; ดูคำถามนี้