ผลรวมของข้อกำหนดของ Landau กลับมาอีกครั้ง

ฉันถามคำถาม (เมล็ด) เกี่ยวกับผลรวมของเงื่อนไขของ Landau มาก่อนพยายามวัดอันตรายจากการใช้เครื่องหมาย asymptotics ในทางคณิตศาสตร์ด้วยความสำเร็จที่หลากหลาย

ตอนนี้มากกว่าที่นี่กลับเป็นซ้ำกูรูของเราJeffEไม่เป็นหลักนี้:

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \Theta\left(\frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

ในขณะที่ผลลัพธ์สุดท้ายนั้นถูกต้องฉันคิดว่ามันผิด ทำไม? หากเราเพิ่มการมีอยู่ของค่าคงที่ทั้งหมด (เฉพาะขอบเขตบน) เราก็มี

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n c_i \cdot \frac{1}{i} \leq c \cdot H_n$ H_n

ตอนนี้เราจะคำนวณจากอย่างไร คำตอบคือฉันเชื่อว่าเราไม่สามารถ:ต้องผูกมัดสำหรับทั้งหมดแต่เราได้รับเพิ่มขึ้นเมื่อเติบโตขึ้น เราไม่รู้อะไรเกี่ยวกับพวกเขา อาจขึ้นอยู่กับเป็นอย่างมากดังนั้นเราจึงไม่สามารถคาดเดาขอบเขตได้:จำกัดอาจไม่มีอยู่จริง $c$ $c_1, \dots, c_n$ $c$ $n$ $c_i$ $n$ $c_i$ $i$ $c$

นอกจากนี้ยังมีปัญหาที่ลึกซึ้งของตัวแปรนี้ที่จะไม่มีที่สิ้นสุดทางด้านซ้ายมือ -หรือ ? ทั้งสอง? ถ้า (เพื่อความเข้ากันได้) ความหมายของคืออะไรรู้ว่า ? ไม่เพียง แต่หมายถึง ? ถ้าเป็นเช่นนั้นเราไม่สามารถผูกพันผลรวมได้ดีกว่า(N) $i$ $n$ $n$ $\Theta(1/i)$ $1 \leq i \leq n$ $\Theta(1)$ $\Theta(n)$

แล้วนั่นจะทิ้งเราไว้ที่ไหน? มันเป็นความผิดพลาดที่เห็นได้ชัด? อันบอบบาง? หรือเป็นเพียงการใช้สัญลักษณ์ในทางที่ผิดและเราไม่ควรมองสัญญาณเช่นนี้นอกบริบท? เราสามารถกำหนดกฎที่ถูกต้อง (อย่างเข้มงวด) เพื่อประเมินผลรวมของเงื่อนไขของ Landau (แน่นอน) ได้หรือไม่? $=$

ฉันคิดว่าคำถามหลักคือ:คืออะไร หากเราพิจารณาค่าคงที่ (เนื่องจากอยู่ภายในขอบเขตของผลรวม) เราสามารถสร้างตัวอย่างได้อย่างง่ายดาย ถ้ามันไม่คงที่ฉันก็ไม่รู้ว่าจะอ่านยังไง $i$

terminology asymptotics landau-notation

— กราฟิลส์
แหล่งที่มา

คำถามเกี่ยวกับ math.SEนี้เป็นการอ่านที่ดีเกี่ยวกับคณิตศาสตร์กับคำ Landau โดยทั่วไป

— กราฟิลส์

จากลิงก์ที่คุณให้คุณสามารถเห็นความเท่าเทียมกันว่าเป็นความสัมพันธ์ย่อยหรือ "อยู่ใน" ความสัมพันธ์ (เช่น ) สำหรับคุณแค่บอกว่ามันล้อมรอบด้านบนและด้านล่างด้วยค่าคงที่ ทำไมไม่เลือกและ ?

\in

$\in$

Θ

$\Theta$

c = min (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})

$c = \min(c_1, c_2, \cdots, c_n)$

C = max (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})

$C = \max(c_1, c_2, \cdots, c_n)$

— user834

แขวนไว้ที่นั่นบัคกี้ ฉันไม่ได้เขียนบทสรุปใด ๆ กับ Theta ในนั้น ฉันเขียนการเกิดซ้ำกับทีอยู่ในนั้น คุณตีความการเกิดซ้ำ " " เป็นอย่างอื่นที่ไม่ใช่ "มีฟังก์ชันเช่นว่า "?

t (n) = Θ (1 / n) + t (n - 1)

$t(n) = \Theta(1/n) + t(n-1)$

f \in Θ_{x \to \infty} (x \mapsto 1 / x)

$f \in \Theta_{x\to \infty}(x\mapsto 1/x)$

t (n) = f (n) + t (n - 1)

$t(n) = f(n) + t(n-1)$

— JeffE

@ ราฟาเอลไม่การเกิดซ้ำนั้นไม่เหมือนกับการคำนวณทางคณิตศาสตร์เหมือนกับเหตุผลที่คุณอธิบาย! การเกิดซ้ำมีคำหนึ่งเทต้าอยู่ในนั้นซึ่งหมายถึงฟังก์ชันเดียวอย่างไม่น่าสงสัย

— JeffE

นั่นไม่ง่ายนัก - ฉันไม่เห็นด้วยอย่างยิ่ง แต่ฉันคิดว่ามันเป็นเรื่องของรสนิยมและประสบการณ์

— JeffE

คำตอบ:

ดูเหมาะสมกับฉันในการประชุมต่อไปนี้:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \Theta(1/k)$ เป็นสัญกรณ์ที่สะดวกสำหรับ

มี (เหมือน ) เช่นนั้น $f(x) \in \Theta(1/x)$ $x \to \infty$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} f(k)$ (k)

ดังนั้น (หรือมีสัญกรณ์ในคำตอบนี้ ) คุณจะได้รับไม่ได้จริงๆขึ้นอยู่กับk $c_i$ $c_k$ $k$

ภายใต้การตีความนี้มันเป็นความจริงที่(H_n) $S_n = \Theta(H_n)$

ในความเป็นจริงตามคำตอบของเจฟฟ์เขาแสดงให้เห็นว่าที่ดังนั้นจึงสอดคล้องกับการตีความข้างต้น $T(k+1) = f(k) + T(k)$ $f \in \Theta(1/k)$

ความสับสนดูเหมือนจะเกิดขึ้นจากจิตใจ "unrolling" theและสันนิษฐานว่าฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันสำหรับการเกิดแต่ละ ... $\sum$ $\Theta$

— Aryabhata
แหล่งที่มา

Jup แต่ทุกสามารถมีฟังก์ชั่นของตัวเองและคงที่ ดังนั้นอนุสัญญานี้ใช้งานได้กับบริบทเท่านั้นนั่นคือถ้าเรารู้ว่าเงื่อนไขของรถม้าสี่ล้อนั้นเกิดขึ้นจากคำจำกัดความที่"เหมือนกัน" (ในและ ) ของการสรุป

Θ

$\Theta$

k

$k$

n

$n$

— กราฟิลส์

@Raphael: ดูเหมือนไม่มีความหมายที่จะเหยียดแล้วให้แตกต่างกัน

: คงที่ก็จะขึ้นอยู่กับตัวแปร! และมันจะกลายเป็นใช้งานไม่ถูกต้องของ

สมมติว่า

ตัวแปรคือ

(หรือ

ในคำตอบด้านบน) แม้ว่าเราสมมติว่าตัวแปรคือ

แต่มันก็ยังไม่มีความหมายสำหรับฉัน

f_{i}

$f_i$

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

i

$i$

k

$k$

n

$n$

— Aryabhata

ในหลักการทุก

สามารถมีค่าคงที่ของตัวเอง แต่ในบริบทโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่คุณอธิบายก็เป็นที่ชัดเจนว่าทุก

ไม่ได้มีค่าคงที่ของตัวเอง

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

— JeffE

@JeffE: ถูกต้อง เราสามารถมีหลาย

มีค่าคงที่ของตัวเองตราบใดที่คงมีอย่างต่อเนื่องจริงๆ :-)

Θ

$\Theta$

— Aryabhata

@JeffE เหตุใดคุณจึงไม่เพียงแค่เขียนสิ่งที่คุณหมายถึง แต่ชอบสิ่งที่คลุมเครือ / ผิด? โปรดทราบว่าตอนนี้คำตอบที่อัปเดตของฉันจะเสนอวิธีการดังกล่าว ฉันขอขอบคุณความคิดเห็นที่; downvotes ที่ไม่มีเหตุผลไม่ได้ช่วยให้ฉันเข้าใจว่าทำไมคนดูเหมือนจะปฏิเสธประเด็นของฉัน

— ราฟาเอล

ฉันคิดว่าฉันถูกจับปัญหาลง ในสาระสำคัญ: การใช้คำสั่ง Landau จะแยกค่าตัวแปรของฟังก์ชัน summand ออกจากตัวแปรการทำงานของผลรวม เรายังคง (ต้องการ) อ่านพวกเขาเหมือนกันดังนั้นจึงเกิดความสับสน

เพื่อพัฒนามันอย่างเป็นทางการสิ่งที่ไม่

$\qquad \displaystyle S_n \in \sum_{i=1}^n \Theta(f(i)) \qquad \qquad\qquad (1)$

จริงๆหมายถึงอะไร ตอนนี้ฉันสมมุติว่าให้ - ไม่ใช่ - กับอนันต์ ถ้าเราปล่อยให้ผลรวมทั้งหมดจะประเมินเป็น (ถ้าการเรียกนั้นเป็นอิสระจากและคงที่) ซึ่งผิดอย่างชัดเจน นี่เป็นของแจกแรกที่เราทำกับสิ่งที่หยาบ: ถูกผูกไว้ (และคงที่) ภายในผลรวม แต่เรายังปล่อยให้มันไปไม่สิ้นสุด? $\Theta$ $i$ $n$ $n \to \infty$ $\Theta(n)$ $n$ $i$

การแปล (สำหรับขอบเขตบนขอบล่างทำงานคล้ายกัน) เราได้รับ $(1)$

$\qquad \displaystyle \exists f_1, \dots, f_n \in \Theta(f).\ S_n \leq \sum_{i=1}^n f_i(i)$

ตอนนี้เห็นได้ชัดว่า sum- และพารามิเตอร์ - decoupled: เราสามารถกำหนดเพื่อให้พวกเขาใช้เป็นค่าคงที่ได้อย่างง่ายดาย ในตัวอย่างจากคำถามเราสามารถกำหนด $i$ $i$ $f_i$ $i$ และมีการ $f_i(j) = i \cdot \frac{1}{j} \in \Theta(1/j)$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=0}^n f_i(i) "=" \sum_{i=0}^n \Theta(1/j) = \sum_{i=0}^n \Theta(1/i)$

แต่ผลรวมเดิมอย่างเห็นได้ชัดไม่ได้ประเมินอะไรบางอย่างใน )ตอนนี้การแลกเปลี่ยนสำหรับ - ซึ่งเป็นเพียงการเปลี่ยนชื่อ - ในอาจจะรู้สึกแปลก ๆ เพราะไม่ได้เป็นอิสระของรับผิดชอบ ผลรวม แต่ถ้าเราคัดค้านถึงตอนนี้เราไม่ควรใช้ในในตอนแรก (เหมือนที่มีความแปลก) $\Theta(H_n) = \Theta(\log n)$ $j$ $i$ $\Theta$ $i$ $n$ $i$ $\Theta$

โปรดทราบว่าเราไม่ได้ใช้ประโยชน์จากว่ายังอาจขึ้นอยู่กับn $f_i$ $n$

เพื่อสรุปตัวตนที่เสนอคือปลอม แน่นอนเราสามารถเห็นด้วยกับอนุสัญญาว่าด้วยวิธีการอ่านจำนวนเงินดังกล่าวว่าเป็นตัวย่อของการคำนวณอย่างเข้มงวด อย่างไรก็ตามการประชุมดังกล่าวจะไม่สอดคล้องกับคำจำกัดความของรถม้าสี่ล้อ (พร้อมกับการละเมิดปกติของพวกเขา) เป็นไปไม่ได้ที่จะเข้าใจอย่างถูกต้องโดยไม่มีบริบทและทำให้เข้าใจผิด (สำหรับผู้เริ่มต้น) อย่างน้อย - แต่นั่นก็เป็นเรื่องของรสนิยม ?)

มันเกิดขึ้นกับผมว่าเรายังสามารถเขียนว่าสิ่งที่เราหมายและยังคงใช้ประโยชน์จากความสะดวกสบายของเงื่อนไขรถม้าสี่ล้อ เรารู้ว่าการสรุปทั้งหมดมาจากฟังก์ชั่นทั่วไปหนึ่งเดียวซึ่งหมายความว่าขอบเขตของซีมโทติคใช้ค่าคงที่เดียวกัน สิ่งนี้จะหายไปเมื่อเราใส่ลงในผลรวม เพื่อให้เราไม่ได้ใส่ไว้ในการมีและการเขียน $\Theta$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{2i - 1}{i(i+1)} \in \Theta\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

แทน. การใส่นอกผลรวม $\Theta$

คำสั่งที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์และ
เป็นคำง่ายๆภายในเราสามารถจัดการกับ (ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการที่นี่ใช่ไหม?) $\Theta$

ดังนั้นจึงดูเหมือนว่าฉันว่านี้เป็นทั้งที่ถูกต้องและวิธีที่มีประโยชน์ในการเขียนลงเรื่องและดังนั้นจึงควรเป็นที่ต้องการมากกว่าการใช้สัญลักษณ์กุ๊บภายในรวมเมื่อเราหมายถึงพวกเขานอกของมัน

— กราฟิลส์
แหล่งที่มา

พิจารณา

ฉัน

ฉันสามารถกำหนด

(ใช้

เป็นค่าคงที่) ดังนั้น

โดยเหตุผลของคุณใช่ไหม? แต่จำนวนนี้เป็น

)

\sum_{i}^{n} i

$\sum_i^n i$

f_{i} (n) = i

$f_i(n)=i$

i

$i$

\sum_{i}^{n} i = \sum_{i}^{n} O (1) = O (n)

$\sum_i^n i = \sum_i^n O(1) = O(n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Xodarap

@Xodarap: โดยเหตุผลของฉันยุบรวมเช่นนี้ไม่ได้ทำงานเพราะการมีเพศสัมพันธ์ภายใน

s (ซึ่งยังไม่ได้คู่กับ

มิได้

) เพื่อ

ไม่เปลี่ยนความหมาย

Θ

$\Theta$

i

$i$

n

$n$

n

$n$

— กราฟิลส์

ฉันไม่ได้มีเพศสัมพันธ์ให้พวกเขา

ฉันเพียงแค่ใช้ความจริงที่ว่า

(และฉันก็คิดว่าความจริงที่ว่า

n

$n$

\sum_{i}^{n} k = n k

$\sum_i^n k = nk$

n O (f) = O (n f)

$nO(f)=O(nf)$

— Xodarap

@Xodarap: แต่คุณไม่ได้มีหนึ่ง

แต่

ต่อตัวตั้ง ถ้าฟังก์ชั่นพื้นฐาน

ใช้

(เป็นปัจจัยคงที่) คุณต้องขยายมันและผลรวมจะถูกต้อง ดังนั้นชัดเจนโดยเหตุผลของฉันกฎข้อสรุปที่คุณเสนอไม่ทำงานตามที่คุณเขียน

f

$f$

f_{i}

$f_i$

f_{i}

$f_i$

i

$i$

— กราฟิลส์

ถ้าฉันมีลำดับ

แต่ละอันคือ

(หากพวกเขาไม่เพิ่มขึ้นเมื่อซีรีส์ดำเนินไป) คุณจะบอกว่าการเพิ่ม

ของพวกเขาจะสร้างผลรวม

? อะไรคือความแตกต่างถ้าแทนที่จะเป็นค่าคงที่ฉันอธิบายว่ามันเป็นฟังก์ชันคงที่

5, 1, 3, 2, \dots

$5,1,3,2,\dots$

O (1)

$O(1)$

n

$n$

O (n)

$O(n)$

f_{1} (x) = 5, f_{2} (x) = 1, \dots

$f_1(x)=5,f_2(x)=1,\dots$

— Xodarap

-1

ถ้าแต่ละเป็นค่าคงที่แล้วมีบางดังกล่าวว่า xดังนั้นชัดเจน $c_i$ $c_{max}$ $\forall c_i: c_i\leq c_{max}$ ความคิดเดียวกันสำหรับ o เล็กน้อย

\sum c_{i} f (i) \leq \sum c_{m a x} f (i) = c_{m a x} \sum f (i) = O (\sum f (i))

$\sum c_i f(i) \leq \sum c_{max} f(i) = c_{max} \sum f(i) = O\left(\sum f(i)\right)$

ผมคิดว่าปัญหาที่เกิดขึ้นที่นี่เป็นที่ )มัน (เนื่องจากไม่มีดังกล่าวว่า ) ดังนั้นผลรวมโดยรวมจะเป็น )และแต่ละเทอมคือหมายถึงผลรวมโดยรวมคือ $1/i\not=\Theta(1)$ $o(1/n)$ $\epsilon$ $\forall i: 1/i>\epsilon$ $no(1/n)=o(1)$ $O(1)$ $O(n)$ . ดังนั้นไม่สามารถหาขอบเขตที่แน่นได้จากวิธีนี้

ฉันคิดว่าคำถามของคุณคือ:

คือวิ่งโดยทำ o เล็ก ๆ น้อย ๆ ของแต่ละคำและ o ใหญ่ของแต่ละเทอมแล้วคูณด้วยยอมรับ? (คำตอบ: ใช่) $\sum_i^n f(i)$ $n$
มีวิธีที่ดีกว่านี้ไหม? (คำตอบ: ไม่ใช่ที่ฉันรู้)

หวังว่าคนอื่นสามารถตอบได้อย่างชัดเจน # 2

แก้ไข: ดูคำถามของคุณอีกครั้งฉันคิดว่าคุณถาม

? $\sum_i^n \Theta(f(n)) = \Theta(nf(n))$

คำตอบคือใช่ ในกรณีนี้แม้ว่าแต่ละเทอมไม่อะไรดังนั้นวิธีการที่แตกสลาย $\Theta$

แก้ไข 2: คุณพูดว่า "พิจารณาจากนั้นไม่มี " ความจริงที่แจ่มแจ้ง ถ้าคุณบอกว่าเป็นฟังก์ชันที่ไม่ใช่ค่าคงที่ของนั่นก็คือนิยามโดย non-constant $c_i=i$ $c_{max}$ $c_i$ $i$

โปรดทราบว่าถ้าคุณกำหนดวิธีนี้แล้วไม่ได้เป็นก็ )แน่นอนถ้าคุณนิยาม "ค่าคงที่" ให้หมายถึง "ฟังก์ชั่นใด ๆ ของ " ดังนั้นฟังก์ชันสองอันของแตกต่างกันโดย "ค่าคงที่"! $c_i i$ $\Theta(i)$ $\Theta(i^2)$ $i$ $i$

บางทีนี่อาจเป็นวิธีที่ง่ายกว่าที่จะคิด: เรามีลำดับ . คำที่เล็กที่สุดในลำดับนี้คืออะไร ดีก็จะขึ้นอยู่กับnดังนั้นเราจึงไม่สามารถพิจารณาเงื่อนไขที่คงที่ได้ $1,\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{n}$ $n$

(นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์มักคุ้นเคยกับ big-O ดังนั้นจึงอาจง่ายกว่าถ้าถามว่ามีคำที่ใหญ่ที่สุดคงที่) $1,\dots,n$

เพื่อให้หลักฐานขอให้เป็นค่าที่เล็กที่สุดของในช่วง nจากนั้น $f(i_{min})$ $f(i)$ $1,\dots,n$

\sum_{i}^{n} f (i) \geq \sum_{i}^{n} f (i_{m i n}) = n f (i_{m i n}) = n o (f (n))

$\sum_i^n f(i) \geq \sum_i^n f(i_{min}) = n f(i_{min}) = n o(f(n))$

สามารถทำการพิสูจน์แบบอะนาล็อกสำหรับขอบเขตบน

สุดท้ายคุณเขียนว่าและให้พิสูจน์ว่า )นี่คือความจริงที่เคาน์เตอร์หลักฐาน: ถ้าคือ "ใหญ่กว่า" กว่าแล้วมันไม่สามารถเป็น "ขนาดเล็ก" กว่าซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นเพื่อให้เป็น )ดังนั้นจึงไม่สามารถ ) $H_n = o(n)$ $H_n = \Theta(\log n)$ $H_n$ $n$ $\log n$ $\Theta(\log n)$ $o(n)$

— Xodarap
แหล่งที่มา

1) ".. แล้วก็มี

เช่นนั้น ... " - ไม่ไม่มี พิจารณา

กับ

ฉัน

2) "ผมไม่คิดว่า

" -

)

มันคือ

- มันผิด เช่น

c_{m a x}

$c_{max}$

(c_{i})_{i \in N}

$(c_i)_{i \in \mathbb{N}}$

c_{i} = i

$c_i = i$

H_{n} = o (n)

$H_n=o(n)$

H_{n} \in Θ (\ln n)

$H_n \in \Theta(\ln n)$

1 / i \neq Θ (1)

$1/i\not=\Theta(1)$

o (1 / n)

$o(1/n)$

)

4) "(คำตอบ: ใช่)" - ตราบใดที่ฉันไม่เห็นหลักฐานที่เป็นทางการเกี่ยวกับข้อเท็จจริงนั้นฉันไม่เชื่อ นอกจากนี้ "การคูณด้วย

" ไม่ใช่สิ่งที่เกิดขึ้นในกรณีที่จัดแสดง

1 / i \geq 1 / n

$1/i \geq 1/n$

1 / i \in Ω (1 / n)

$1/i \in \Omega(1/n)$

n

$n$

— กราฟิลส์

ฉันคิดว่าคุณขาดจุด หลักฐานของคุณไม่ทำงานเพราะเราอาจไม่ได้เหมือนกัน

ทุกตัวตั้งและไม่ได้เหมือนกันสำหรับตัวตั้งเหมือนกัน แต่แตกต่างกันn

ฉันคิดว่าฉันถูกจับ ฉันจะเขียนคำตอบในไม่ช้า

f

$f$

n

$n$

— กราฟิลส์

ผมก็ยังไม่เข้าใจสิ่งที่คุณกำลังจะบอกว่าดังนั้นฉันดีใจที่คุณคิดออก :-)

— Xodarap