มีอะไรผิดปกติกับจำนวนเงินของเงื่อนไขรถม้าสี่ล้อ?

ฉันเขียน

$\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i} = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n)$

แต่เพื่อนของฉันบอกว่านี่มันผิด จากแผ่นโกง TCS ฉันรู้ว่าผลรวมจะเรียกว่าซึ่งมีการเจริญเติบโตในลอการิทึมnดังนั้นขอบเขตของฉันจึงไม่คมมาก แต่ก็เพียงพอสำหรับการวิเคราะห์ที่ฉันต้องการ $H_n$ $n$

ฉันทำอะไรผิด?

แก้ไข : เพื่อนของฉันบอกว่าด้วยเหตุผลเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้

$\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n i = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n)$

เห็นได้ชัดว่านี่ผิด! เกิดขึ้นที่นี่คืออะไร?

asymptotics landau-notation

— กราฟิลส์
แหล่งที่มา

ดูการอภิปรายเกี่ยวกับแท็กของคำถามนี้ที่นี่

— ราฟาเอล

อภิปรายเมตาเกี่ยวกับแท็กอัลกอริทึม

— Kaveh

ดูเพิ่มเติมที่การรักษาตัวอย่างที่เป็น

— Gilles 'หยุดความชั่วร้าย'

คำตอบ:

สิ่งที่คุณกำลังทำคือการใช้สัญลักษณ์ในทางที่ผิด

คนเดินถนนบางคนจะบอกว่าสิ่งที่คุณเขียนนั้นไร้สาระเนื่องจากหมายถึงชุดหนึ่งและคุณไม่สามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับพวกเขาในแบบที่คุณกำลังทำอยู่ $\mathcal{O}(f)$

แต่เป็นความคิดที่ดีที่จะเพิกเฉยต่อคนเดินถนนเหล่านั้นและคิดว่าย่อมาจากสมาชิกบางคนในกองถ่าย ดังนั้นเมื่อเราพูดสิ่งที่เราหมายถึงว่าจริงๆถ้า )(หมายเหตุ: คนเดินถนนบางคนอาจสั่นที่คำสั่งนี้เช่นกันโดยอ้างว่าเป็นตัวเลขและ $\mathcal{O}(f)$ $f(n) = g(n) + \mathcal{O}(n)$ $f(n) - g(n) \in \mathcal{O}(n)$ $f(n)$ $f$ เป็นฟังก์ชั่น!)

สิ่งนี้ทำให้สะดวกในการเขียนนิพจน์เช่น

n \leq \sum_{k = 1}^{n} k^{1 / k} \leq n + O (n^{1 / 3})

$n \le \sum_{k=1}^n k^{1/k} \le n + \mathcal{O}(n^{1/3})$

สิ่งที่หมายถึงนี้ก็คือว่ามีบางดังกล่าวว่า $f \in \mathcal{O}(n^{1/3})$

n \leq \sum_{k = 1}^{n} k^{1 / k} \leq n + f (n)

$n \le \sum_{k=1}^n k^{1/k} \le n + f(n)$

ในกรณีของคุณ

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{n} O (1) = O (n)

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(1) = \mathcal{O}(n)$

คุณกำลังใช้งานในทางที่ผิดยิ่งขึ้นและคุณต้องระวัง

มีการตีความที่เป็นไปได้สองประการที่นี่: อ้างถึงฟังก์ชันของหรือฟังก์ชันหรือไม่? $\mathcal{O}(1)$ $n$ $k$

ผมเชื่อว่าการตีความที่ถูกต้องคือการตีความว่ามันเป็นหน้าที่ของk $k$

หากคุณลองคิดว่ามันเป็นฟังก์ชั่นของคิดว่าไม่ถูกต้องมันอาจนำไปสู่การเข้าใจผิดที่อาจเกิดขึ้นเช่นการคิดว่าคือและพยายามเขียน $n$ $k$ $\mathcal{O}(1)$ $\sum_{k=1}^{n} k = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(1)$

ถ้าคุณลองคิดว่ามันเป็นฟังก์ชันของแล้วมันเป็นความจริงที่ว่าถ้า (เมื่ออาร์กิวเมนต์ไปที่ ) และไม่เคยเป็นนั่น $k$ $f = \mathcal{O}(g)$ $\infty$ $g$ $0$

S (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \sum_{k = 1}^{n} O (g (k)) = O (\sum_{k = 1}^{n} | g (k) |)

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(g(k)) = \mathcal{O}(\sum_{k=1}^{n} |g(k)|)$

โปรดทราบว่าอยู่ตรงกลางที่เราได้ใช้การละเมิดสะดวกของโน้ตหมายความว่าสำหรับฟังก์ชั่นบางรวมเป็น )โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นขั้นสุดท้ายภายในหมายถึงการทำงานของnหลักฐานที่ไม่ยาก แต่คุณต้องให้ความสำคัญกับความจริงที่ว่าคุณจะจัดการกับ asymptotic ผูกพันบน (เช่นสำหรับอาร์กิวเมนต์ขนาดใหญ่พอ) แต่รวมเริ่มต้นที่เหมาะสมใน1 $\mathcal{O}(g(k))$ $h \in \mathcal{O}(g)$ $\sum_{k=1}^{n} h(k)$ $\mathcal{O}$ $n$ $1$

ถ้าคุณลองคิดว่ามันเป็นฟังก์ชันของแล้วมันก็เป็นความจริงที่ว่าถ้า (เมื่ออาร์กิวเมนต์ไปที่ ) แล้ว $n$ $f = \mathcal{O}(g)$ $\infty$

S (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \sum_{k = 1}^{n} O (g (n)) = O (n g (n))

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(g(n)) = \mathcal{O}(n g(n))$

ดังนั้นหลักฐานของคุณจึงถูกต้องทั้งในการตีความ

— Aryabhata
แหล่งที่มา

ด้านล่างบรรทัด: โปรดทราบ (ให้แน่ใจว่า) ที่ทุกคนเกิดขึ้นของรถม้าเปิดตัวสัญลักษณ์ (มี) ค่าคงที่ของตัวเอง

— Raphael

$n$ $O(n)$

$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \le \ln n + 1 \le 2n = O(n)$ $\square$

The upper bound $O(n)$ isn't tight, but it's correct.

— JeffE
แหล่งที่มา

Okay: 1/i ≤ 1 = O(1).

— JeffE

The concern is directed at the second equality sign. How do I verify that?

— Raphael

But that is also correct. A sum of n terms, each of which is O(1), is indeed O(n).

— Suresh

@Suresh Only if the constants implied by the

O

$\cal{O}$ s are independent of the summation variable, and that is the point here (seed question).

— Raphael

The bug is not in the second equality. the bug (in the second expression) is in how you GET to that summation. Going from

\sum_{i} O (1) = O (n)

$\sum_i O(1) = O(n)$ is correct. It's claiming that

i = O (1)

$i = O(1)$ is wrong. I realize this is obvious to all concerned, but I think this is the problem with 'seeding' questions :)

— Suresh

For the second example, you can't claim that

i = O (1)

$i = O(1)$

since $i$ varies with $n$ . After few steps it will be the case that $i>n/2$ . A more appropriate way is to say that $i = O(n)$ since indeed, throughout the summation $i$ never exceeds $1\cdot n$ . By this reasoning,

\sum_{i = 1}^{n} i = \sum_{i = 1}^{n} O (n) = n O (n) = O (n^{2})

$\sum_{i=1}^n i = \sum_{i=1}^n O(n)= nO(n) = O(n^2)$

However the right thing to do is actually use the big-O notation only at the end. Upper bound your summation as tight as you can, and only when your done use the asymptotic notations to avoid these pitfalls.

— Ran G.
แหล่งที่มา