แสดงจำนวนจริงโดยไม่สูญเสียความแม่นยำ

จุดลอยตัวปัจจุบัน (ANSI C float, double) อนุญาตให้แสดงการประมาณจำนวนจริง
มีวิธีใดที่จะแสดงจำนวนจริงโดยไม่มีข้อผิดพลาด ?
นี่คือความคิดที่ฉันมีซึ่งเป็นอะไร แต่สมบูรณ์แบบ

ตัวอย่างเช่น 1/3 คือ 0.33333333 ... (ฐาน 10) หรือ o.01010101 ... (ฐาน 2) แต่ยัง 0.1 (ฐาน 3)
เป็นความคิดที่ดีที่จะใช้ "โครงสร้าง" นี้หรือไม่:

base, mantissa, exponent

ดังนั้น 1/3 อาจเท่ากับ 3 ^ -1

{[11] = base 3, [1.0] mantissa, [-1] exponent}

ความคิดอื่น ๆ ?

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณต้องการจะทำ

ตัวอย่างเช่นสิ่งที่คุณแสดงเป็นวิธีที่ยอดเยี่ยมในการแสดงจำนวนตรรกยะ แต่มันก็ยังไม่สามารถแสดงอะไรได้อย่างเช่นหรืออย่างสมบูรณ์แบบ$\pi$$e$

ในความเป็นจริงหลายภาษาเช่น Haskell และ Scheme ได้สร้างขึ้นเพื่อรองรับจำนวนตรรกยะเก็บไว้ในรูปแบบโดยที่เป็นจำนวนเต็ม a,$\frac{a}{b}$$a,b$

เหตุผลหลักที่สิ่งเหล่านี้ไม่ได้ใช้กันอย่างแพร่หลายคือประสิทธิภาพ ตัวเลขจุดลอยตัวนั้นไม่แม่นยำเล็กน้อย ระบบที่เสนอของคุณอนุญาตให้มีความแม่นยำมากขึ้น แต่ต้องใช้หลายขั้นตอนในการติดตั้งซึ่งต่างจากการดำเนินการเดียวที่สามารถทำได้ในฮาร์ดแวร์

เป็นที่รู้จักกันว่าบางตัวเลขจริงมี uncomputable เช่นหมายเลขลังเล ไม่มีอัลกอริทึมที่แจกแจงหลักซึ่งแตกต่างจากซึ่งเราสามารถคำนวณตัวเลขที่ตราบเท่าที่เรารอนานพอ$\pi$$n$

หากคุณต้องการความแม่นยำที่แท้จริงสำหรับสิ่งที่ไม่มีเหตุผลหรือตัวเลขยอดเยี่ยมคุณอาจจำเป็นต้องใช้ระบบพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์บางประเภทจากนั้นรับคำตอบสุดท้ายในรูปแบบสัญลักษณ์ซึ่งคุณสามารถประมาณตัวเลขจำนวนใดก็ได้ อย่างไรก็ตามเนื่องจากปัญหาความไม่แน่นอนที่ระบุไว้ข้างต้นวิธีการนี้จึงมีข้อ จำกัด มันยังดีสำหรับสิ่งต่าง ๆ เช่นอินทิกรัลประมาณหรืออนุกรมไม่สิ้นสุด

ไม่มีวิธีใดที่จะแสดงจำนวนจริงทั้งหมดโดยไม่มีข้อผิดพลาดหากแต่ละหมายเลขมีการแทนค่า จำกัด มีจำนวนจริงมากมายนับไม่ถ้วน แต่มีจำนวน จำกัด แน่นอนของ 1 และ 0 ที่คุณสามารถใช้เพื่อเป็นตัวแทนของพวกเขาด้วย

ความคิดของคุณไม่ทำงานเพราะตัวเลขที่แสดงในฐานกับ mantissa mและเลขชี้กำลังeคือจำนวนตรรกยะb ⋅ m - eดังนั้นการแสดงของคุณจึงทำงานได้อย่างแม่นยำสำหรับจำนวนตรรกยะและไม่มีคนอื่น คุณไม่สามารถเป็นตัวแทน$b$$m$$e$$b \cdot m^{-e}$เช่น$\sqrt{2}$

มีสาขาคณิตศาสตร์คำนวณทั้งหมดซึ่งเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์จริงที่แน่นอน มีการเสนอโครงสร้างข้อมูลจำนวนมากเพื่อแสดงจำนวนจริงที่แน่นอน : สตรีมของตัวเลข, สตรีมของการหดตัวเลียนแบบ, ลำดับ Cauchy ของ rationals, ลำดับ Cauchy ของ Rationals dyadic, Dedekind ตัด, ลำดับของ shkrinking ตามช่วงเวลาจริง ฯลฯ ในความคิดเหล่านี้ตัวอย่างเช่น:

• การใช้iRRAMของ Norbert Müllerสำหรับจำนวนจริงที่แน่นอนใน C ++
• ภาษา Marhsallสำหรับการคำนวณที่แน่นอนด้วย Dedekind reals
• เครื่องคิดเลขสำหรับการคำนวณจำนวนที่แน่นอนจริง

ของ iRRAM เหล่านี้มีความเป็นผู้ใหญ่และมีประสิทธิภาพสูงสุด มาร์แชลล์ในโครงการทดลองในขณะที่โครงการที่สามเป็นโครงการนักเรียน แต่ยังเป็นโครงการที่เข้าถึงได้ง่ายที่สุด มันมีการแนะนำที่ดีมากที่อธิบายถึงปัญหาเกี่ยวกับการคำนวณจำนวนจริงฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้คุณดู

ให้ฉันพูด บางคนจะคัดค้านว่าคอมพิวเตอร์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดนั้นไม่สามารถแสดงได้ ในแง่นี้มันเป็นความจริง แต่ในอีกแง่หนึ่งมันไม่ใช่ เราไม่จำเป็นต้องแสดงจำนวนจริงทั้งหมดแต่เราต้องการการประมาณแบบ จำกัดเท่านั้นในแต่ละขั้นตอนของการคำนวณ ดังนั้นเราต้องการเพียงตัวแทนที่สามารถเป็นตัวแทนของจริงขึ้นอยู่กับความแม่นยำที่กำหนดใด ๆ แน่นอนว่าเมื่อหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ของเราหมดหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ - แต่นั่นเป็นข้อ จำกัด ของคอมพิวเตอร์ไม่ใช่การเป็นตัวแทนของตัวเอง สถานการณ์นี้ไม่แตกต่างจากคนอื่น ๆ ในการเขียนโปรแกรม ตัวอย่างเช่นผู้ใช้จำนวนเต็มใน Python และพวกเขาคิดว่าพวกเขาเป็น "ใหญ่โดยพลการ" แม้ว่าแน่นอนพวกเขาไม่สามารถเกินขนาดของหน่วยความจำที่มีอยู่ บางครั้งอินฟินิตี้เป็นการประมาณที่มีประโยชน์สำหรับจำนวน จำกัด ที่มีขนาดใหญ่มาก

นอกจากนี้ฉันมักจะได้ยินการกล่าวอ้างว่าคอมพิวเตอร์สามารถจัดการกับจำนวนจริงที่คำนวณได้เท่านั้น สิ่งนี้พลาดจุดสำคัญสองจุด อันดับแรกคอมพิวเตอร์มีการเข้าถึงข้อมูลจากโลกภายนอกดังนั้นเราจะต้องสร้างสมมติฐานที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าโลกภายนอกนั้นคำนวณได้เช่นกัน ประการที่สองเราต้องแยกความแตกต่างระหว่างสิ่งที่ reals คอมพิวเตอร์สามารถคำนวณและสิ่งที่ reals สามารถเป็นตัวแทนได้ ตัวอย่างเช่นหากเราเลือกสตรีมของตัวเลขเป็นตัวแทนของ reals มันเป็นไปได้อย่างสมบูรณ์แบบที่จะเป็นตัวแทนของจริงไม่คำนวณ: ถ้ามีคนให้มันกับเราเราจะรู้วิธีที่จะเป็นตัวแทน แต่ถ้าเราเลือกที่จะแสดง reals เป็นชิ้นส่วนของซอร์สโค้ดที่คำนวณตัวเลขเราก็ไม่สามารถแสดง reals ที่ไม่สามารถคำนวณได้อย่างชัดเจน

ไม่ว่าในกรณีใด ๆ หัวข้อนี้จะจัดการกับการอ่านเพิ่มเติม

มีหลายที่มีประสิทธิภาพจำนวนเหตุผลการใช้งาน แต่อย่างหนึ่งที่ได้รับการเสนอหลายครั้งและยังสามารถจัดการกับบาง irrationals ค่อนข้างดีเป็นเศษส่วนอย่างต่อเนื่อง

อ้างอิงจากFractions ต่อโดย Darren C. Collins :

ทฤษฎีบท 5-1 - การแสดงออกของเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริงนั้น จำกัด ถ้าหากจำนวนจริงเป็นจำนวนตรรกยะ

อ้างจากMathworld - เศษส่วนต่อเนื่องเป็นระยะ

... เศษส่วนต่อเนื่องเป็นระยะ ๆ ถ้ามันเป็นรากของพหุนามกำลังสอง

เช่นรากทั้งหมดสามารถแสดงเป็นเศษส่วนต่อเนื่องเป็นระยะ

นอกจากนี้ยังมีเศษส่วนต่อเนื่องที่แน่นอนสำหรับπซึ่งทำให้ฉันประหลาดใจจนกระทั่ง @AndrejBauer ชี้ให้เห็นว่าจริง ๆ แล้วมันไม่ใช่

มีข้อเสนอแนะ "ของจริงที่แน่นอน" จำนวนมากในความคิดเห็น (เช่นเศษส่วนต่อเนื่องการแปลงเศษส่วนเชิงเส้น ฯลฯ ) การจับแบบทั่วไปคือในขณะที่คุณสามารถคำนวณคำตอบสำหรับสูตรได้ แต่ความเสมอภาคนั้นไม่สามารถจำแนกได้

อย่างไรก็ตามหากคุณสนใจตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิตคุณก็โชคดี: ทฤษฎีของเขตข้อมูลปิดจริงเสร็จสมบูรณ์ o-minimal และ decidable สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Tarski ในปี 1948

แต่มีการจับ คุณไม่ต้องการใช้อัลกอริธึมของ Tarski เนื่องจากอยู่ในคลาสความซับซ้อนของ NONELEMENTARY ซึ่งไม่สามารถทำได้เช่นเดียวกับอัลกอริทึมที่ใช้ไม่ได้ มีวิธีการใหม่ ๆ ที่จะทำให้ DEXP มีความซับซ้อนซึ่งเป็นวิธีที่ดีที่สุดที่เรารู้จัก

โปรดทราบว่าปัญหาคือ NP-hard เนื่องจากมี SAT อยู่ อย่างไรก็ตามไม่มีใครรู้ (หรือเชื่อ) ที่จะอยู่ใน NP

แก้ไขฉันจะพยายามอธิบายเรื่องนี้ให้มากกว่านี้

กรอบความเข้าใจทั้งหมดนี้เป็นปัญหาการตัดสินใจที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีความพอใจโมดูโลหรือ SMT สำหรับระยะสั้น โดยพื้นฐานแล้วเราต้องการแก้ SAT สำหรับทฤษฎีที่สร้างขึ้นจากตรรกะคลาสสิก

ดังนั้นเราเริ่มต้นด้วยตรรกะคลาสสิกอันดับแรกด้วยการทดสอบความเท่าเทียมกัน สัญลักษณ์ฟังก์ชั่นใดที่เราต้องการรวมและสัจพจน์ของพวกมันนั้นเป็นตัวกำหนดว่าทฤษฎีนั้นสามารถตัดสินใจได้หรือไม่

มีทฤษฎีที่น่าสนใจมากมายที่แสดงออกในกรอบของ SMT ตัวอย่างเช่นมีทฤษฎีโครงสร้างข้อมูล (เช่นรายการต้นไม้ไบนารีเป็นต้น) ซึ่งใช้เพื่อช่วยพิสูจน์โปรแกรมที่ถูกต้องและทฤษฎีของเรขาคณิตแบบยุคลิด แต่เพื่อจุดประสงค์ของเราเรากำลังดูทฤษฎีจำนวนแตกต่างกัน

เลขคณิตของ Presburger เป็นทฤษฎีของจำนวนธรรมชาติด้วยนอกจากนี้ ทฤษฎีนี้สามารถตัดสินใจได้

เลขคณิตของ Peano เป็นทฤษฎีของจำนวนธรรมชาติด้วยการบวกและการคูณ ทฤษฎีนี้ไม่สามารถถอดรหัสได้ตามที่พิสูจน์โดยGödel

Tarski เลขคณิตเป็นทฤษฎีของจำนวนจริงที่มีการดำเนินงานภาคสนามทั้งหมด (นอกจากนี้การลบการคูณและการหาร) ทฤษฎีนี้น่าสนใจ นี่เป็นผลลัพธ์ที่ตอบโต้ได้ง่ายในเวลานั้น คุณอาจคิดว่าเพราะมันเป็น "superset" ของจำนวนธรรมชาติมันเป็น "ยาก" แต่นี่ไม่ใช่กรณี เปรียบเทียบการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นบน rationals กับการโปรแกรมเชิงเส้นบนจำนวนเต็มตัวอย่างเช่น

อาจไม่ชัดเจนว่าความพึงพอใจเป็นสิ่งที่คุณต้องการ แต่เป็น ตัวอย่างเช่นถ้าคุณต้องการทดสอบว่าสแควร์รูทเชิงบวกของ 2 เท่ากับรูทคิวบ์จริงของ 3 คุณสามารถแสดงสิ่งนี้ว่าเป็นปัญหาความพึงพอใจหรือไม่:

$e^x$

$\sin$$\{ \frac{x}{\pi} | \sin x = 0 \}$$\sin$

$e^x$$e^{ix}$

อัลเฟรด Tarski (1948) การตัดสินใจวิธีการพีชคณิตเรขาคณิตและประถมศึกษา

เป็นไปได้ที่จะเป็นตัวแทนของกลุ่มตัวเลขจำนวนมากที่เรียกว่าตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิตโดยปฏิบัติต่อพวกเขาในฐานะรากของพหุนาม

$\pi$$e$

$\pi$$\sqrt2$

คุณไม่สามารถแสดงตัวเลขจริงทั้งหมดในคอมพิวเตอร์ แต่คุณสามารถแทนจำนวนจริงได้ คุณสามารถใช้เศษส่วนที่จะแสดงตัวเลขมากกว่าลอย คุณสามารถทำสิ่งที่ซับซ้อนมากขึ้นเช่นการแทนตัวเลขเป็นรากของพหุนามด้วยการประมาณว่าภายใต้วิธีการของนิวตันจะรวมกันเป็นจำนวน

มันเป็นไปได้ที่จะแทนจำนวนใดอย่างแม่นยำที่ปัจจัยการผลิตที่มีแทนได้โดยเก็บไว้เป็นสตริงของการดำเนินงานเพื่อยกตัวอย่างเช่นคุณสามารถจัดเก็บ1/3เป็นโดยการจัดการการยกเลิกของการดำเนินงานที่คุณสามารถลดความซับซ้อนของการดำเนินงานต่อไปที่จะให้คำตอบที่แน่นอนสำหรับ1 divided by 3 (1/3) * 3นอกจากนี้ยังสามารถจัดการสถานการณ์ที่คุณเคยรู้จัก irrationals เช่นπโดยการรักษาไว้ในการคำนวณของคุณ

อย่างไรก็ตามมันต้องการจำนวนหน่วยความจำที่เพิ่มขึ้นสำหรับแต่ละหมายเลขและ - สมมติว่าซิมป์ของคุณไม่สมบูรณ์ - มันอาจจะต้องใช้จำนวนเงินที่เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ สำหรับค่าที่คุณใช้งานอยู่เป็นจำนวนมาก