การกู้คืนจุดที่ฝังจากกราฟที่มีขอบถ่วงน้ำหนักด้วยระยะห่างระหว่างจุด

สมมติว่าฉันให้กราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางด้วยขอบถ่วงน้ำหนักและบอกคุณว่าแต่ละโหนดสอดคล้องกับจุดในพื้นที่ 3 มิติ เมื่อใดก็ตามที่มีขอบระหว่างสองโหนดน้ำหนักของขอบคือระยะห่างระหว่างจุด

เป้าหมายของคุณคือการสร้างตำแหน่งสัมพัทธ์ของคะแนนใหม่โดยกำหนดระยะห่างที่ใช้ได้ (แสดงด้วยน้ำหนักขอบ) ตัวอย่างเช่นถ้าฉันให้คุณก็รู้ว่าจุดนั้นเป็นจุดยอดของจัตุรมุข . คุณไม่รู้ว่ามันเกี่ยวข้องกับต้นกำเนิดหรือทิศทางของมันหรือว่ามันถูกสะท้อน แต่คุณสามารถบอกได้ว่ามันเป็นจัตุรมุข$d_{0,1} = d_{0,2} = d_{0,3} = d_{1,2} = d_{1,3} = d_{2,3} = 1$

โดยทั่วไปแล้วปัญหาจะง่ายถ้าฉันให้ความยาวขอบทั้งหมด เพียงแค่เลือกจุดโดยพลการที่( 0 , 0 , 0 )จากนั้นเลือกจุดที่อยู่ใกล้เคียงp 1และวางไว้ที่( d 0 , 1 , 0 , 0 )จากนั้นเพื่อนบ้านทั่วไปp 2จะได้รูปสามเหลี่ยม ระนาบ XY จากนั้นเพื่อนบ้านสามัญคนสุดท้ายp 3จะได้รับการวิเคราะห์ตำแหน่งในครึ่งพื้นที่z > $p_0$$(0,0,0)$$p_1$$(d_{0,1},0,0)$$p_2$$p_3$$z > 0$และทำลายความสมมาตรที่เหลืออยู่ (สมมติว่าคุณไม่ได้รับคะแนนที่ลดลง) คุณสามารถใช้จุดสี่จุดเหล่านี้เพื่อวิเคราะห์สามเหลี่ยมที่เหลือทั้งหมด

ในทางกลับกันเมื่อความยาวของขอบหายไปอาจไม่สามารถกู้คืนการฝังได้ ตัวอย่างเช่นหากมีจุดสุดยอดที่ตัดการเชื่อมต่อกราฟเมื่อตัดจากนั้นองค์ประกอบทั้งสองนั้นจะแยกออกหากถอดออกสามารถแกว่งไปรอบ ๆ สัมพันธ์

ซึ่งทำให้เกิดคำถาม:

• มันแพงแค่ไหนที่จะหาทางออก?
• คุณจะตัดสินได้อย่างไรว่าโซลูชันนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวหรือไม่ขึ้นกับการแปล / การหมุน / การสะท้อน การเชื่อมต่อ 3 อย่างเพียงพอหรือไม่ จำเป็น?
• เงื่อนไขอะไรที่ทำให้เกิดปัญหาเล็กน้อย?
• ถ้าฉันไม่สัญญาว่าน้ำหนักของขอบนั้นสอดคล้องกับระยะทางของบาป 3d ค่าใช้จ่ายในการพิจารณาว่าการฝังเป็นไปได้หรือไม่?

วิธีอัลกอริทึมวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหานี้ให้ถือว่าเป็นชุดของโหนดเชื่อมต่อกันด้วยสปริงจากนั้นปล่อยให้พวกเขาตกลง / ผ่อนคลายเป็นรูปร่าง

ขอบแต่ละอันสอดคล้องกับสปริง ถ้าระยะห่างระหว่างจุดvและwควรจะเป็นd v , wดังนั้นสปริงจึงถูกเลือกดังนั้นจึงเป็นการดีที่ต้องการความยาวd v , w (อาจยาวกว่าหรือสั้นกว่าได้ ตอนนี้เราต้องการที่จะแก้ปัญหาสำหรับชุดของตำแหน่งที่ลดพลังงานรวม สมมติว่าแต่ละจุดสุดยอดวีจะอยู่ที่จุดx วี ∈ R 3 จากนั้นพลังงานรวมของข้อตกลงนี้จะเป็น$(v,w)$$v$$w$$d_{v,w}$$d_{v,w}$$v$$x_v \in \mathbb{R}^3$

นี่ 's จะได้รับ (พวกเขาเป็นน้ำหนักบนขอบ) และเราต้องการที่จะแก้สำหรับx วี ' s (พวกเขาเป็นพิกัดของจุด)$d_{v,w}$$x_v$

เราสามารถแก้ปัญหาสำหรับการจัดเรียงที่ลดพลังงานทั้งหมดนี้ ข้อตกลงนี้ให้ผู้สมัครที่มีเหตุผลสำหรับตำแหน่งของคะแนน นี่เป็นปัญหาการปรับให้เหมาะสมและมีเทคนิคมาตรฐานสำหรับการแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพประเภทนี้ ดูตัวอย่างบทความNetwork Solutionsโดย Erica Klarreich$x$

ฉันไม่คิดว่าจะมีการรับประกันใด ๆ ซึ่งจะให้โซลูชันที่ต้องการถูกต้อง อาจเป็นไปได้ว่าปัญหาการปรับให้เหมาะสมอาจมีความเหมาะสมที่แตกต่างกันซึ่งไม่ได้สะท้อนถึงการจัดเรียงของคะแนนที่คุณต้องการ อย่างไรก็ตามหากกราฟของคุณมีความหนาแน่นเพียงพอฉันสงสัยว่ามันอาจใช้งานได้และให้ทางออกที่ต้องการ

เชิงอรรถ: แน่นอนแม้ในกรณีที่ดีที่สุดเราสามารถแก้ปัญหานี้ได้เฉพาะการแปลการหมุนและการสะท้อนเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงเหล่านั้นรักษาระยะทางทั้งหมด ดังนั้นคุณจึงไม่สามารถคาดหวังโซลูชันที่ไม่ซ้ำใคร - แต่คุณอาจหวังว่าโซลูชันนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะในการแปลการหมุนและการสะท้อนกลับ

สุดท้ายมีการทำงานจำนวนมากในการฝังกราฟลงในช่องว่างในขณะที่ลดการบิดเบือนของการฝัง มันเกี่ยวข้องกันมาก คุณมีพื้นขอฝังศูนย์การบิดเบือนเข้าℓ 2 ดังนั้นเทคนิคที่พัฒนาในบริบทนั้นอาจมีประโยชน์สำหรับปัญหาของคุณเช่นกัน โดยทั่วไปแล้วงานนั้นจะมุ่งเน้นไปที่การหาการฝังแบบผิดเพี้ยนต่ำเพราะงานนั้นจะเน้นไปที่กรณีที่ไม่มีการฝังแบบสมบูรณ์แบบที่ทำให้ระยะทางตรงกันทั้งหมดดังนั้นแทนที่จะมองหาวิธีการแก้ปัญหาความบิดเบี้ยวต่ำ เข้ากันได้ดีทีเดียว) - เพื่อให้งานมุ่งเน้นไปที่ปัญหาที่แตกต่างกันเล็กน้อย อย่างไรก็ตามเป็นไปได้ว่าเทคนิคของพวกเขาอาจมีประสิทธิภาพในสถานการณ์ของคุณเช่นกัน มันคุ้มค่าที่จะลอง.$\ell_2$$\ell_2$

ปัญหาคือ NP-สมบูรณ์ ตำแหน่งของคะแนนเป็นใบรับรองที่ดีดังนั้นมันจึงอยู่ใน NP และคุณสามารถเข้ารหัสวงจรใน "มีชุดคะแนนที่น่าพอใจหรือไม่" ปัญหา.

การลดลงของการประเมินผลวงจรถึงการฝังระยะทาง

เราจะลดการประเมินวงจรลงในปัญหาการฝังระยะทางโดยการสร้างระบบพิกัดวางบิตโลจิคัลในบิตการเดินสายไฟให้เท่ากันและสร้างวิดเจ็ตสำหรับ NOT และประตู

1. พิกัด เราต้องการระบบพิกัดบางอย่างที่เราสามารถวางตำแหน่งคะแนนด้วย ทำได้โดยสร้างจัตุรมุขคะแนน เพิ่มจุดสี่ทั้งหมดที่ประกาศว่าจะเป็นระยะทางจากแต่ละอื่น ๆ สิ่งนี้บังคับให้รูปร่างของสี่จุดเหล่านั้นกลายเป็นจัตุรมุข เราสามารถวางตำแหน่งจุดอื่น ๆ ที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดจัตุรมุขของเราโดยการระบุระยะทางไปยังแต่ละมุมทั้งสี่ของฐาน จัตุรมุขสามารถแปลและหมุนและสะท้อน แต่สิ่งเดียวกันจะเกิดขึ้นกับจุดอื่น ๆ เช่นกัน$1$

2. เกร็ด ในการสร้างบิตเราวางตำแหน่งของจุดสามเหลี่ยมที่สัมพันธ์กับจัตุรมุขฐาน ปกติของรูปสามเหลี่ยมจะต้องชี้ขึ้นไปตามแกน Z เพื่อให้สามเหลี่ยมขนานกับระนาบ XY (ในพิกัดจัตุรมุข) นอกจากนี้ยังขอบของมันจะต้องมีความยาว1เมื่อทำเช่นนั้นแล้วเราจะเพิ่ม "ค่า" จุดvซึ่งระบุให้เป็นระยะทาง1จากอีกสามค่า เราไม่เชื่อมต่อvกับระบบพิกัดพื้นฐาน สิ่งนี้ทำให้ได้สองตำแหน่งที่เป็นไปได้: กึ่งกลาง$1$$v$$1$$v$ด้านบนหรือด้านล่างของสามเหลี่ยมเป็นมุมสุดท้ายของจัตุรมุข บิตคือเปิดถ้าจุดอยู่เหนือรูปสามเหลี่ยมและปิดถ้าอยู่ด้านล่าง$\frac{1}{\sqrt{3}}$

3. สายไฟ เราสามารถบังคับให้สองบิตให้เท่ากันโดยบอกระยะห่างระหว่างจุดค่าของพวกเขาเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม มีข้อยกเว้นหนึ่งประการคือเมื่อมุมด้านบนหรือด้านล่างของบิตใดบิตหนึ่งตรงกับระนาบกึ่งกลางของอีกอันหนึ่ง ในกรณีนั้นเราใช้ลวดเพื่อย้ายหนึ่งบิตในแนวตั้ง

4. ไม่ เราจะได้รับการปฏิเสธของบิตโดยการเพิ่มจุดค่าที่สองสามเหลี่ยมเดียวกัน แต่ต้องว่าWเป็นระยะทางของ$w$$w$จากโวลต์ กองกำลังนี้Wจะใช้ตำแหน่งตรงข้ามของโวลต์ที่เกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมให้เรานิดที่มีค่าตรงข้าม$\frac{2}{\sqrt{3}}$$v$$w$$v$

5. IMPLIES ปัญหาระยะเท่ากันที่เราต้องแก้ไขด้วยสายไฟนั้นมีประโยชน์จริง ๆ เมื่อบิตเรียงกันในลักษณะนั้นซึ่งเราสามารถบังคับได้ด้วยเส้นลวดในแนวตั้ง หากสูงกว่าเป็นจริงเฉพาะด้านบนของล่างคือระยะห่างที่เหมาะสม หากสูงกว่าเป็นเท็จทั้งด้านบนและด้านล่างเป็นระยะทางที่ถูกต้องออกไป

6. และ . ในการทำให้ bit เท่ากับA AND Bเราจำเป็นต้องมีสองนัยและวิดเจ็ตเพื่อบังคับให้เท่าเทียมกันเมื่อAและBเห็นด้วย ความหมายเป็นเพียง$C$$A$$B$$A$$B$และ$C \implies A$ . ในการทำให้วิดเจ็ตเราเคลื่อนที่ Aและ B ในแนวตั้งดังนั้นพวกมันจึงอยู่ในระดับเดียวกันและระยะทาง$C \implies B$$A$$B$ห่างกันจากนั้นเราย้ายCให้มีระยะห่างเท่ากันระหว่างพวกเขา จากนั้นเราเพิ่มจุดSAและSBระยะทาง$\frac{2}{\sqrt 3}$$C$$S_A$$S_B$จากคะแนนAและBตามลำดับและบังคับระยะห่างระหว่างSAและSBให้เป็น$\frac{\sqrt 2 - 1}{2 \sqrt 3}$$A$$B$$S_A$$S_B$ . นอกจากนี้เรายังเพิ่มจุดSCระยะทาง$\frac{\sqrt 2 + 1}{\sqrt 3}$$S_C$จากทั้งSและSB สิ่งนี้จะสร้างสายโซ่ระหว่างจุดมูลค่าของAและBกับSCที่ศูนย์กลางของโซ่ เมื่อA$\frac{\sqrt 2 + 1}{2 \sqrt 3}$$S_A$$S_B$$A$$B$$S_C$โซ่นั้นจะถูกยืดออกไปจนถึงขีด จำกัด และ S Cนั้นจะอยู่ตรงกลางของสามเหลี่ยม C เมื่อ = Bการเชื่อมโยงห่วงโซ่ถูกบังคับให้ไปในทิศทางตรงข้ามแน่นอนผลักดันมันถึงขีด จำกัด และการวาง S Cใน Cจุดค่า 's เท่ากับ เพื่อบังคับให้$A \neq B$$S_C$$C$$A = B$$S_C$$C$$A$$C$ค่าจุดเราแทรกจุด a ระยะทาง$S_D$จากทั้ง$\frac{1}{2 \sqrt 3}$จุดค่าของ Cและ C นี้ไม่ได้ จำกัด Cจุดค่า 's เมื่อ ≠ Bแต่กองกำลัง = B = Cเมื่อ = B$S_C$$C$$C$$A \neq B$$A=B=C$$A=B$

ด้วยองค์ประกอบเหล่านี้คุณสามารถเข้ารหัสวงจรใด ๆ ในการฝังระยะทาง อินพุตกลายเป็นบิตประตูถูกย่อยสลายเป็น NOTs และ ANDs จะแนะนำบิตใหม่ตามความจำเป็นและนั่นก็คือ บังคับให้ตำแหน่งของผลลัพธ์เป็นจริงและคุณจะได้รับปัญหาความพึงพอใจของคุณ

คำตอบบางส่วนเกี่ยวกับความเป็นเอกลักษณ์ : การเชื่อมต่อ 3 อย่างไม่เพียงพอ

ตัวอย่างตัวนับขั้นต่ำ: คิวบ์กราฟ ( ของตระกูล Hypercube Graph )$Q_3$

หากต้องการดูว่าการตรึงความยาวของขอบทั้งหมดในไม่ได้ให้ตำแหน่งของจุดยอดในพื้นที่ 3 มิติที่มีเอกลักษณ์เฉพาะในการแปล / การหมุน / การสะท้อนให้ดูที่วิธีที่คุณสามารถแผ่กล่องกระดาษแข็งออกได้ .$Q_3$

นำมุมของกล่องกระดาษแข็งมาเป็นจุดสนใจ แต่ละมุมของกล่องกระดาษแข็งมีระยะห่างคงที่จากมุมอื่น ๆ

ในขณะที่กราฟผลลัพธ์มีขอบมากกว่าแต่ก็ยังช่วยให้กล่องกระดาษแข็งแบนลง --- การแปลงที่ไม่สามารถผลิตได้โดยการแปล / การหมุน / การสะท้อน$Q_3$

สิ่งนี้เรียกว่าปัญหาต่อไปนี้และเกิดขึ้นเช่นกับการสร้างพิกัดจากเครือข่ายเซ็นเซอร์ที่สามารถวัดระยะทางไปยังโหนดใกล้เคียงได้ & บทความนี้สามารถทำหน้าที่เป็นแบบสำรวจขนาดเล็กพร้อมกับอัลกอริธึมชั้นนำ วิธีการชั้นนำเป็นที่รู้จักกันในชื่อการฉายมูลค่าเอกพจน์อีกการประเมินมูลค่าเอกพจน์ อัลกอริทึมโดยทั่วไปจะขึ้นอยู่กับพีชคณิตเมทริกซ์และการลดอันดับ กระดาษใช้ทั้งอัลกอริทึมและให้การวิเคราะห์เชิงประจักษ์

การสร้างระยะทางแบบยุคลิดจากข้อมูลระยะทางบางส่วน Xu, Chen