ความซับซ้อนของอัลกอริทึมที่ไร้เดียงสาในการค้นหาสตริงย่อย Fibonacci ที่ยาวที่สุด

เมื่อได้รับสองสัญลักษณ์และให้นิยามสตริง -th Fibonacci ดังนี้ $\text{a}$ $\text{b}$ $k$

F (k) = {\begin{cases} b & if k = 0 \\ a & if k = 1 \\ F (k - 1) ⋆ F (k - 2) & else \end{cases}

$F(k) = \begin{cases} \text{b} &\mbox{if } k = 0 \\ \text{a} &\mbox{if } k = 1 \\ F(k-1) \star F(k-2) &\mbox{else} \end{cases}$

ด้วย denoting string concatenation $\star$

ดังนั้นเราจะมี:

$F(0) = \text{b}$
$F(1) = \text{a}$
$F(2) = F(1) \star F(0) = \text{ab}$
$F(3) = F(2) \star F(1) = \text{aba}$
$F(4) = F(3) \star F(2) = \text{abaab}$
...

รับสตริงเกิดจากสัญลักษณ์เรากำหนด substring Fibonacci เป็นsubstringของซึ่งเป็นสตริง Fibonacci สำหรับตัวเลือกที่เหมาะสมของและ $S$ $n$ $S$ $\text{a}$ เหมาะสม $\text{b}$

ปัญหา

รับเราต้องการหาสตริงย่อย Fibonacci ที่ยาวที่สุด $S$

อัลกอริธึมเล็กน้อย

สำหรับแต่ละตำแหน่งของสตริงสมมติว่าเริ่มต้นที่นั่น (เพียงพอที่จะตรวจสอบว่าสัญลักษณ์ th และ -th นั้นแตกต่างกัน) หากเป็นกรณีนี้ให้ตรวจสอบว่าสามารถขยายเป็นจากนั้นกดและอื่น ๆ หลังจากนั้นเริ่มต้นอีกครั้งจากตำแหน่ง 1ทำซ้ำจนกว่าจะถึงตำแหน่งn $i$ $S$ $F(2)$ $i$ $(i+1)$ $F(3)$ $F(4)$ $i+1$ $n$

เราต้องดูที่แต่ละสัญลักษณ์อย่างน้อยหนึ่งครั้งเพื่อให้มัน )มีเพียงสองลูปเท่านั้นที่เกี่ยวข้องดังนั้นเราสามารถบอกได้อีกว่ามันเป็น $\Omega(n)$ $O(n^2)$ )

อย่างไรก็ตาม (ค่อนข้างแปลกใจ) อัลกอริธึมไร้เดียงสานี้ทำงานได้ดีกว่าอัลกอริธึมกำลังสองทั่วไป (ถ้ามันทำงานได้มากบน $i$ มากมันจะไม่ทำงานมากในตำแหน่งถัดไป)

ฉันจะใช้คุณสมบัติฟีโบนักชีเพื่อหาขอบเขตที่เข้มงวดมากขึ้นสำหรับเวลาดำเนินการของอัลกอริทึมนี้ได้อย่างไร

— wil93
แหล่งที่มา

สมมติว่าเกิดขึ้นในบางตำแหน่งถ้าซับสตริงเริ่มต้นที่ตำแหน่งนั้นเข้ากันได้กับหรือการรวมเข้าด้วยกัน การเกิดใกล้เคียงกันมากแค่ไหน ใช้เป็นตัวอย่างขหากเกิดขึ้นที่ตำแหน่งดังนั้นจะไม่สามารถเกิดขึ้นที่ตำแหน่งหรือ $F(n)$ $F(n)$ $F(n)$ $F(4) = abaab$ $F(4)$ $p$ $p+1$ $p+2$ แต่ก็สามารถปรากฏที่ตำแหน่ง 3เราปล่อยให้เป็นจำนวนที่เล็กที่สุดซึ่งการเกิดของสองครั้งสามารถเกิดขึ้นได้ที่ระยะทาง $p+3$ $\ell(n)$ $F(\ell)$ ℓคุณสามารถพิสูจน์ได้ด้วยการเหนี่ยวนำว่าสำหรับเรามี(ตัวอย่างเช่น $\ell$ $n \geq 4$ $\ell(n) = |F(n-1)|$ $\ell(4) = 3$ )

ได้รับสตริงของความยาวสำหรับแต่ละให้เป็นชุดของตำแหน่งที่ที่เกิดขึ้น เราสามารถ จำกัด เวลาทำงานของโพรซีเดอร์ของคุณได้อย่างคร่าวๆโดยซึ่งผลรวมจะไหลไปเหนือทั้งหมดเช่น (พูด) ตั้งแต่เกิด $N$ $n$ $P(n)$ $F(n)$ $\sum_n |P(n)| |F(n)|$ $n$ $|F(n-1)| \leq N$ $F(n)$ ถูกคั่นด้วยอย่างน้อยเราจะเห็นว่าเวลาทำงานนั้นถูก จำกัด โดยคำสั่งของ $|F(n-1)|$ เนื่องจากความยาวของคำ Fibonacci เพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ)คำที่เหลืออยู่คือเนื่องจากผลรวมมีหลายคำ เราสรุปได้ว่าเวลาทำงานคือ

\sum_{n} | F (n) | (\frac{N}{| F (n - 1) |} + 1) .

$\sum_n |F(n)| \left(\frac{N}{|F(n-1)|} + 1\right).$

\sum_{n} | F (n) | = O (N)

$\sum_n |F(n)| = O(N)$

\sum_{n} O (N) = O (N \log N)

$\sum_n O(N) = O(N\log N)$

\log N

$\log N$

O (N \log N)

$O(N\log N)$ .

ตรงกันข้ามเวลาทำงานบนคือที่สามารถพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำ เราสรุปได้ว่ากรณีที่เลวร้ายที่สุดเวลาการทำงานในสายของความยาวคือ ) $F_n$ $\Omega(|F_n|\log|F_n|)$ $N$ $\Theta(N\log N)$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา