เกมตัวต่อปริศนาคลาสสิกเล่มนี้สมบูรณ์หรือไม่

มีเกมหนังสือไขปริศนาคลาสสิกคล้ายกับตัวต่อปริศนาคำไขว้ยกเว้นรายการคำที่ให้ไว้และจากนั้นจะมีกระดานสี่เหลี่ยมสร้างขึ้นจากหน่วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยมีสี่เหลี่ยมบางส่วนมีลักษณะคล้ายกับคำไขว้ และสี่เหลี่ยมบางอันมีจดหมายที่เขียนไว้ล่วงหน้าแล้ว เป้าหมายคือการเขียนแต่ละคำจากรายการเพียงครั้งเดียวและครั้งเดียวในปริศนาที่แต่ละคำจะถูกเขียนในแนวนอน (ซ้ายไปขวา) หรือแนวตั้ง (บนลงล่าง) ลงในช่องสี่เหลี่ยมต่อเนื่องที่ไม่ใช่ blacked และเมื่อคุณเขียนคำ สองช่องสี่เหลี่ยมขนาบข้างปลายของคำจะต้อง blacked out หรือนอกกระดาน นอกจากนี้สำหรับตัวอักษรที่เขียนไว้ล่วงหน้าในสี่เหลี่ยมบางคำที่เขียนที่ทับซ้อนกันสี่เหลี่ยมเหล่านี้จะต้องเคารพตัวอักษรที่เขียนล่วงหน้า$N \times N$

ตอนนี้ถ้าเราคิดว่าตัวอักษรขนาดคงที่สำหรับคำว่ากำลังตัดสินใจว่าเราสามารถเติมคำตอบที่ถูกต้องโดยใช้คำแต่ละคำในรายการเพียงครั้งเดียวและครั้งเดียวเมื่อเกิดปัญหา NP-Complete ถ้าความยาวด้านของกระดานเป็น ไม่ได้แก้ไข?

ขออภัยที่ตอบโพสต์เก่า

ฉันเคยคิดเกี่ยวกับมันและฉันคิดว่าปัญหาเกี่ยวกับตัวอักษรคงที่เป็นปัญหาที่สมบูรณ์เช่นกัน

ฉันจะลด SAT 1-in-3 บวกกับปัญหาคำนี้

เมื่อวานฉันมีปัญหากับแนวคิดในการแก้ปัญหา ฉันมีปัญหาในการทำให้แต่ละตัวแปรแตกต่างกันจนกระทั่งฉันดูคำถามอีกครั้งและฉันรู้ว่าคุณอนุญาตให้มีสี่เหลี่ยมที่มีสัญลักษณ์ปลูก ทำให้การลดลงนี้ง่ายขึ้นมาก ความคิดอื่นของฉันคือการมีคำที่มีความยาวต่างกันสำหรับตัวแปรที่แตกต่างกัน

การลดลง

ตอนนี้ฉันจะอธิบายแกดเจ็ตที่เราจะใช้:

Gadget ที่เปลี่ยนแปลงได้

เราติดป้ายแต่ละตัวแปรด้วยดัชนีตัวเลขที่แตกต่างกันและเราจะมีหมายเลขแตกต่างกันสำหรับแต่ละตัวแปร เราเลือกดัชนีที่ใหญ่ที่สุดและเราแทนจำนวนในไบนารีที่เราจะเรียกห่วงโซ่นี้ไบนารีn$n$

จากนั้นเราสร้างคำในแนวตั้งที่แตกต่างกันสองคำสำหรับแต่ละตัวแปร คำทั้งหมดจะมีความยาว(เฉพาะในกรณีที่เราอนุญาตให้ใช้คำที่ซ้ำกันในรายการคำ) โดยที่คือความยาวของห่วงโซ่ไบนารีn| n | $3 + |n|$$|n|$$n$

ตัวอย่างเช่นสมมติดัชนีที่ใหญ่ที่สุดเป็นหมายเลข4เมื่อเราแปลงตัวเลขนี้เป็นเลขฐานสองเราจะได้ลูกโซ่เลขฐานสองโซ่นี้มีความยาวสาม ดังนั้นตัวแปรแต่ละคำจะมีความยาวในตัวอย่างนี้100 $4$$100$$6$

ตอนนี้เราสร้างคำที่แตกต่างกันสองคำสำหรับแต่ละตัวแปร หนึ่งคำจะมีสัญลักษณ์อยู่ที่จุดเริ่มต้นจากนั้นสัญลักษณ์ด้านล่างจากนั้นเชนไบนารี่ที่แทนดัชนีของตัวแปรและเรารวมกับศูนย์โซ่เพื่อให้มันมีความยาวเท่ากันที่เชนและสุดท้ายเป็นสัญลักษณ์ในตอนท้าย แน่นอนสัญลักษณ์สามารถเปลี่ยนแปลงได้2 n $3$$2$$n$$3$

คำอื่น ๆ ที่เกือบจะเหมือนกัน แต่มันจะมีสัญลักษณ์ที่แทนสัญลักษณ์3$4$$3$

ตัวอย่างเช่นสมมติดัชนีที่ใหญ่ที่สุดเป็นหมายเลข4เราจะมีสองคำต่อไปนี้สำหรับตัวแปรที่มีดัชนี :$4$$1$

$320013$และ$420014$

ดังที่เราเห็นเราได้เสริมการแสดงค่าฐานสองของจำนวนด้วยศูนย์เพื่อให้มีความยาว| n $1$$|n|$

เราต้องคัดลอกคำเหล่านี้หลายครั้งเราจะต้องคัดลอกแต่ละคำสำหรับแต่ละการเกิดขึ้นของตัวแปรในแต่ละตัวอย่าง สิ่งนี้จะสร้างรายการซ้ำในรายการคำ เราสามารถกำจัดข้อมูลที่ซ้ำกันได้โดยการเพิ่มไบนารี่เชนอื่นเข้าไปในเชนไบนารี่ที่ระบุตัวแปรเฉพาะ สายโซ่ใหม่นี้จะระบุแต่ละรอบของตัวแปร

ในการทำเช่นนั้นเราเพียงกำหนดแต่ละรอบของตัวแปรอีกเชนคู่และเราทำโซ่นั้นในตอนท้ายของการแทนค่าไบนารี่ของตัวแปร

ในการสร้างไบนารีเชนใหม่นี้ก่อนอื่นเราต้องสร้างดัชนีที่แตกต่างกันสำหรับแต่ละตัวแปรเราเรียกหมายเลขที่มากที่สุดในแต่ละดัชนีโดยที่เป็นตัวระบุสำหรับแต่ละตัวแปร หลังจากนั้นเราแปลงหมายเลขเป็นเชนไบนารี่จากนั้นเรานับความยาวของเชนเราเรียกหมายเลขนี้. จากนั้นสำหรับแต่ละดัชนีเราจะสร้างเลขฐานสองที่แตกต่างกันสำหรับแต่ละค่าของตัวแปร เราใส่ตัวเลขด้วยศูนย์จนความยาวของเชนไบนารี่กลายเป็นเพื่อให้คำทั้งหมดที่อยู่ในแต่ละรอบของตัวแปรมีความยาวเท่ากันฉันn ฉัน| n ฉัน| | n ฉัน$n_i$$i$$n_i$$|n_i|$$|n_i|$

สิ่งนี้จะกำจัดคำที่ซ้ำกันภายในคำตัวแปร

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าตัวแปรปรากฏขึ้นสามครั้งในอินสแตนซ์ SAT เราสร้างคำต่อไปนี้:$x_2$

42010014 32010103 42010104 32010113 $32010013$ $42010014$ ,และ$32010103$ $42010104$$32010113$ $42010114$

ส่วนคำสั่ง

สำหรับแต่ละส่วนอุปกรณ์เราจะสร้างคำในแนวนอนใหม่สามคำแต่ละส่วนของคำจะมีความยาวช่อง (เฉพาะในกรณีที่เราอนุญาตให้ใช้คำที่ซ้ำกันในรายการคำ) นี่คือคำที่เราจะสร้างสำหรับแต่ละประโยค:$6$

535453 $535354$ ,และ$535453$$545353$

เรามีคำประโยคที่แตกต่างกันสำหรับวิธีที่เป็นไปได้ในการตอบสนองข้อที่เป็นสัญลักษณ์หมายถึงชุดตัวอักษรที่แท้จริงและสัญลักษณ์หมายถึงชุดที่แท้จริงเป็นเท็จ หมายเลขใช้เพื่อระบุว่าเป็นคำศัพท์3 $4$$3$$5$

จะมีคำซ้ำในรายการคำเราสามารถกำจัดการทำซ้ำโดยใช้ขั้นตอนที่เราใช้เพื่อระบุคำที่ไม่ซ้ำกัน นั่นคือเราสร้างเชนไบนารี่ที่แตกต่างกันสำหรับแต่ละประโยคและเราผนวกแต่ละเชนเข้ากับคำในประโยคที่สัมพันธ์กับแต่ละประโยค จะทำอย่างไรที่เราจะสร้างดัชนีใหม่สำหรับข้อและเรารับจำนวนที่ใหญ่ที่สุดของดัชนีเราจะโทรไปยังหมายเลขนี้ม.เราแสดงเป็นห่วงโซ่ไบนารีและเราเรียกความยาวของห่วงโซ่ไบนารีนี้เป็น. ตอนนี้เราสร้างเลขฐานสองที่แตกต่างกันสำหรับแต่ละส่วนคำสั่งเริ่มต้นด้วยหมายเลข 1 และเราใส่ตัวเลขด้วย zeroes เพื่อสร้างห่วงโซ่ไบนารีที่มีความยาวm | m | | m $m$$m$$|m|$$|m|$. เราผนวกแต่ละสายโซ่ไบนารีกับคำประโยคที่อยู่ในส่วนคำสั่ง

ทีนี้มาดูรูปภาพของโปรแกรมเบ็ดเตล็ดประโยคในบอร์ด:

ตัวอย่างนี้แสดงถึงข้อและ 1 ใน 3 อินสแตนซ์ที่ลดลงคือ$(x_2 \lor x_3 \lor x_4)$$(x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

อย่างที่เราเห็นมีสี่เหลี่ยมเขียน คอลัมน์แนวตั้งมีสัญลักษณ์ที่เป็นลายลักษณ์อักษรเพื่อระบุตัวอักษรที่อยู่ภายในส่วนคำสั่ง จุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นของคอลัมน์เป็นช่องว่าง สิ่งนี้ช่วยให้ผู้เล่นเลือกค่าของตัวแปร สัญลักษณ์ที่ทำเครื่องหมายไว้ในแถวแนวนอนบังคับให้ผู้เล่นวางคำในแถวนั้น เนื่องจากคำประโยคทั้งหมดมีเพียงสัญลักษณ์เดียวซึ่งหมายความว่ามีเพียงหนึ่งตัวอักษรที่อยู่ในแกดเจ็ตประโยคสามารถตั้งค่าเป็น "จริง"$4$

หากเราไม่อนุญาตให้มีคำซ้ำภายในรายการคำเราจะต้องแก้ไขภาพ

แถวประโยคในรูปภาพจะกลายเป็น:และคอลัมน์ตัวอักษรจะเป็นจากซ้ายไปขวา:$5b5b5b10$

$b201010b$ ,และ$b201110b$$b21001b$

ที่สัญลักษณ์หมายถึงช่องว่าง$b$

ดูตัวอย่าง:

แกดเจ็ตความสอดคล้องแปรผัน

นี่คือแกดเจ็ตที่ทำให้แน่ใจว่าผู้เล่นสามารถกำหนดค่าเดียวกันให้กับคอลัมน์ตัวอักษรทั้งหมดของตัวแปร

เราจะมีแกดเจ็ตใหม่สำหรับแต่ละตัวแปร

เราจะสร้างคำศัพท์ใหม่สองคำสำหรับแต่ละแกดเจ็ต

ความยาวของคำจะขึ้นอยู่กับจำนวนของการปรากฎของตัวแปร ความยาวของคำจะเป็นโดยที่คือจำนวนของการหารของตัวแปร ดังนั้นหากตัวแปรปรากฏสองครั้งในอินสแตนซ์ sat คำจะมีความยาวสี่ หนึ่งในสองคำนั้นเกิดขึ้นจากการทำซ้ำลูกโซ่คูณโดยที่ k คือจำนวนการเกิดขึ้นของตัวแปร คำอื่น ๆ ที่เกิดขึ้นจากการทำซ้ำลูกโซ่ครั้งโดยที่ k คือจำนวนการเกิดขึ้นของตัวแปรในอินสแตนซ์ SAT ที่ลดลง$2 * k$$k$$x_2$$63$ $k$$64$ $k$

ตัวอย่างเช่นหากตัวแปรมีสองรอบคำที่เป็นของแกดเจ็ตการกำหนดตัวแปรที่เกี่ยวข้องจะเป็น:$x_2$

$6363$และ$6464$

หากเราต้องการหลีกเลี่ยงคำซ้ำ ๆ ให้สังเกตว่าแกดเจ็ตความสอดคล้องแต่ละรายการอยู่ในตัวแปรที่แตกต่างกัน ดังนั้นเราจึงสามารถผนวกไบนารี่เชนที่ระบุแต่ละตัวแปรให้กับคำสองคำที่เราสร้างขึ้นสำหรับแกดเจ็ตนี้

ทีนี้มาดูตัวอย่างรูปภาพของ gadget นี้:

แกดเจ็ตนี้สำหรับตัวแปรและอินสแตนซ์ 1 ใน 3 ของถูกลดลงเป็นx_4)$x_2$$(x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

อย่างที่เราเห็นมีแถวแนวนอนสองแถวสัญลักษณ์ที่เขียนภายในแถวตรวจสอบให้แน่ใจว่าเราสามารถวางคำที่มีสัญลักษณ์เหล่านั้นเท่านั้นคำเหล่านั้นเป็นคำที่เราสร้างขึ้นสำหรับอุปกรณ์นี้ ในหนึ่งในแถวเราจะเห็นว่ามีสองคอลัมน์เข้ามาเพราะสัญลักษณ์ที่วางอยู่ในคอลัมน์ที่เราทำให้แน่ใจว่าเราสามารถวางคำตัวแปรเท่านั้น เนื่องจากคำเดียวที่เราสามารถวางบนแถวความสอดคล้องของตัวแปรมีเพียงสัญลักษณ์หรือเฉพาะสัญลักษณ์ในคำนั้นเท่านั้นเราจึงบังคับให้ผู้เล่นวางคำตัวแปรทั้งหมดที่มีสัญลักษณ์นั้นไว้ในแกดเจ็ต ซึ่งหมายความว่าเฉพาะตัวแปรคำที่มีอยู่ภายในโปรแกรมเบ็ดเตล็ดส่วนคำสั่งมีเพียงสัญลักษณ์หรือสัญลักษณ์เท่านั้น$3$$4$$3$$4$. เราสามารถวางคำที่เหลืออยู่ของ gagdet นี้ในแถวอื่น

หากเราไม่อนุญาตให้มีคำซ้ำในรายการคำคำในรูปภาพตัวอย่างจะเป็น:

สำหรับแถว:

$6b6b010$และ$6b6b010$

สำหรับคอลัมน์:

$b201001b$และ$b201010b$

ที่สัญลักษณ์หมายถึงช่องว่าง$b$

ดูตัวอย่าง:

Clause dump gadget

นี่คืออุปกรณ์ที่สร้างขึ้นเพื่อวางคำประโยคที่ไม่ได้ใช้ ในการทำเช่นนั้นเราต้องวางสองแถวสำหรับแต่ละคำในส่วนที่ว่างของกระดาน แถวเหล่านี้ไม่ได้เชื่อมต่อกับแถวหรือคอลัมน์อื่น

ด้วยวิธีนี้เราจะทำการลดระดับเสร็จตามที่เราอ้างว่าเราต้องการเพียง 6 สัญลักษณ์สำหรับการลดลง

ตัวอย่าง

หากคำอธิบายก่อนหน้านี้เกิดความสับสนนี่คือภาพตัวอย่างของตัวอย่างของค่าบวก 1 ใน 3 SAT ที่ลดลงสำหรับปัญหาคำนี้:

หากเราไม่อนุญาตให้พูดคำซ้ำ:

ตัวอย่างที่ได้รับการลดลงคือ:

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

ฉันคิดว่าการลดลงจากเส้นทางเส้นทางมิลโตเนียนกำกับ:

รับกราฟและสองจุดยอดเราส่งออกปริศนาต่อไปนี้:s , t ∈ $G=(V,E)$$s,t\in V$

ตัวอักษรเป็นกับเป็นสัญลักษณ์บางอย่างไม่ได้อยู่ในV∗ $V\cup \{*\}$$*$$V$

คำที่มีทุกและทุกขอบEv ∈ V v u ( u , v ) ∈ $v*v$$v\in V$$vu$$(u,v)\in E$

กระดานประกอบด้วยสองส่วน ลักษณะแรกแนวนอน "บันได" ความยาว 3 ซ้อนกันอยู่ด้านบนดังที่ปรากฎที่นี่:$|V|$

ส่วนที่สองประกอบด้วย disjoint ช่องว่างความยาว 2$|E|-(|V|-1)$

นอกจากนี้เราตั้งในครั้งแรก (ล่าง) ขั้นตอนของบันไดคำว่า (และลบออกจากรายการคำ) และในขั้นตอนสุดท้ายที่เราใส่ tT * $s*s$$t*t$

ตอนนี้เพื่อเติมบันไดมีเพียงจุดสุดยอดคำเท่านั้นที่สามารถใส่ในขั้นตอนและเพื่อเชื่อมต่อสองจุดยอดคำขอบจะต้องอยู่ระหว่างพวกเขาซึ่งสอดคล้องกับขอบที่มีอยู่ในกราฟ ขอบที่ไม่ได้ใช้สามารถใส่ในส่วนที่สองของบอร์ด ทิศทางที่สองเป็นเรื่องเล็กน้อย

ฉันคิดว่างานนี้ (หลักฐานความถูกต้องที่ฉันร่างเป็นมือโบกมือที่ดีที่สุด แต่ก็ยัง)