ฟังก์ชั่นที่ไม่คำนวณเพิ่มขนาดใหญ่ขึ้น asymptotically หรือไม่?

13

ฉันอ่านเกี่ยวกับตัวเลขบีเวอร์ที่ยุ่งและวิธีการที่พวกเขาเติบโตขนาดใหญ่กว่าฟังก์ชั่นการคำนวณใด ๆ ทำไมเป็นเช่นนี้ เป็นเพราะฟังก์ชั่นที่ไม่สามารถคำนวณได้ของช่องคลอดไม่ว่างหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นแล้วฟังก์ชั่นที่ไม่คำนวณทั้งหมดจะโตขึ้นขนาดใหญ่กว่าแบบที่คำนวณได้หรือไม่

แก้ไข:

คำตอบที่ดีด้านล่าง แต่ฉันอยากจะอธิบายด้วยภาษาอังกฤษที่ดีกว่าสิ่งที่ฉันเข้าใจพวกเขา

หากมีฟังก์ชันที่คำนวณได้ f ซึ่งเติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันบีเวอร์ที่ยุ่งอยู่นั่นหมายความว่าฟังก์ชันบีเวอร์ไม่ว่างนั้นถูกล้อมรอบด้วย f กล่าวอีกนัยหนึ่งเครื่องทัวริงจะต้องเรียกใช้สำหรับ f (n) หลายขั้นตอนเพื่อตัดสินใจปัญหาการหยุดชะงัก เนื่องจากเราทราบว่าปัญหาการหยุดชะงักไม่สามารถคาดเดาได้การคาดการณ์เบื้องต้นของเราจึงผิด ดังนั้นฟังก์ชั่นช่องคลอดที่ยุ่งจะเติบโตเร็วกว่าฟังก์ชั่นที่คำนวณได้ทั้งหมด

computability asymptotics

— hollow7
แหล่งที่มา

เกี่ยวกับส่วน "ภาษาอังกฤษธรรมดา" ของคุณคุณได้จากคำตอบนั้นมาจากไหน คุณจะได้รับจากการถูกผูกไว้กับฟังก์ชั่น busy-beaver เพื่อตัดสินใจในการหยุดปัญหาโดยทั่วไปได้อย่างไร? โปรดทราบว่าการตัดสินใจหยุดชะงักสำหรับเครื่องทัวริงที่ได้รับนั้นไม่สามารถคำนวณได้

— กราฟิลส์

M

$M$

x

$x$

M^{'}

$M'$

x

$x$

M^{'}

$M'$

f (n)

$f(n)$

M

$M$

x

$x$

14

$\{0,1\}$

ฟังก์ชั่น Busy Beaver เติบโตเร็วกว่าฟังก์ชั่นที่คำนวณได้ทั้งหมดเพราะมันถูกสร้างขึ้นมาเพื่อทำเช่นนั้น หลักฐานที่พิสูจน์ได้ว่าเป็นวิธีการที่ไม่สามารถคำนวณได้โดยการพิสูจน์ก่อนว่ามันเติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันที่คำนวณได้ใด ๆ

$A \subseteq \mathbb{N}$ $A$

$B$ $e$ $f$ $f(n) = k$ $e$ $n$ $k$ $f(n) = 0$ $e$ $n$ $B$ $B$

— Carl Mummert
แหล่งที่มา

4

$f$ $F$ $f \in \omega(g)$ $o(g)$ $g \in F$ $f \notin F$

$\{0,1\}$ $O(1)$

มีชุดของฟังก์ชั่นที่แน่นอนซึ่งรันไทม์เป็นทั้งเกณฑ์สมาชิกที่จำเป็นและเพียงพอนั่นคือฟังก์ชันที่กำหนดโดยรันไทม์เช่น

$\qquad \displaystyle \mathrm{Poly} = \{f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \mid \exists k.\, f \in O(n^k)\}$

นั่นทำให้มีความรู้สึก จำกัด พารามิเตอร์ของฟังก์ชั่น HP คือการเข้ารหัสเครื่องทัวริงและตัวเลขธรรมชาติ ขนาดของมันไม่สามารถวัดได้ว่ามันซับซ้อนแค่ไหนในการตัดสินใจหยุด

— กราฟิลส์
แหล่งที่มา