ปัญหาที่พิสูจน์ได้ต้องใช้เวลากำลังสอง

ฉันกำลังมองหาตัวอย่างของปัญหาที่มีความผูกพันลดลงของ ) สำหรับการป้อนข้อมูลx $\Omega(|x|^2$ $x$

ปัญหาต้องมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

$\Omega(n^2)$ พิสูจน์รันไทม์ของสำหรับอัลกอริทึมใด ๆ - ลำดับความสำคัญอันดับแรกคือการมีอาร์กิวเมนต์ที่ต่ำกว่าง่ายที่สุดเท่าที่จะทำได้
$O(n^2)$ อัลกอริธึมถ้าเป็นไปได้ก็ทำได้ง่ายเช่นกัน
ขนาดเอาต์พุตของ (หรือเล็กกว่า) เห็นได้ชัดว่าปัญหาใด ๆ ที่ต้องการเอาท์พุทยาวต้องใช้เวลาทำงานที่คล้ายกันอย่างน้อย แต่นั่นไม่ใช่สิ่งที่ฉันกำลังมองหา ขอให้สังเกตว่าปัญหาการตัดสินใจใด ๆ เหมาะกับที่นี่ $O(n)$ $\Omega(n^2)$
(ถ้าเป็นไปได้) ปัญหา "ธรรมชาติ" หากไม่มีคำจำกัดความที่เป็นทางการปัญหาของผู้สำเร็จการศึกษาจาก CS จะเป็นที่ยอมรับ

เมื่อไม่นานมานี้ฉันถูกถามเกี่ยวกับปัญหาดังกล่าว แต่ไม่สามารถคิดได้ง่ายๆ ปัญหาแรกที่นึกได้คือซึ่งคิดว่าเป็นปัญหารันไทม์นี่ไม่ง่ายพอและยิ่งกว่านั้นโครงสร้างได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นเท็จ : o $3SUM$ $\Omega(n^2)$

จะไปสู่ปัญหาที่ผิดธรรมชาติอย่างยิ่งฉันเชื่อว่าปัญหาที่ได้รับในฐานะอินพุต TM ที่กำหนดขึ้นและอินพุต $\langle M \rangle,x$ และเอาท์พุทตำแหน่งของหัวเทปหลังจาก $(|M|+|x|)^2$ ขั้นตอนเมื่อมันรันบน $x$ อาจตอบคำถามได้

หากคุณต้องการอย่างแน่นอนให้ยอมรับว่าเรากำลังใช้โมเดลเทปเดี่ยว TM แม้ว่าฉันจะชอบปัญหาที่รันไทม์มีความเป็นอิสระในรูปแบบที่แน่นอน (ตราบใดที่มันเหมาะสม)

ดังนั้นเราจะพบปัญหาง่ายๆ (เพื่อพิสูจน์) ปัญหาธรรมชาติ (ที่รู้จักกันดี) ที่มีไทม์ไลน์คือ ? $\Theta(n^2)$

— RB
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่า "ตัวเลขธรรมชาติ , , คำนวณ " มีคุณสมบัติ นอกจากนี้ให้สังเกตคำถามนี้

x

$x$

y

$y$

x + y

$x+y$

— Raphael

วิธีเดียวที่เรารู้วิธีที่จะพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าสุดยอดบนเครื่องมัลติทาสกิ้งของทัวริงก็คือการทำแนวทแยงมุม สำหรับเครื่องจักรทัวริงเทปเดี่ยวคุณสามารถทำได้ดีขึ้นเล็กน้อยโดยใช้การวนเวียนข้าม แต่ไม่ไกลเท่าเว้นแต่บางทีคุณอาจ จำกัด พื้นที่

n^{2}

$n^2$

— Yuval Filmus

ดูที่นี่สำหรับคำถามอื่นที่เกี่ยวข้อง การกลับด้านอินพุทน่าจะเป็นตัวเลือกที่ดี

— กราฟิลส์

ฉันไม่คิดว่าคุณสามารถทำได้ด้วยปัญหาการตัดสินใจเพราะสิ่งที่ดีที่สุดที่พบได้ใน NP คือ O (n)

— Albert Hendriks

ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นของคุณ @AlbertHendriks คุณช่วยแบ่งปันการอ้างอิงไปยังแหล่งที่มา / การสำรวจโดยอ้างว่าขอบเขตล่างที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับปัญหาใด ๆใน NP คือ ?

Ω (n)

$\Omega(n)$

— RB

คำตอบ:

หาอิจฉาฟรีตัดเค้กต้องคำสั่ง อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ไม่ได้ตอบคำถามของคุณโดยตรงเนื่องจากโมเดลการคำนวณแตกต่างจากเครื่องทัวริง $\Omega(n^2)$

โดยวิธีการที่เป็นที่รู้จักกันในปัจจุบันที่เร็วที่สุดในอัลกอริทึมสำหรับปัญหานี้ต้องคำสั่งเพื่อให้มีช่องว่างขนาดใหญ่จากขีด จำกัด ล่าง - อาจเป็นหนึ่งในช่องว่างที่ใหญ่ที่สุดในสาขาวิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ $n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}$

— Erel Segal-Halevi
แหล่งที่มา

เช่นเดียวกับในลิงค์ของ Raphael นั้น Peter แสดงให้เห็นว่า Input Reversal นั้นต้องใช้เวลา $\Theta(n^2)$ ใน Vanilla single-tape TM สำหรับปัญหาการตัดสินใจภาษา

L = {x 0^{| x |} x | x \in {0, 1}^{* * * *}}

$L = \{x0^{|x|}x \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$ ยังสรรพสิ่งต้องการ

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$ เวลาในการประมวลผล หากต้องการดูนี้ใช้อาร์กิวเมนต์ซับซ้อนสื่อสารปีเตอร์พร้อมกับผลคลาสสิกที่

E Q_{n}

$EQ_n$ ความต้องการ

Θ (n)

$\Theta(n)$ บิตของการสื่อสารเพื่อแสดงสมการกำลังสองขอบเขตล่างของL

L

$L$ คล้ายงานแนวทางหนึ่งที่เป็นธรรมชาติมากขึ้น

L = {x x ∣ x \in {0, 1}^{*}}

$L = \{xx \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$ }

โดยวิธีการมันเป็นมูลค่าการกล่าวขวัญว่า "วิธีการลำดับข้าม" ที่กล่าวถึงโดย Yuval คือ (เพื่อความรู้ที่ดีที่สุดของฉัน) เทียบเท่าคณิตศาสตร์ (หรืออาจ inforior) เพื่อความซับซ้อนการสื่อสารอย่างใดอย่างหนึ่ง

$\mathsf{SAT}$ $O(n^{2 \cos(\pi/7)})$ $n^{o(1)}$ $2 \cos(\pi/7) \approx 1.8$

— Lwins
แหล่งที่มา