แสดงว่า {xy ∣ | x | = | y |, x ≠ y} ไม่มีบริบท

ฉันจำคำถามต่อไปนี้เกี่ยวกับภาษาที่คาดคะเนได้ว่าเป็นบริบท แต่ฉันไม่สามารถหาหลักฐานของความจริงได้ ฉันอาจนำคำถามนี้ไปใช้ผิดครั้งหรือไม่?

อย่างไรก็ตามนี่คือคำถาม:

แสดงว่าภาษาไม่มีบริบท$L = \{xy \mid |x| = |y|, x\neq y\}$

การอ้างสิทธิ์ :ไม่มีบริบท$L$

หลักฐานพิสูจน์ : จะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งข้อแตกต่างระหว่างครึ่งแรกและครึ่งหลัง; เราให้ไวยกรณ์ที่ทำให้แน่ใจว่าจะสร้างและออกจากส่วนที่เหลือโดยพลการ

หลักฐาน : เพื่อประโยชน์ของความเรียบง่ายสมมติตัวอักษรไบนารี\} หลักฐานพร้อมขยายไปยังขนาดอื่น ๆ พิจารณาไวยากรณ์ :$\Sigma = \{a,b\}$$G$

$\qquad\begin{align} S &\to AB \mid BA \\ A &\to a \mid aAa \mid aAb \mid bAa \mid bAb \\ B &\to b \mid aBa \mid aBb \mid bBa \mid bBb \end{align}$

มันค่อนข้างชัดเจนว่ามันสร้าง

$\qquad \mathcal{L}(G) = \{ \underbrace{w_1}_k x \underbrace{w_2v_1}_{k+l}y\underbrace{v_2}_l \mid |w_1|=|w_2|=k, |v_1|=|v_2|=l, x\neq y \} \subseteq \Sigma^*;$

สงสัยอาจดำเนินการเหนี่ยวนำที่ซ้อนกันมากกว่าและกับกรณีที่แตกต่างกว่าคู่y) ตอนนี้การเดินทางและ (การพูดอย่างสังหรณ์ใจและสามารถแลกเปลี่ยนสัญลักษณ์ได้เนื่องจากทั้งคู่มีสัญลักษณ์ที่เลือกแยกจากส่วนที่เหลือของคำ) ดังนั้นและมีตำแหน่งเดียวกัน (ในครึ่งของพวกเขา) ซึ่งหมายถึงเพราะกำหนดข้อ จำกัด อื่น ๆ ในภาษาของมัน$k$$l$$(x,y)$$w_2$$v_1$$w_2$$v_1$$x$$y$$\mathcal{L}(G) = L$$G$

ผู้อ่านที่สนใจอาจสนุกกับปัญหาการติดตามสองปัญหา:

แบบฝึกหัดที่ 1 : หา PDA สำหรับ !$L$

แบบฝึกหัดที่ 2 : ?$\{xyz \mid |x|=|y|=|z|, x\neq y \lor y \neq z \lor x \neq z\}$