อัลกอริทึมที่ค้นหาจำนวนเส้นทางง่าย ๆ จาก

ทุกคนสามารถแนะนำผมอัลกอริทึมเส้นเวลาที่ใช้เวลาเป็น input กำกับวัฏจักรกราฟ $G=(V,E)$ และสองจุด $s$ และ $t$ และผลตอบแทนจำนวนเส้นทางที่เรียบง่ายจาก $s$ ไป $t$ ในG ฉันมีขั้นตอนวิธีการที่ฉันจะทำงาน DFS (ความลึกการค้นหาครั้งแรก) แต่ถ้า DFS พบแล้วมันจะไม่เปลี่ยนสี (จากสีขาวเป็นสีเทา) ใด ๆ ของโหนดที่มาในเส้นทางเพื่อให้ ถ้าเป็น subpath ของเส้นทางอื่น ๆ แล้วยัง DFS ผ่านไป subpath นี้ again.For ตัวอย่างพิจารณารายการถ้อยคำที่เราต้องค้นหาหมายเลขของเส้นทางจากไปวี $G$
$t$ $s \rightsquigarrow t$ $p$ $v$

\begin{array}{cccc} p & o & s & z \\ o & r & s & v \\ s & r \\ r & y \\ y & v \\ v & w \\ z \\ w & z \end{array}

$\begin{array}{|c|c c c|} \hline p &o &s &z \\ \hline o &r &s &v\\ \hline s &r \\ \hline r &y \\ \hline y &v \\ \hline v &w \\ \hline z & \\ \hline w &z \\ \hline \end{array}$ นี่ DFS จะเริ่มต้นด้วย

p

$p$ แล้วให้บอกว่ามันไปที่

p ⇝ z

$p \rightsquigarrow z$ เนื่องจากไม่พบ

v

$v$ DFS จะทำงานตามปกติตอนนี้สอง เส้นทางเป็น

p s r y v

$psryv$ เนื่องจากพบ

v

$v$ เราจะไม่เปลี่ยนสีของจุดยอด

s, r, y, v

$s,r,y,v$ เป็นสีเทาจากนั้นเส้นทาง

p o v

$pov$ เนื่องจากสีของ

v

$v$ ยังคงเป็นสีขาวแล้วเส้นทาง

p o s r y v

$posryv$ เนื่องจากสีของ

s

$s$ เป็นสีขาวและคล้ายกันของ เส้นทาง

p o r y v

$poryv$ . ยังมีการรักษาตัวนับซึ่งจะเพิ่มขึ้นเมื่อพบ

v

$v$

อัลกอริทึมของฉันถูกต้องหรือไม่ ถ้าไม่จำเป็นต้องทำการแก้ไขใด ๆ เพื่อให้ถูกต้องหรือวิธีการอื่น ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก

หมายเหตุ : ที่นี่ฉันได้พิจารณาอัลกอริทึม DFS ที่ให้ไว้ในหนังสือ"รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับอัลกอริทึมโดย Cormen"ซึ่งมันสีโหนดตามสถานะของมันดังนั้นถ้าโหนดไม่ได้เยี่ยมชมสำรวจและสำรวจจากนั้นสีจะเป็นสีขาว สีเทาและสีดำตามลำดับทุกสิ่งเป็นมาตรฐาน

algorithms graphs

— Saurabh
แหล่งที่มา

คำถามที่เกี่ยวข้อง

— Raphael

โปรดทราบว่าเส้นทางทั้งหมดในกราฟ acyclic นั้นจำเป็นต้องเรียบง่าย (โดยอาศัย acyclicity)

— Noldorin

คำตอบ:

การใช้งานในปัจจุบันของคุณจะคำนวณจำนวนเส้นทางที่ถูกต้องใน DAG อย่างไรก็ตามโดยไม่ทำเครื่องหมายเส้นทางจะใช้เวลาชี้แจง ตัวอย่างเช่นในภาพประกอบด้านล่างแต่ละขั้นตอนของ DAG จะเพิ่มจำนวนเส้นทางทั้งหมดโดยคูณด้วย 3 จากการเติบโตแบบเลขชี้กำลังนี้สามารถจัดการได้ด้วยการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก

dag

การคำนวณจำนวนของเส้นทาง -ใน DAG นั้นได้รับจากการเกิดซ้ำ $s$ $t$

Paths (u) = {\begin{cases} 1 & if u = t \\ \sum_{(u, v) \in E} Paths (v) & otherwise. \end{cases}

$\text{Paths}(u) = \begin{cases} 1 & \text{if } u = t \\ \sum_{(u,v) \in E} \text{Paths}(v) & \text{otherwise.}\\ \end{cases}$

การแก้ไข DFS อย่างง่ายจะคำนวณสิ่งนี้ตามที่กำหนด

def dfs(u, t):
    if u == t:
        return 1
    else:
        if not u.npaths:
            # assume sum returns 0 if u has no children
            u.npaths = sum(dfs(c, t) for c in u.children)
        return u.npaths

มันไม่ได้เป็นเรื่องยากที่จะเห็นว่าแต่ละขอบจะมองเพียงครั้งเดียวจึงรันไทม์ของE) $O(V + E)$

— Nicholas Mancuso
แหล่งที่มา

ฉันเข้าใจอัลกอริทึมของคุณและสามารถทำให้มีประสิทธิภาพมากขึ้นเล็กน้อยโดยใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกเนื่องจากการเรียกซ้ำแบบเรียกจะเรียกหลาย ๆ ครั้งจึงดีกว่าที่จะบันทึก

— Saurabh

@SaurabhHota มันใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก ครั้งแรกที่จุดสุดยอดจะพบว่ามันคำนวณจำนวนเส้นทางที่มันมีการทีสิ่งนี้ถูกเก็บไว้ใน u.npaths แต่ละการเรียกไปยังตามมาจะไม่คำนวณจำนวนเส้นทางใหม่ แต่จะส่งคืน u.npaths

u

$u$

t

$t$

u

$u$

— Nicholas Mancuso

สำหรับกราฟดังกล่าวไม่ใช่คำตอบเพียง m ^ n โดยที่ m คือจำนวนโหนดในคอลัมน์ (3 ที่นี่) และ n คือจำนวนคอลัมน์ที่ไม่รวม s, t (4 ที่นี่) เอาท์พุทเป็น 3 ^ 4 = 81 สำหรับกราฟตัวอย่าง

— saadtaame

@saadtaame แน่นอน; อย่างไรก็ตามความตั้งใจของฉันคือเพียงแสดงการเพิ่มเลขชี้กำลังเมื่อ "ความยาว" ของกราฟเพิ่มขึ้น แน่นอนว่ากราฟที่มีโครงสร้างสูงนั้นคุณสามารถนับในรูปแบบปิดในขณะที่อัลกอริทึมที่แสดงนั้นใช้ได้กับกราฟทั้งหมด

— Nicholas Mancuso

เวลาทำงานอนุมานว่าคุณสามารถดำเนินการเพิ่มเติมที่จำเป็นในเวลาที่คงที่ แต่ตัวเลขที่เพิ่มเข้ามาสามารถมีบิตในกรณีที่เลวร้ายที่สุด ถ้าคุณต้องการที่แน่นอนจำนวนเส้นทางที่เวลาทำงาน (การดำเนินงานนับบิต) เป็นจริง(VE)

O (V + E)

$O(V+E)$

Θ (V)

$\Theta(V)$

O (V E)

$O(VE)$

— JeffE

คุณจะต้องแจ้งให้ทราบว่าจำนวนเส้นทางจากหนึ่งโหนดไปยังโหนดเป้าหมายคือผลรวมของจำนวนเส้นทางจากชายด์ไปยังเป้าหมาย คุณรู้ว่าอัลกอริทึมนี้จะหยุดเพราะกราฟของคุณไม่มีรอบใด ๆ

ตอนนี้ถ้าคุณบันทึกจำนวนเส้นทางจากโหนดหนึ่งไปยังเป้าหมายในขณะที่คุณเข้าชมโหนดความซับซ้อนของเวลาจะกลายเป็นเชิงเส้นในจำนวนจุดยอดและเส้นหน่วยความจำเชิงเส้นในจำนวนโหนด

— molyss
แหล่งที่มา

จำนวนเส้นทางระหว่างจุดยอดสองจุดใด ๆ ใน DAG สามารถพบได้โดยใช้การแทนเมทริกซ์ adjacency

สมมติว่า A คือเมทริกซ์ adjacency ของ G. การใช้ Kth ของ A หลังจากเพิ่มเมทริกซ์เอกลักษณ์ให้กับมันแล้วให้จำนวนเส้นทางยาว <= K

เนื่องจากความยาวสูงสุดของเส้นทางแบบง่าย ๆ ใน DAG คือ | V | -1 การคำนวณกำลัง | V | -1 นั้นจะให้จำนวนเส้นทางระหว่างจุดยอดทั้งหมด

การคำนวณ | V | -1 กำลังสามารถทำได้โดยทำ log (| V | -1) muliplications แต่ละ TC: | V | ^ 2

— วิเวกอานันท์สัมพัท
แหล่งที่มา

คำถามถามถึงขั้นตอนวิธีเชิงเส้นตรง อัลกอริทึมของคุณช้ากว่านั้น

— DW

@Vivek คุณสามารถพูดถึงการอ้างอิงสำหรับทฤษฎีบทในคำตอบของคุณ?

— Hamideh