มันตัดสินใจได้ไหมว่า TM จะไปถึงตำแหน่งบนเทปหรือไม่?

ฉันมีคำถามเหล่านี้จากการสอบแบบเก่าที่ฉันพยายามจะแก้ สำหรับปัญหาแต่ละใส่เป็นการเข้ารหัสบางทัวริงเครื่องM$M$

สำหรับจำนวนเต็มและสามปัญหาต่อไปนี้:$c>1$

1. เป็นจริงหรือไม่ว่าสำหรับทุกอินพุต , M จะไม่ผ่านเครื่องหมาย| x | ตำแหน่ง+ cเมื่อทำงานบนx ?$x$$|x|+c$$x$

2. เป็นจริงหรือไม่ว่าสำหรับทุกอินพุต , M จะไม่ผ่านค่าสูงสุด{ | x | - c , 1 }ตำแหน่งเมื่อเรียกใช้บนx ?$x$$\max \{|x|-c,1 \}$$x$

3. เป็นความจริงหรือเปล่าที่อินพุตทุกตัวM ไม่ผ่านตำแหน่ง( | x | + 1 ) / cเมื่อทำงานบนx ?$x$$(|x|+1)/c$$x$

มีปัญหากี่ข้อที่ตัดสินใจได้?

หมายเลขปัญหา (1) ตามความเห็นของฉันอยู่ในถ้าฉันเข้าใจถูกต้องตั้งแต่ฉันสามารถเรียกใช้อินพุตทั้งหมดแบบขนานและหยุดถ้าอินพุตบางตัวมาถึงตำแหน่งนี้และเพื่อแสดงว่ามันไม่ได้อยู่ในRฉันสามารถลดส่วนประกอบได้ ของตู้เอทีเอ็มไปเลย ฉันสร้างเครื่องจักรทัวริงM ′ดังต่อไปนี้: สำหรับอินพุตyฉันตรวจสอบว่าyเป็นประวัติของการคำนวณหรือไม่ถ้าใช่แล้วM ′ทำงานถูกต้องและไม่หยุดถ้าไม่แล้วจะหยุด$\text {coRE} \smallsetminus \text R$$\text R$$M'$$y$$y$$M'$

สำหรับ (3) ฉันเชื่อว่ามันถอดรหัสได้เนื่องจากเป็นเครื่องจักรทัวริงทั้งหมดที่อยู่บนเซลล์แรกของแถบเสมอเนื่องจากสตริงหนึ่งถ่านสามารถผ่านเซลล์แรกได้ดังนั้นฉันจึงต้องการ เพื่อจำลองสตริงทั้งหมดของความยาว 1 สำหรับ| Q | + 1ขั้นตอน (ถูกต้องหรือไม่) และดูว่าฉันใช้เฉพาะเซลล์แรกในทุกเซลล์หรือไม่$c \geqslant 2$$|Q|+1$

ฉันไม่รู้จะทำอย่างไรกับ (2)

สถานการณ์ใด ๆ ที่ถามว่าเครื่องจักรทัวริงถูก จำกัด อยู่ในขอบเขตอัน จำกัด ของเทป (ความยาว ) บนอินพุตที่กำหนดหรือไม่$n$

อาร์กิวเมนต์ทำงานได้ดังนี้ พิจารณาเครื่องทัวริงเทปและตำแหน่งของเครื่องทัวริงบนเทป ทั้งหมดนี้รวมกันมีจำนวน จำกัด ของการกำหนดค่า จะเฉพาะเจาะจงมีเพียงการกำหนดค่าที่เป็นไปได้ Γคือชุดของสัญลักษณ์เทปและ$t = n|\Gamma|^n|Q|$$\Gamma$คือชุดของสถานะ ฉันจะใช้คำว่า "การกำหนดค่า" เพื่ออธิบายสถานะของเครื่องทัวริงรวมกับสถานะของเทปและตำแหน่งของมันบนเทปตลอดเวลาที่เหลือของคำตอบนี้ แต่นั่นไม่ใช่คำศัพท์มาตรฐาน$Q$

เรียกใช้เครื่องโดยติดตามการกำหนดค่าที่ผ่านมาทั้งหมด ถ้ามันไปไกลกว่าจุดให้ส่งคืน "ใช่Mผ่านตำแหน่งn " มิฉะนั้นเครื่องอยู่ที่ไหนสักแห่งระหว่าง 0 และn หากเครื่องทำการกำหนดค่าซ้ำ - สถานะสัญลักษณ์บนเทปและตำแหน่งของเทปนั้นเหมือนกับสิ่งที่เคยทำมาก่อน - คืน "no, Mไม่เคยผ่านตำแหน่งn "$n$$M$$n$$n$$M$$n$

ตามหลักการของช่องว่างรูนสิ่งนี้ต้องเกิดขึ้นในไม่เกินขั้นตอน ดังนั้นสิ่งที่กล่าวมาทั้งหมดจึงสามารถตัดสินใจได้ หลังจากขั้นตอนจำลองมากที่สุดt + 1คุณจะได้รับคำตอบ$t+1$$t+1$

บันทึกย่อเกี่ยวกับสาเหตุของการทำงาน: เมื่อเครื่องเทปและตำแหน่งบนเทปทำซ้ำตัวเองจะต้องมีลำดับการกำหนดค่าระหว่างการทำซ้ำเหล่านี้ ลำดับนี้จะเกิดขึ้นอีกครั้งนำไปสู่การกำหนดค่าเดียวกันอีกครั้ง - เครื่องอยู่ในวงวนไม่สิ้นสุด นี่เป็นเพราะเรากำลังติดตามทุกแง่มุมของทัวริง ไม่มีอะไรนอกเหนือจากการกำหนดค่าสามารถมีผลกระทบต่อสิ่งที่เกิดขึ้น ดังนั้นเมื่อการกำหนดค่าซ้ำมันจะทำซ้ำอีกครั้งด้วยชุดการกำหนดค่าที่เหมือนกันในระหว่างนั้น

ดังนั้นการ จำกัด เทปไว้ที่ส่วน จำกัด ของสตริงจึงสามารถนำไปใช้ได้ ดังนั้นโดยวนซ้ำอินพุตสตริงที่เป็นไปได้ทั้งหมดปัญหาอยู่ในสำหรับคำถามทั้งสามข้อ คุณอาจได้ตระหนักถึงเรื่องนี้แล้ว (ระหว่างความคิดของคุณสำหรับ 1 และ 3 และคำตอบของ Ran G สำหรับ 2 ดูเหมือนว่าจะได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์แล้ว) แต่ฉันคิดว่ามันอาจคุ้มค่าที่จะโพสต์อย่างไรก็ตาม$\text{coRE}$

(2) คล้ายกับ (3) และเหตุผลเดียวกับที่คุณมีสำหรับ (3) ใช้ที่นี่เช่นกัน: โปรดทราบว่าเครื่องในมีคุณสมบัติแปลก ๆ - พวกเขาไม่อ่านอินพุตทั้งหมดบิตสุดท้ายc ) และนี่เป็นจริงสำหรับทุกอินพุต$L_2$$c$

ตกลงดังนั้นตอนนี้ลองพิจารณาเฉพาะอินพุตที่มีความยาวเท่านั้น สำหรับแต่ละตัวเลือกนั้นมีเพียงสองตัวเลือกเท่านั้น: เครื่องวนรอบ / หยุดโดยไม่มีการขยับศีรษะหรือขยับศีรษะ ถ้ามันเคลื่อนหัวในบางx (กับ| x | ≤ ค ) เครื่องที่ไม่ได้อยู่ในL 2เนื่องจากการป้อนข้อมูลที่x มิฉะนั้นผมเรียกร้องเครื่องอยู่ในL 2 เนื่องจากมันไม่เคยขยับหัว - มันไม่มีความคิดว่าขนาดของอินพุตคืออะไร! นี่หมายความว่ามันจะทำงานเหมือนกันสำหรับอินพุตทั้งหมดของความยาว| x | > c . ดังนั้นL 2จึงสามารถตัดสินใจได้$c$$x$$|x|\le c$$L_2$$x$$L_2$$|x|>c$$L_2$