ทำไมขนาดอินพุตที่ใหญ่ขึ้นหมายถึงอินสแตนซ์ที่ยากขึ้น?

ด้านล่างสมมติว่าเรากำลังทำงานกับเครื่องทัวริงแบบไม่มีที่สิ้นสุดเทป

เมื่ออธิบายถึงความซับซ้อนของเวลากับใครบางคนและทำไมมันถึงวัดได้เมื่อเทียบกับขนาดอินพุทของอินสแตนซ์ฉันก็สะดุดกับข้อเรียกร้องต่อไปนี้:

[.. ] ยกตัวอย่างเช่นเป็นเรื่องธรรมดาที่คุณจะต้องมีขั้นตอนเพิ่มเติมในการคูณจำนวนเต็มสองจำนวนด้วย 100000 บิตแทนที่จะพูดว่าคูณจำนวนเต็มสองจำนวนด้วย 3 บิต

การอ้างสิทธิ์น่าเชื่อถือ แต่อย่างใดการโบกมือ ในอัลกอริทึมทั้งหมดที่ฉันเจอขนาดของอินพุตที่ใหญ่ขึ้นขั้นตอนเพิ่มเติมที่คุณต้องการ ในคำที่แม่นยำยิ่งขึ้นความซับซ้อนของเวลาคือฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นแบบ monotonicallyของขนาดอินพุต

เป็นกรณีที่ความซับซ้อนของเวลาเป็นฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นในขนาดอินพุตหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นทำไมเป็นเช่นนั้น มีข้อพิสูจน์อะไรที่นอกเหนือจากโบกมือ?

complexity-theory time-complexity intuition

— Kaveh
แหล่งที่มา

"สัดส่วนโดยตรง" มีความหมายทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงซึ่งหมายถึงเวลาเชิงเส้นเป็นหลัก ในคำอื่น ๆ ถ้าใส่ของคุณมีขนาด

ถ้าเวลาเป็นสัดส่วนโดยตรงขั้นตอนวิธีการทำงานในเวลาที่

ฉันคิดว่านั่นไม่ใช่สิ่งที่คุณหมายถึงเนื่องจากอัลกอริทึมจำนวนมากไม่ทำงานในเวลาเชิงเส้นนั่นคือการเรียงลำดับ คุณอธิบายเพิ่มเติมได้ไหม

n

$n$

c n

$cn$

— SamM

ดังนั้นคุณถามเกี่ยวกับอัลกอริทึมที่ทำงานในเวลา

หมายถึงอัลกอริทึมทำงานในเวลาเดียวกันโดยไม่คำนึงถึงขนาดของอินพุต,

หมายถึงมันทำงานได้เร็วขึ้นเมื่ออินพุทใหญ่ขึ้น ฉันไม่สามารถนึกถึงสิ่งที่ทำงานในเวลานั้นจากด้านบนของหัวของฉัน แต่สัญกรณ์เป็นเรื่องปกติเพราะอัลกอริทึมมักจะทำงานในบางสิ่งบางอย่างเช่น

เวลา - ในคำอื่น ๆ มันต้องใช้

o (1)

$o(1)$

O (1)

$O(1)$

o (1)

$o(1)$

O (n^{2}) + o (1)

$O(n^2) + o(1)$

O (n^{2})

$O(n^2)$ เวลาและยังมีคำศัพท์อื่น ๆ ที่มีขนาดเล็กลงเมื่ออินพุตมีขนาดใหญ่ขึ้น

— SamM

คำถามที่ดี. สิ่งที่เกี่ยวกับตัวอย่างการคำนวณปัจจัยสำคัญของ

สำหรับ

ขนาดใหญ่บางตัว(นี่เป็นเพียงฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นสำหรับ

) @Sam โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นบอกว่าเวลาจะต้องลดลงในบางจุดตามเส้นจริง (เช่น

)

c / n

$c / n$

c

$c$

n \geq c

$n \geq c$

f (b) < f (a), a < b

$f(b) < f(a), a < b$

— Casey Kuball

@Darthfett ฉันกลัวว่าฉันจะไม่ทำตาม ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นไม่ได้ลดลงในบางจุดในแนวเส้นจริง

— SamM

@ เจนนิเฟอร์ใช่ฉันเข้าใจว่ามันสมเหตุสมผล ฉันขอแนะนำให้ใช้คำศัพท์

เนื่องจากมีความหมายที่คุณต้องการ และฉันอยากจะเน้นย้ำว่าสัดส่วนโดยตรงโดยตรงแสดงถึงความเป็นเชิงเส้น ฉันเห็นสิ่งที่คุณได้รับ แต่อาจสร้างความสับสนให้กับผู้ที่กำลังอ่านคำถามเป็นครั้งแรก

o (1)

$o(1)$

— SamM

คำตอบ:

เป็นกรณีที่ความซับซ้อนของเวลาเป็นฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นในขนาดอินพุตหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นทำไมเป็นเช่นนั้น

ไม่ให้พิจารณาเครื่องทัวริงที่หยุดหลังจากขั้นตอนเมื่อขนาดอินพุตเท่ากับและหยุดหลังจากขั้นตอนเมื่อเป็นคี่ $n$ $n$ $n^2$ $n$

ถ้าคุณหมายถึงความซับซ้อนของปัญหาคำตอบก็ยังไม่ ความซับซ้อนของการทดสอบแบบดั้งเดิมนั้นมีขนาดเล็กกว่าสำหรับเลขคู่มากกว่าสำหรับเลขคี่

— JeffE
แหล่งที่มา

เป็นกรณีที่ความซับซ้อนของเวลาเป็นฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นในขนาดอินพุตหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นทำไมเป็นเช่นนั้น มีข้อพิสูจน์อะไรที่นอกเหนือจากโบกมือ?

$n$ $n$ $n/c$ $c$

$n = 1$ $n > 1$

อัลกอรึทึมย่อยน่าจะเป็นที่สนใจสำหรับคุณซึ่งไม่ได้อ่านอินพุตทั้งหมด ดูตัวอย่างhttp://www.dcs.warwick.ac.uk/~czumaj/PUBLICATIONS/DRAFTS/Sublinear-time-Survey-BEATCS.pdf

— ริสโตเฟอร์
แหล่งที่มา

O (\log n)

$O(\log n)$

o (1)

$o(1)$

@Sam: ขออภัยฉันไม่เห็นความคิดเห็นของคุณก่อนที่จะแก้ไข (เพิ่มอัลกอริทึมย่อยแบบเส้นตรง)

— คริสโตเฟอร์

ค่อนข้างตรงกันข้าม ฉันไม่เห็นการแก้ไขของคุณก่อนที่จะเพิ่มความคิดเห็นของฉัน ฉันจะลบ แต่ครึ่งหลังยังคงใช้งานและลิงก์เพิ่มเติมไม่สามารถทำให้ OP

— SamM

f (x) = 0

$f(x)=0$

$(\mathbb{N},\leq)$ $\Omega(1)$

ที่กล่าวว่าเฉลี่ยเวลาการทำงานสามารถมีสั่นส่วนประกอบเช่นmergesort

— กราฟิลส์
แหล่งที่มา

ฉันไม่เห็นว่าคำตอบนี้เกี่ยวข้องกับคำถามอย่างไร

— A.Schulz

@ A.Schulz มันให้หลักฐานสำหรับคำถามหลัก "เป็นกรณีที่ความซับซ้อนของเวลามักจะเพิ่มฟังก์ชั่นในขนาดอินพุตหรือไม่", การอ่าน "เพิ่มขึ้น" เป็น "ไม่ลดลง" คือไม่จำเป็นต้องเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวด

— Raphael

\neq

$\not=$

@ A.Schulz: ยังตีความของฉันดูเหมือนจะเป็นสิ่งที่เจนนิเฟอร์เป็นที่สนใจใน

— Raphael