ให้ชุดของชุดค้นหาชุดที่เล็กที่สุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งจากแต่ละชุด

เมื่อได้รับเซตของชุดฉันต้องการหาชุดซึ่งทุกชุดในมีองค์ประกอบของอย่างน้อยหนึ่งรายการ ฉันต้องการให้มีองค์ประกอบให้น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในขณะที่ยังคงเป็นไปตามเกณฑ์นี้แม้ว่าอาจมีเล็กที่สุดมากกว่าหนึ่งตัวที่มีคุณสมบัตินี้ (โซลูชันไม่จำเป็นต้องมีเอกลักษณ์) M S S M M $\mathbf{S}$$M$$S$$\mathbf{S}$$M$$M$$M$

เป็นตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมสมมติว่า setเป็นชุดธงประจำชาติและสำหรับแต่ละธงในองค์ประกอบคือสีที่ใช้ในธงประจำชาตินั้น สหรัฐอเมริกาจะมีและโมร็อกโกจะมี\} แล้วจะเป็นชุดของสีที่มีคุณสมบัติที่ว่าทุกชาติใช้ธงอย่างน้อยหนึ่งของสีในM( สีโอลิมปิกสีฟ้าสีดำสีแดงสีเขียวสีเหลืองและสีขาวเป็นตัวอย่างของมหรืออย่างน้อยก็ในปี 2463) S S S = { r e d , w h ฉันt e , b l u e } S = { r e d , g r e e n } M M $\mathbf{S}$$S$$\mathbf{S}$$S = \{red, white, blue\}$$S = \{red, green\}$$M$$M$$M$

มีชื่อทั่วไปสำหรับปัญหานี้หรือไม่? มีอัลกอริทึม "ดีที่สุด" ที่ยอมรับสำหรับการค้นหาชุดหรือไม่ (ฉันสนใจวิธีการแก้ปัญหามากกว่าการปรับกระบวนการให้เหมาะสมกับความซับซ้อนในการคำนวณ)$M$

ปัญหาคือที่รู้จักกันดี NP-สมบูรณ์ปัญหาชุดกดปุ่ม มันเป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการติดตั้งฝาครอบ หลักฐานเอ็นพีบริบูรณ์สามารถพบได้ในคลาสสิกหนังสือ Garey และจอห์นสัน

หากคุณต้องการประมาณมันคุณอาจต้องการแปลอินสแตนซ์ของคุณเป็น Set-Cover ก่อนจากนั้นใช้อัลกอริทึมการประมาณสำหรับ Set-Cover อย่างไรก็ตามชุดปกไม่สามารถทำได้ใกล้เคียงโดยปัจจัยคงที่ในเวลาพหุนามเว้นแต่ P = NP ที่แสดงโดยลุนด์และ Yannakakis

หากคุณมีความสนใจในการแก้ปัญหาที่แน่นอนและปัจจัยการผลิตของคุณประพฤติอย่างผมจะแนะนำให้ใช้เวไนยคงพารามิเตอร์ เวลาทำงานอยู่ที่นี่ไม่เพียงแสดงในรูปของความยาวอินพุต$n$เท่านั้น แต่ยังรวมถึงพารามิเตอร์เพิ่มเติม$k$ด้วย หากเวลาทำงานคือ$O(f(k)\cdot n^{O(1)})$เราจะเรียกอัลกอริทึมว่า FPT-algorithm ที่นี่$f(k)$เป็นฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น ดังนั้นถ้า$k$คงที่เราจะมีอัลกอริทึม polytime บทแรกของหนังสือโดย Flum and Groheอธิบายถึงอัลกอริธึม FPT สำหรับชุดการกดปุ่ม (แม่นยำยิ่งขึ้นสำหรับชุด$p$ -card-hitting) อัลกอริทึมนั้นใช้งานง่ายและใช้วิธีการของแผนผังการค้นหาที่มีขอบเขต ยังคงต้องการที่จะพื้นที่มากในการอธิบายที่นี่โดยทั่วไปคุณทำลายลงที่จำเป็นในการค้นหาแรงเดรัจฉาน (?) เป็นชิ้นเล็ก ๆ (เมื่อ$k$มีขนาดเล็ก)

ความคิดที่จะช่วยถ้าจุดตัดของชุดทั้งหมดในในไม่ว่างแล้วคุณสามารถเลือกใด ๆ องค์ประกอบsในสี่แยกและตั้งM = { s } หากแยกเป็นที่ว่างเปล่าหาองค์ประกอบ (สี) คซึ่งเกิดขึ้นในชุดสูงสุดและแทนที่ทุกชุดในการที่จะเกิดขึ้นโดยเดี่ยว{ C } ทำเช่นนี้ต่อไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งทุกองค์ประกอบของการนับมีค่าเท่ากับ1แล้วตั้งค่าMเป็นสหภาพของชุดที่เหลือ ตัวอย่างเช่นถ้าSเป็นชุดพลังงานของชุดAแล้วM = $\mathbf S$$s$$M = \{s\}$$c$$\{c\}$$1$$M$$\mathbf S$$A$$M = A$. ฉันอาจจะผิด

มีลักษณะที่เรย์ไรเตอร์ของ"ทฤษฎีของการวินิจฉัยจากหลักการแรก"ที่เขาให้อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณชุดตีและนี้ทราบเพิ่มเติม"แก้ไข ..."

อัลกอริทึมที่รู้จักกันทั่วไปว่าเป็นอัลกอริทึม "hitting set tree" มันไม่ควรจะยากเกินไปที่จะค้นหาการใช้งาน คุณพูดถึงว่าคุณไม่สนใจรันไทม์มากเกินไป แต่การปรับให้เหมาะสมเช่นการเลิกใช้สาขาเร็วเป็นต้นนั้นค่อนข้างสำคัญสำหรับการติดตั้งและน่าสนใจเช่นกัน :)

หนึ่งในวิธีที่ดีกว่า (แน่นอนว่าเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด) ในการแก้ปัญหาของ Set Cover / Hitting Set คือการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็มแบบผสม นี้เกี่ยวข้องกับการสื่อสารสูตรการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็มเพื่อแก้ปัญหาที่คุณเลือก