มีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการเทียบเคียงนิพจน์หรือไม่?

เช่น ?$xy+x+y=x+y(x+1)$

นิพจน์นั้นมาจากพีชคณิตระดับมัธยมธรรมดา แต่ จำกัด เฉพาะการเพิ่มและการคำนวณทางคณิตศาสตร์ (เช่น ) โดยไม่มีการลบการลบหรือการหาร ตัวอักษรเป็นตัวแปร$2+2=4; 2.3=6$

หากเป็นไปได้เราสามารถห้ามการแสดงออกใด ๆ ที่แสดงด้วยค่าตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ ; เช่นไม่ใช่หรือหรือ :$1$$x^2$$3x$$4$

• หลายเส้นไม่มีพลังอื่นใดนอกจาก :ก็โอเค แต่ไม่ใช่และไม่ใช่ทุกอย่างที่สามารถแทนได้เช่นเดียวกับใน การขยายเต็มไปสู่ผลรวมของผลิตภัณฑ์เช่นไม่ใช่ ; $1$$x+xy \equiv x^1+x^1y^1$$x^2+x^3y^4$$x(x+y) \equiv x^2+y$
• ทั้งหมดไม่มีสัมประสิทธิ์นอกเหนือจาก :ก็โอเค แต่ไม่ใช่และไม่ใช่ทุกอย่างที่สามารถแทนได้เช่นเดียวกับที่ขยายเต็มไปจนถึงผลรวมของ - ผลิตภัณฑ์เช่นไม่ใช่ ; และ $1$$x+xy \equiv 1.x+1.xy$$2x+3xy$$a(x+y)+x(a+b) \equiv 2ax+ay+bx$
• ไม่มีค่าคงที่อื่นที่ไม่ใช่ : อีกครั้งในผลรวมของผลิตภัณฑ์ที่ขยายตัวอย่างเต็มที่ไม่ใช่$1$$(a+1)+(b+1) \equiv a+b+2$

$Q.$มีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพในการพิจารณาว่าสองนิพจน์นั้นเทียบเท่ากันหรือไม่?

เพื่อแสดงให้เห็นต่อไปนี้เป็นอัลกอริทึมแรงเดรัจฉานที่ไม่มีประสิทธิภาพพร้อมเวลาอธิบาย:

ขยายทั้งสองนิพจน์ให้เป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ซึ่งสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายสำหรับการเทียบเท่า (เพียงแค่ไม่สนใจคำสั่งซื้อเนื่องจากการเดินทาง / เชื่อมโยงสามารถเรียงลำดับใหม่)

เช่น
a ( x + y ) + b ( x + y ) → a x + a y + b x + b $(a+b)(x+y) \rightarrow ax+ay+bx+by$
$a(x+y)+b(x+y) \rightarrow ax+ay+bx+by$

นี่เป็นปัญหาที่รู้จักกันดี - แม้นักเรียนมัธยมจะได้รับการสอนวิธีแก้ปัญหาด้วยตนเอง มันยังแก้ไขได้โดยผู้ตรวจสอบ / ผู้ตรวจสอบทฤษฎีบทอัตโนมัติ แต่พวกเขามีสมาธิกับประเด็นที่ซับซ้อนมากขึ้น

ต่อไปนี้เป็นบทพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติออนไลน์ที่ใช้งานได้: http://tryacl2.org/ซึ่งแสดงความเท่าเทียมกันโดยการค้นหาลำดับของการเดินทาง / เชื่อมโยง / แจกจ่าย ฯลฯ :

$xy+x+y=x+y(x+1)$ ?
(thm (= (+ (* x y) x y) (+ x (* y (+ x 1))) ))--- 188 ขั้นตอน

$y+x(y+1)=x+y(x+1)$ ?
(thm (= (+ y (* x (+ y 1))) (+ x (* y (+ x 1))) ))--- 325 ขั้นตอน

นี่เป็นคำถามแรกของฉันที่นี่ดังนั้นโปรดแจ้งให้เราทราบหากฉันเลือกสถานที่ที่ไม่ถูกต้องแท็กที่ไม่ถูกต้องวิธีการอธิบาย / ถามที่ผิด ฯลฯ ขอบคุณ!
NB: คำถามนี้ได้รับการเขียนใหม่เพื่อตอบสนองต่อความคิดเห็น
ขอบคุณผู้ตอบทุกคน! ฉันได้เรียนรู้มากมาย

ปัญหาของคุณจะลดลงเหลือศูนย์การทดสอบของชื่อพหุนามหลายตัวแปรซึ่งมีอัลกอริทึมแบบสุ่มที่มีประสิทธิภาพ

การแสดงออกของคุณเป็นพหุนามหลายตัวแปร เห็นได้ชัดว่านิพจน์ของคุณถูกสร้างขึ้นโดยกฎต่อไปนี้: (a) ถ้าเป็นตัวแปรดังนั้นคือนิพจน์ (b) ถ้าเป็นค่าคงตัวดังนั้นคือนิพจน์ (c) ถ้าเป็นนิพจน์ดังนั้นและเป็นนิพจน์ ถ้านั่นคือสิ่งที่คุณตั้งใจจริง ๆ ทุกการแสดงออกคือพหุนามตัวแปรหลายตัวแปรx c c e 1 , e 2 e 1 + e 2 e 1 e $x$$x$$c$$c$$e_1,e_2$$e_1+e_2$$e_1e_2$

ทีนี้คุณอยากรู้ว่าสองนิพจน์มีค่าเท่ากันหรือไม่ จำนวนนี้ใช้สำหรับการทดสอบว่ามีหลายชื่อที่ประกอบด้วยหลายชื่อแบบหลายค่า:และคุณต้องการทราบว่าชื่อพหุนามทั้งสองนี้เทียบเท่ากันหรือไม่ คุณสามารถทดสอบสิ่งนี้ได้โดยการลบมันและตรวจสอบว่าผลลัพธ์นั้นเป็นศูนย์หรือไม่: definep 2 ( x 1 , … , x n$p_1(x_1,\dots,x_n)$$p_2(x_1,\dots,x_n)$

ตอนนี้จะเทียบเท่ากันถ้าหากคือพหุนามเป็นศูนย์$p_1,p_2$$q$

การทดสอบว่าเป็นศูนย์เหมือนกันหรือไม่นั้นเป็นปัญหาการทดสอบที่เป็นศูนย์สำหรับหลายชื่อแบบหลายตัวแปร มีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการที่ ยกตัวอย่างเช่นอัลกอริทึมตัวอย่างหนึ่งคือการประเมินที่ค่าหลายแบบสุ่มของx_1,หากคุณพบค่าเช่นนั้นว่าคุณจะรู้ว่าไม่ได้เป็นศูนย์เหมือนกันนั่นคือจะไม่เทียบเท่ากัน หากหลังจากการทดลองหลายครั้งพวกเขาทั้งหมดเป็นศูนย์คุณสามารถสรุปได้ว่าเป็นศูนย์เหมือนกัน (ถ้า$q$$q(x_1,\dots,x_n)$$x_1,\dots,x_n$$x_1,\dots,x_n$$q(x_1,\dots,x_n)$$q$$p_1,p_2$$q$$q$ไม่ได้เป็นศูนย์เหมือนกันความน่าจะเป็นที่การทดลองทั้งหมดเหล่านั้นให้ผลเป็นศูนย์นั้นต่ำมาก จำนวนของการทำซ้ำที่คุณต้องทำคือการที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาระดับปริญญาของ ; ดูวรรณกรรมเกี่ยวกับการทดสอบเอกลักษณ์พหุนามเพื่อดูรายละเอียด$q$

ตัวอย่างเช่นดูhttps://en.wikipedia.org/wiki/Schwartz%E2%80%93Zippel_lemmaและhttp://rjlipton.wordpress.com/2009/11/30/the-curious-history-of-the- Schwartz-ZIPPEL-แทรก /

อัลกอริธึมเหล่านี้มีผลบังคับใช้หากคุณกำลังทำงานในฟิลด์ จำกัด คุณไม่ได้ระบุว่าคุณกำลังทำงานอยู่ในสนาม / แหวนวงใดและไม่ว่าคุณจะรักษานิพจน์เหล่านี้เป็นนิพจน์ทางการ (เช่นพหุนามเป็นวัตถุนามธรรม) หรือเป็นหน้าที่จาก . หากคุณกำลังทำงานในฟิลด์ จำกัด วิธีการข้างต้นจะมีผลทันที$\mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$

หากคุณปฏิบัติต่อนิพจน์เป็นวัตถุทางการแล้วนิพจน์ของคุณเทียบเท่ากับชื่อพหุนามหลายตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม คุณสามารถทดสอบความเท่าเทียมกันของเหล่านี้โดยการเลือกขนาดใหญ่ที่สำคัญสุ่มและการทดสอบความเท่าเทียมโมดูโลคือในสนาม{Z} ทำซ้ำพหุนามหลายครั้งด้วยค่าสุ่มที่แตกต่างกันของและคุณควรได้อัลกอริธึมแบบสุ่มที่มีประสิทธิภาพสำหรับการทดสอบความเท่ากันของนิพจน์ทางการเหล่านี้$r$$r$$\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$$r$

ที่จะปฏิบัติตามขึ้นไปบนไฟหนึ่ง , หนึ่งสัมประสิทธิ์และหนึ่งคงจำกัด ในคำถาม:

สิ่งเหล่านี้กำหนดเซตย่อยของปัญหาการทดสอบเอกลักษณ์พหุนาม เห็นได้ชัดว่าพวกเขาสามารถแก้ไขได้ด้วยเทคนิคที่แก้ปัญหาทั่วไป คำถามคือพวกเขาเป็นชุดย่อยที่แก้ไขได้ง่ายขึ้น

ค่าสัมประสิทธิ์เดียว : ในปัญหาที่ไม่มีสิ่งนี้อาจรวมเงื่อนไขทำให้ปัญหาง่ายขึ้น พิจารณารูปสามเหลี่ยมทวินามทฤษฎีบท / Pascal สำหรับ n นี้สามารถขยายปัจจัยหนึ่งที่เวลาการผลิตที่ทับซ้อนกันข้อตกลงกับการสั่งซื้อเช่น( + ข) ( + ข) = + ข+ ข+ ขข= + 2 ข+ ข$(a+b)^n$$(a+b)(a+b) = aa+ab+ab+bb = aa+2ab+bb$เงื่อนไขการใช้บริการน้อยลงทำให้มันง่ายที่จะขยายกับปัจจัยต่อไปนี้: และคำศัพท์รวมกันอีกครั้งทำให้เกิดปัญหาที่ง่ายขึ้น การรวมคำนี้เป็นรูปแบบของการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก$(aa+2ab+bb)(a+b) = aaa+2aab+abb + aab+2abb+bbb = aaa+3aab+3abb+bbb$

นั่นคือความเป็นไปได้ของการรวมคำศัพท์การสร้างสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่หนึ่งทำให้ปัญหาง่ายขึ้นไม่ยาก

(แม้ว่าจะมีงานในการคำนวณมากขึ้นในการคูณค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่หนึ่ง)

ค่าคงที่ที่ไม่ใช่หนึ่งจะรวมอยู่ในอาร์กิวเมนต์ข้างต้นโดยพิจารณาค่าคงที่เป็นตัวแปรที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์

พลังเดียวฉันไม่คิดว่ามันจะสร้างความแตกต่าง แม้ว่าจะไม่ใช่หนึ่งเลขยกกำลังที่สามารถสร้างขึ้นในทางที่มากกว่าหนึ่ง (เช่น4 = 2 2 = 1 3 ) และนี้สามารถนำไปสู่การซ้อนทับกันและการรวมกัน (เช่นในรูปสามเหลี่ยมทวินาม Theorm / ปาสคาลข้างต้น) ที่เกิดขึ้นจริง การรวมกันเป็นไปได้เฉพาะเมื่อได้รับอนุญาตค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่หนึ่ง$a^4=a^2a^2=a^1a^3$

ข้างต้นไม่ได้เป็นข้อโต้แย้งอย่างเป็นทางการหรือเข้มงวด มันวางอยู่บนสมมติฐานเกี่ยวกับสิ่งที่ทำให้ปัญหายากขึ้น แต่สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าการรวมคำศัพท์ทำให้เกิดปัญหาง่ายขึ้นเท่านั้น - ดังนั้นการป้องกันสิ่งนี้ด้วยข้อ จำกัดสัมประสิทธิ์อย่างเดียวจะไม่ทำให้เซตย่อยง่ายขึ้น