อัลกอริทึมและโครงสร้างข้อมูลที่มีประสิทธิภาพที่สุดสำหรับการบำรุงรักษาข้อมูลส่วนประกอบที่เชื่อมต่อบนกราฟแบบไดนามิกคืออะไร

สมมติว่าฉันมีกราฟหร็อมแหร็มไม่ จำกัด ทิศทางและจำเป็นต้องสามารถเรียกใช้แบบสอบถามต่อไปนี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพ:

• $IsConnected(N_1, N_2)$ - ส่งคืนหากมีเส้นทางระหว่างถึงมิฉะนั้น$T$$N_1$$N_2$$F$
• $ConnectedNodes(N)$ - ส่งคืนชุดของโหนดที่สามารถเข้าถึงได้จาก$N$

สิ่งนี้ทำได้ง่ายโดยการคำนวณส่วนประกอบที่เชื่อมต่อของกราฟไว้ล่วงหน้า คำสั่งทั้งสองสามารถทำงานในเวลา$O(1)$

ถ้าฉันยังต้องสามารถเพิ่มขอบโดยพลการ - - จากนั้นฉันสามารถเก็บส่วนประกอบไว้ในโครงสร้างข้อมูลที่ไม่จัดวางได้ เมื่อใดก็ตามที่มีการเพิ่มขอบถ้ามันเชื่อมต่อสองโหนดในองค์ประกอบที่แตกต่างกันฉันจะรวมองค์ประกอบเหล่านั้น สิ่งนี้จะเพิ่มค่าใช้จ่ายให้กับและราคาเป็นและ (ซึ่งอาจเป็น )$AddEdge(N_1, N_2)$$O(1)$$AddEdge$$O(InverseAckermann(|Nodes|))$$IsConnected$$ConnectedNodes$$O(1)$

ถ้าฉันต้องการลบขอบโดยพลการโครงสร้างข้อมูลที่ดีที่สุดในการจัดการกับสถานการณ์นี้คืออะไร เป็นที่รู้จักกันหรือไม่ เพื่อสรุปควรสนับสนุนการดำเนินงานต่อไปนี้อย่างมีประสิทธิภาพ:

• $IsConnected(N_1, N_2)$ - ผลตอบแทนถ้ามีเส้นทางระหว่างและมิฉะนั้นF$T$$N_1$$N_2$$F$
• $ConnectedNodes(N)$ - ผลตอบแทนที่ชุดของโหนดที่สามารถเข้าถึงได้จากN$N$
• $AddEdge(N_1, N_2)$ - เพิ่มขอบระหว่างสองโหนด โปรดทราบว่า ,หรือทั้งคู่อาจไม่เคยมีมาก่อน$N_1$$N_2$
• $RemoveEdge(N_1, N_2)$ - ลบขอบที่มีอยู่ระหว่างสองโหนด

(ฉันสนใจสิ่งนี้จากมุมมองของการพัฒนาเกม - ปัญหานี้ดูเหมือนว่าจะเกิดขึ้นในบางสถานการณ์บางทีผู้เล่นสามารถสร้างสายไฟฟ้าและเราจำเป็นต้องรู้ว่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเชื่อมต่อกับอาคารหรือไม่ผู้เล่นสามารถล็อคได้ และปลดล็อคประตูและเราจำเป็นต้องรู้ว่าศัตรูสามารถเข้าถึงผู้เล่นได้หรือไม่ แต่มันเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นโดยทั่วไป

ปัญหานี้เรียกว่าการเชื่อมต่อแบบไดนามิกและเป็นพื้นที่ใช้งานของการวิจัยในชุมชนวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี ยังมีปัญหาสำคัญที่ยังคงเปิดอยู่ที่นี่

เพื่อให้คำศัพท์ชัดเจนคุณขอการเชื่อมต่อแบบไดนามิกเต็มรูปแบบ เนื่องจากคุณต้องการเพิ่มและลบขอบ มีผลลัพธ์ของ Holm, de Lichtenberg และ Thorup (J.ACM 2001) ที่ได้รับเวลาอัปเดตและเวลาสอบถามจากความเข้าใจของฉันดูเหมือนว่าจะใช้งานได้ เพียงแค่พูดโครงสร้างข้อมูลยังคงรักษาลำดับชั้นของต้นไม้ทอดไว้และการเชื่อมต่อแบบไดนามิกในต้นไม้นั้นง่ายกว่า ฉันสามารถขอแนะนำเอริค D. Demaine ของบันทึกสำหรับคำอธิบายที่ดีดูที่นี่สำหรับวิดีโอ บันทึกของ Erik ยังมีตัวชี้ไปยังผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องอื่น ๆ ตามหมายเหตุ: ผลลัพธ์เหล่านี้ทั้งหมดเป็นผลลัพธ์ทางทฤษฎี$O(\log^2 n)$$O(\log n / \log\log n)$

โครงสร้างข้อมูลเหล่านี้อาจไม่มีการสืบค้นConnectedNodesต่อ se แต่สามารถทำได้โดยง่าย เพียงรักษาเป็นโครงสร้างข้อมูลเพิ่มเติมกราฟ (พูดเป็นรายการขอบเชื่อมต่อสองเท่า) และทำการค้นหาเชิงลึกครั้งแรกเพื่อรับโหนดที่สามารถเข้าถึงได้จากโหนดที่แน่นอน