คำนวณ max-flow จาก min-cut

เรารู้ว่าการคำนวณการตอบสนองต่อการไหลสูงสุด การตัดเครือข่ายขั้นต่ำที่มีความสามารถเทียบเท่ากัน cf เลย สูงสุดไหลทฤษฎีบทนาทีตัด

เรามีอัลกอริทึม (มีประสิทธิภาพมากกว่าหรือน้อยกว่า) สำหรับการคำนวณการไหลสูงสุดและการคำนวณการตัดต่ำสุดเนื่องจากการไหลสูงสุดนั้นไม่ยากหรือไม่แพงเลย

แต่สิ่งที่ตรงกันข้าม เมื่อตัดน้อยที่สุดเราจะกำหนดกระแสสูงสุดได้อย่างไร โดยไม่ต้องแก้ไข Max-Flow ตั้งแต่เริ่มต้นแน่นอนและเร็วกว่านั้นเช่นกัน

ความคิดบางอย่าง:

• จากการตัดขั้นต่ำเรารู้ค่าการไหลสูงสุด ฉันไม่เห็นว่าข้อมูลนี้ช่วยให้วิธีการมาตรฐานเพิ่มเส้นทางและ push-relabel ได้อย่างไรแม้ว่าการปรับตัวหลังดูเหมือนจะมีเหตุผลมากขึ้นเล็กน้อย

• เราไม่สามารถใช้การตัดต่ำสุดเพื่อแยกเครือข่ายออกเป็นสองส่วนและเรียกคืนเนื่องจากจะไม่ทำให้ปัญหาในกรณีเลวร้ายที่สุด (ถ้าพาร์ติชันหนึ่งเป็นแบบซิงเกิล) นอกจากนี้เราจะไม่ลดขั้นต่ำของอินสแตนซ์ขนาดเล็กลง

• การทราบคุณค่าของความเร็วการไหลสูงสุดที่แก้ไข Max-Flow LP อาจจะผ่านเงื่อนไขความหย่อนเสริมหรือไม่?

ในกรณีที่เลวร้ายที่สุดตัวตัดต่ำสุดนั้นไม่ได้ถ่ายทอดข้อมูลมากมายเกี่ยวกับการไหลสูงสุด พิจารณากราฟที่ต่ำสุดs , เสื้อ -cut มีค่าW ถ้าฉันขยายGโดยการเพิ่มจุดสุดยอดs ′และขอบ( s ′ , s ) ที่มีน้ำหนักw , อย่างน้อยs ′ , t -cut ในกราฟใหม่ประกอบด้วยเพียงขอบ( s ′ , s $G=(V,E)$$s,t$$w$$G$$s'$$(s',s)$$w$$s',t$$(s', s)$แต่ไม่ได้ให้ข้อมูลใด ๆ เกี่ยวกับวิธีการที่จะได้รับหน่วยของการไหลจากsไปที$w$$s$$t$

อย่างมีประสิทธิภาพการตัดขั้นต่ำจะบอกคุณถึงค่าของการไหล แต่ไม่ใช่วิธีการบรรลุการไหลนั้น ซึ่งหมายความว่าการรู้ว่าการตัดขั้นต่ำสามารถเพิ่มความเร็วในการค้นหาการไหลโดยใช้ปัจจัยลอการิทึมมากที่สุดเนื่องจากเราสามารถทำการค้นหาแบบไบนารีเพื่อค้นหาค่าของการตัด

มีอัลกอริธึมที่แน่นอนที่ให้คุณคำนวณการตัดขั้นต่ำก่อนคำนวณ maxflow อัลกอริธึมสองอย่างนี้คือ push relabel และอัลกอริธึม pseudoflow ซึ่งสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด หลังมีประสิทธิภาพมากขึ้น อัลกอริธึมทั้งสองนี้ใช้คุณสมบัติพิเศษของกราฟที่เหลือซึ่งปรับปรุงซ้ำ ๆ เพื่อรับ maxflow จากการตัดขั้นต่ำ สำหรับรายละเอียดฉันขอแนะนำให้อ่านรหัสและเอกสาร

ในการอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับเคสแบบกด relabel เมื่ออัลกอริธึมไม่สามารถผลักดันการไหลไปยังอ่างล้างจานได้อีกต่อไป อัลกอริทึมส่วนนี้เรียกว่าเฟส 1 เนื่องจากไม่มีชื่อที่ดีกว่า ขั้นตอนที่ 2 เป็นขั้นตอนที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นซึ่งจะแปลง min cut ให้เป็น maxflow โดยการยกเลิกรอบในกราฟที่เหลือซ้ำ ๆ โดยใช้การค้นหาลึกครั้งแรกและผลักส่วนเกินกลับไปยังแหล่งที่มา ฉันเชื่อว่าขั้นตอนที่ 2 สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีประสิทธิภาพมากกว่าแบบที่ไม่มีอาการ