NFA ที่มีจำนวนสถานะเป็นเลขชี้กำลังเมื่อมีการกระจายออก

10

ฉันจะสร้างตัวอย่างของ DFA ที่มีสถานะโดยที่ NFA ที่เทียบเท่ามี state ได้อย่างไร เห็นได้ชัดว่าชุดสถานะของ DFA ควรมีชุดย่อยทั้งหมดของชุดสถานะของ NFA แต่ฉันไม่รู้ว่าจะเริ่มอย่างไร ข้อเสนอแนะใดที่จะทำให้ฉันในการติดตามที่ถูกต้อง? $2^n$ $n$

automata finite-automata

— saadtaame
แหล่งที่มา

คำถามนี้ค่อนข้างชัดเจน โดยทั่วไปมี DFA ที่เทียบเท่าจำนวนมากสำหรับภาษาปกติที่กำหนดและ NFA ที่เทียบเท่าจำนวนมากสำหรับภาษาปกติที่กำหนด หากคุณต้องการDFA ขั้นต่ำที่มี state สิ่งนี้อาจไม่สามารถทำได้เนื่องจาก NFA ต่าง ๆ สามารถจดจำภาษาเดียวกันและมีจำนวนสถานะที่แตกต่างกัน แต่ตรงกับ DFA ขั้นต่ำเดียวกัน นอกจากนี้หากคุณต้องการเพียงแค่พิจารณา NFA "ขั้นต่ำ" สิ่งนี้จะน่าสนใจยิ่งขึ้น ...

2^{n}

$2^n$

— Patrick87

2

Patrick ฉันคิดว่า OP หมายถึงตัวอย่างที่ DFA ขั้นต่ำมีค่ามากกว่า NFA ขั้นต่ำ

— Yuval Filmus

@ Patrick87 ฉันไม่ได้มองหาอัลกอริทึม ทั้งหมดที่ฉันต้องการคือตัวอย่างของเครื่องคู่หนึ่ง: DFA ที่มีสถานะและ NFA ที่มีรัฐที่ยอมรับภาษาเดียวกัน

2^{n}

$2^n$

n

$n$

— saadtaame

@saadtaame: นั่นน่ารำคาญ: ใช้ DFA ใด ๆ และเพิ่มรัฐพอที่จะเข้าถึง n ตัวอย่างที่น่าสนใจคือสิ่งที่ DFA ที่เทียบเท่ากันน้อยที่สุดมีหลายรัฐ

2^{n}

$2^n$

— กราฟิลส์

1

โปรดทราบว่าบทความ Wikipedia เกี่ยวกับ DFA ย่อขนาดเล็กสุดอ้างอิงตัวอย่างที่เหมาะสม (แม้ว่าคุณจะต้องเข้าใจ NFA ขนาดเล็กด้วยตัวคุณเอง)

— กราฟิลส์

18

ตัวอย่างมาตรฐานคือภาษาของทุกคำบนตัวอักษรขนาดที่ไม่มีตัวอักษรที่แตกต่างกันทั้งหมด มี NFA ที่รับพร้อม state (หรือ state หากคุณอนุญาตให้เริ่มต้นหลายสถานะ): ก่อนอื่นให้เดาตัวอักษรที่หายไปจากนั้นไป (ด้วย -move) ไปยังสถานะที่รับได้ด้วยลูปตัวเอง สำหรับตัวอักษรอื่น ๆ ทั้งหมดกว่า $L$ $A$ $n$ $L$ $n+1$ $n$ $a$ $\epsilon$ $A$

DFA ใด ๆ สำหรับต้องการสถานะอย่างน้อยรัฐ สิ่งนี้สามารถเห็นได้โดยใช้ทฤษฎีบท Myhill-Nerode ให้เป็นสองชุดย่อยที่แตกต่างกันของและคำที่มีตัวอักษรทั้งหมดและเฉพาะในตามลำดับ โดยไม่สูญเสียของทั่วไปเช่นสมมติว่าและให้(AA) แล้วขณะที่L $L$ $2^n$ $S_1,S_2$ $A$ $w(S_1),w(S_2)$ $S_1,S_2$ $a \in S_1 \setminus S_2$ $w = w(A-a)$ $w(S_1)w \notin L$ $w(S_2)w \in L$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

10

นี่คือแบบฝึกหัดในหนังสือ "Finite Automata" โดย Mark V. Lawson Heriot-Watt University, Edinburgh, หน้า 68:

ให้1 แสดงให้เห็นว่าภาษาได้รับการยอมรับโดยหุ่นยนต์ที่ไม่ได้กำหนดขึ้นด้วยรัฐ แสดงให้เห็นว่าหุ่นยนต์ใด ๆ ที่กำหนดที่ตระหนักถึงภาษานี้ต้องมีอย่างน้อยรัฐ ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าการเพิ่มขึ้นของเลขชี้กำลังเป็นเลขชี้กำลังในการส่งผ่านจากหุ่นยนต์ที่ไม่ได้กำหนดค่าไปยังเครื่องตรวจวัดอัตโนมัติที่สอดคล้องกันบางครั้งก็หลีกเลี่ยงไม่ได้ $n \geq 1$ $(0+1)^\ast 1(0+1)^{n−1}$ $n+1$ $2^n$

— MK Dadsetani
แหล่งที่มา

10

ฉันจะเดาว่าคุณหมายถึงว่าDFA ที่ดีที่สุดมีรัฐ อาจจะไม่ได้รับคุณรัฐ แต่มันn) $2^n$ $2^n$ $\Omega(2^n)$

จาก "Communication Complexity" โดย Kushilevitz และ Nisan ในแบบฝึกหัด 12.6:

"สำหรับค่าคงที่ [จำนวนเต็ม - ลบที่ไม่ใช่ค่าคง]ให้พิจารณา (จำกัด ) ภาษา " $c$ $L_c = \{ww\mid w \in \{0,1\}^c\}$

และหนังสือเล่มนี้ยังคงขอให้คุณพิสูจน์ว่าคุณสามารถหา co-NFA ที่รู้จักที่ใช้สถานะและคุณไม่สามารถทำได้ดีกว่าสำหรับ DFA $L_c$ $O(c)$ $\Omega(2^c)$

— ทิโมธีซัน
แหล่งที่มา

นอกจากนี้การพิสูจน์ส่วนที่สอง "ต้อง" ความซับซ้อนในการสื่อสารดังนั้นสิ่งนี้อาจไม่เหมาะสำหรับวัตถุประสงค์ของคุณ

— ทิโมธีซัน

ขอบคุณสำหรับคำตอบ! คุณหมายถึงอะไรโดย co-NFA

— saadtaame

โดยทั่วไปให้สลับ "ยอมรับ" กับ "ปฏิเสธ" ในคำจำกัดความของ NFA นั่นคือถ้าไม่มีเส้นทางที่เป็นไปได้ใด ๆ ที่นำไปสู่รัฐที่ปฏิเสธคุณยอมรับไม่เช่นนั้นคุณก็จะปฏิเสธ

— ทิโมธีซัน

ในความเป็นจริงขอบเขตที่ต่ำกว่าติดตามค่อนข้างง่ายจาก Myhill-Nerode (ในความเป็นจริงคุณจะได้รับสิ่งที่ต้องการ .) แต่ฉันใช้ร่วม NFAรัฐ

2^{c}

$2^c$

(c + 1) 2^{c}

$(c+1)2^c$

Θ (c^{2})

$\Theta(c^2)$

— Yuval Filmus

ภาษาที่ จำกัด นั้นค่อนข้างน่าเบื่อในเรื่องนี้ ดูที่นี่ด้วย

— Raphael

9

นี่คือคำตอบที่ช้า แต่เห็นได้ชัดว่าไม่มีใครให้ทางออกที่ดีที่สุด เอา $A = \{a, b\}$ , $Q_n = \{0, 1, \ldots, n-1\}$ et ${\cal A}_n = (Q_n, A, E_n, \{0\}, \{0\})$ กับ

E_{n} = {(i, a, i + 1) ∣ 0 ⩽ i ⩽ n - 1} \cup {(n - 1, a, 0)} \cup {(i, b, i) ∣ 1 ⩽ i \leq n - 1} \cup {(i, b, 0) ∣ 1 ⩽ i ⩽ n - 1}}

$E_n = \{(i, a, i+1) \mid 0 \leqslant i \leqslant n-1\} \cup \{(n-1, a, 0)\} \cup \{(i, b, i) \mid 1 \leqslant i \leq n-1\} \cup \{(i, b, 0) \mid 1 \leqslant i \leqslant n-1\}\}$ NFA นี้สำหรับตัวอักษรสองตัวอักษรมีรัฐเพียงหนึ่งครั้งแรกและหนึ่งรัฐสุดท้ายและ DFA น้อยที่สุดที่เทียบเท่าของมันมีรัฐ

n

$n$

2^{n}

$2^n$

— J.-E. หมุด
แหล่งที่มา

3

ฉลาดมาก! ภาษาที่ยอมรับโดยหุ่นยนต์นี้คือโดยที่ประกอบด้วยคำทั้งหมดที่มีตัวอักษรมากที่สุดครั้ง

(a^{n} + a W_{n - 1} b)^{*}

$(a^n + aW_{n-1}b)^*$

W_{n - 1}

$W_{n-1}$

a

$a$

n - 1

$n-1$

— Yuval Filmus

2

@ yuval-filmus ตัวอย่างนี้ไม่ใช่ของฉัน ฉันต้องการอ้างอิง แต่ในขณะนี้ฉันจำไม่ได้ว่าเห็นที่ไหน

— เจ