การใช้ oracle ทัวริงเครื่องไม่นำไปสู่ความขัดแย้งได้อย่างไร?

เราจะมั่นใจได้อย่างไรว่าเรายังคงสร้างคำแถลงที่ถูกต้องและแม่นยำเกี่ยวกับคลาสความซับซ้อนเมื่อใช้ oracle Turing Machines ตามความเข้าใจของฉัน (ตามคำจำกัดความที่ให้ไว้ในตำราเรียนเบื้องต้นในเรื่อง) oracle เครื่องจักรทัวริงสามารถกำหนดสถานะการเป็นสมาชิกของสตริงที่เกี่ยวกับภาษา oracle ในขั้นตอนการคำนวณเดียว อย่างไรก็ตามภาษา oracle ที่ใช้บ่อยนั้นเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ไขในเวลาที่แน่นอน (ยกตัวอย่างเช่น oracle ที่สมบูรณ์แบบ EXPTIME) สำหรับฉันดูเหมือนว่า "การเปิดประตู" เพื่อความขัดแย้งและหลังจากทั้งหมดมีอะไรตามมาจากความขัดแย้ง

complexity-theory oracle-machines

— อารีย์
แหล่งที่มา

หาก oracle "จริงๆ" ใช้เวลานั่นก็เป็นเพียงปัจจัยสำหรับรันไทม์ของเครื่องทั้งหมด สมมติว่าค่าใช้จ่ายคงที่ (เช่นนับความถี่ที่คุณต้องการพยากรณ์) ทำให้ง่ายต่อการเปรียบเทียบอัลกอริธึมที่ใช้ oracle (คำถามหากผลลัพธ์ที่ได้มีความเกี่ยวข้องใด ๆ ในความเป็นจริงคือสิ่งที่คุณต้องเผชิญและ / หรือเพิกเฉยต่อ TCS เสมอ)

T

$T$

— Raphael

@ ราฟาเอลโดย "คุณ" ในความคิดเห็นเกี่ยวกับผู้ปกครองหมายถึงนักทฤษฎีที่ซับซ้อนโดยทั่วไปหรือฉันโดยเฉพาะอย่างยิ่ง?

— Ari

อดีต. ทั้งสองวิธี

— ราฟาเอล

หัวข้อขั้นสูง ลองเริ่มต้นด้วยFortnowซึ่งบางครั้งพวกเขาก็เห็นด้วย "ใช้ผิดวัตถุประสงค์" และสำรวจพื้นที่ วิธีการที่สอดคล้องกันของตัวเองเพื่อดูผลลัพธ์เหล่านี้เป็นเหมือนการยืนยัน "เงื่อนไข" ในทำนองเดียวกันกับวิธีการที่ผลการจำนวนมากมีการพิสูจน์แล้วว่าเงื่อนไขในวิชาคณิตศาสตร์อยู่บนพื้นฐานของสมมติฐาน Riemann ฯลฯ

— vzn

คำตอบ:

มีหลายวิธีในการดูสิ่งนี้

สิ่งหนึ่งคือในการพิสูจน์ความหมายก็เหมือนกับฟังก์ชั่นที่ใช้เป็นหลักฐานในการพิสูจน์บางสิ่งบางอย่างและเอาท์พุทการพิสูจน์อย่างอื่น

เราสามารถเขียนฟังก์ชั่นที่ทำงานกับค่าที่เราไม่มี

ยกตัวอย่างเช่นขอพิจารณาจำนวนลังเลซึ่งไม่ได้คำนวณ ฉันสามารถเขียนฟังก์ชั่น $h$

$haltingPlusOne : \{h \} \rightarrow \mathbb{N}$

$haltingPlusOne(x) = x + 1$ 1

ฟังก์ชั่นนี้ใช้เป็นอินพุตหมายเลข Halting และส่งกลับหมายเลข Halting บวกหนึ่ง เห็นได้ชัดว่านี่คือฟังก์ชั่นที่นิยามไว้อย่างดี: ถ้าเราให้อินพุตที่ถูกต้องมันจะให้เอาต์พุตที่ถูกต้อง ความจริงที่ว่าเราไม่สามารถหาอินพุตที่ถูกต้องไม่ได้ทำให้การแปลงมีความถูกต้องน้อยลง

ฉันเห็นหลักฐานที่มี oracles เหมือนกัน โดยทั่วไปแล้วพวกมันเป็นฟังก์ชันที่บอกว่าให้เครื่องทัวริงที่แก้ปัญหาแล้วและฉันจะเอาท์พุทเป็นบทพิสูจน์ทฤษฎีบทบางอย่าง $X$

สิ่งสำคัญคือต้องตระหนักว่าเมื่อเราพูดบางอย่างเช่น "ไม่มีเครื่องทัวริงที่สามารถตัดสินปัญหาการหยุดชะงัก" ที่กล่าวว่าไม่มี TM ที่ตรงกับคำจำกัดความมาตรฐานของ TM ที่ตัดสินปัญหาการหยุดชะงัก

oracle กล่าวโดยทั่วไปว่า "สมมติว่าเรามี TM ที่ตรงกับคำนิยามปกติยกเว้นว่าเราสามารถแก้ปัญหาได้" ดังนั้นจึงไม่มีความขัดแย้งเนื่องจากเราไม่ได้สมมติว่ามี TM ปกติที่รับปัญหาเรากำลังสมมติว่ามี TM พิเศษที่รับปัญหา

ในการเปรียบเทียบที่ไม่เป็นทางการให้คิดแบบนี้ ถ้าฉันสามารถพิสูจน์ให้คุณเห็นว่าไม่มีมนุษย์คนใดที่ไม่มีพลังวิเศษสามารถบินได้ไม่มีความขัดแย้งที่บอกว่ามีซุปเปอร์ฮีโร่ที่สามารถบินได้

ออราเคิลเหล่านี้เป็นวัตถุทางตรรกะอย่างแท้จริง เราไม่รู้วิธีสร้างเครื่องจักรทางกายภาพที่เลียนแบบพวกเขาวิธีที่เราสามารถทำได้ด้วยเครื่องจักรทัวริง แต่เท่าที่เราทราบไม่มีความขัดแย้งโดยธรรมชาติระหว่างคำจำกัดความของพวกเขาและสัจพจน์พื้นฐานของเรา ในฐานะที่เป็นวัตถุตรรกะ, oracles เหล่านี้มีอยู่จริง เรารู้ว่าพวกเขาไม่ใช่เครื่องทัวริงมาตรฐานหรือคำศัพท์แลมบ์ดา - แคลคูลัสหรือฟังก์ชั่นแบบเรียกซ้ำบางส่วน วิทยานิพนธ์ของโบสถ์ทัวริงกล่าวว่าไม่มีแบบจำลองที่ทรงพลังมากนัก แต่มันไม่ใช่ทฤษฎี แต่เป็นเพียงการคาดเดาและไม่เป็นทางการเกินกว่าที่จะพิสูจน์ได้จริงๆ

— jmite
แหล่งที่มา

ฉันเห็นด้วยกับ / เข้าใจคำตอบของคุณ แต่จนถึงจุดหนึ่ง: ตัวอย่างเช่นฉันเห็นว่าฟังก์ชัน haltingPlusOne ของคุณได้รับการกำหนดไว้อย่างดี แต่ไม่เห็นว่าเราจะสามารถสรุปข้อสรุปที่มีความหมายใด ๆ จากออราเคิลได้อย่างไร "if" คำสั่งของคำสั่งที่ผิดพลาดและไปถึงข้อสรุปใด ๆ เช่น "ถ้าสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมดแล้วมีจำนวนธรรมชาติเพียงหนึ่งเดียว"

n + 1 = n

$n + 1 = n$

n \geq 1

$n \geq 1$

— Ari

สิ่งนั้นคือข้อความไม่ได้เป็นเท็จเราก็ไม่สามารถสร้างมันได้ กุญแจสำคัญคือออราเคิลไม่ได้เป็นเครื่องทัวริงมันไม่ได้หมายความว่ามันไม่มีอยู่

— jmite

"ค้นหาอินพุตที่ถูกต้อง" "ค้นหาเอาต์พุตที่ถูกต้อง"?

\mapsto

$\: \mapsto \:$

$\;\;\;$

$\;\;\;\;\;\;\;$

ฉันจะบอกว่ามันเป็นคุณสมบัติที่สำคัญของ oracle TM ที่พวกเขาสามารถเข้าถึง oracle ที่ยากต่อการแก้ไข หากคุณสามารถตัดสินใจ oracle ในเวลาคงแล้วทุกระดับคุณจะมีอรรถเป็น เหตุใดจึงต้องมีคำพยากรณ์ทั้งหมดในกรณีนี้? $A$ $B$ $B=B^A$

แล้วจุดประสงค์ในการใช้ oracle TM คืออะไร? ฉันจะบอกว่ามันช่วยให้เราพิจารณาในเชิงทฤษฎีเป็นหลักเกี่ยวกับ (ระดับของ) ความแข็งของปัญหา oracle สามารถบอกไม่ได้ ในกรณีนี้คุณสามารถกำหนดลำดับชั้นของปัญหา undecidable (ระดับทัวริง) แน่นอนถ้า oracle ของคุณเป็นปัญหาการหยุดชะงักคุณไม่สามารถแปลง oracle TM ของคุณเป็น TM ดั้งเดิมได้

oracle TM ยังมีความสำคัญในการกำหนดรูปแบบการลดที่แข็งแกร่ง (Turing Reduction)

โปรดทราบว่าแรงจูงใจที่มากขึ้นของทฤษฎี oracle TM สามารถมีผลกระทบด้านนอกของโลก oracle คุณอาจรู้จัก vsผลลัพธ์ $\sf P$ $\sf NP$

ในฐานะที่เป็นคำพูดสุดท้ายทราบว่าในการสอบถาม oracle คุณต้องเขียนสตริงแบบสอบถามก่อนใน oracle เทป ดังนั้นคุณไม่สามารถตัดสินใจเป็นสมาชิกในเวลาคงที่ แต่ในเวลา. $w$ $|w|$

— A.Schulz
แหล่งที่มา