การเปลี่ยนแปลงตัวแปรในความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ

ขณะนี้ฉันกำลังเรียนรู้ด้วยตัวเอง Intro to Algorithms (CLRS) และมีวิธีการหนึ่งที่พวกเขาร่างในหนังสือเพื่อแก้ปัญหาความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ

วิธีการต่อไปนี้สามารถอธิบายได้ด้วยตัวอย่างนี้ สมมติว่าเรามีการเกิดซ้ำ

T (n) = 2 T (\sqrt{n}) + \log n

$T(n) = 2T(\sqrt n) + \log n$

เริ่มแรกพวกเขาทำการทดแทน m = lg (n) แล้วเสียบกลับเข้าไปที่การเกิดซ้ำและรับ:

T (2^{m}) = 2 T (2^{\frac{m}{2}}) + m

$T(2^m) = 2T(2^{\frac{m}{2}}) + m$

เมื่อมาถึงจุดนี้ฉันเข้าใจอย่างสมบูรณ์ ขั้นตอนต่อไปนี้เป็นขั้นตอนที่ทำให้ฉันสับสน

ตอนนี้พวกเขา "เปลี่ยนชื่อ" การเกิดซ้ำและปล่อยให้ซึ่งเห็นได้ชัดว่าผลิต $S(m)$ $S(m) = T(2^m)$

S (m) = 2 S (m / 2) + m

$S(m) = 2S(m/2) + m$

ด้วยเหตุผลบางอย่างมันไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่าทำไมการเปลี่ยนชื่อนี้จึงใช้งานได้และดูเหมือนว่าเป็นการโกง ใครช่วยอธิบายเรื่องนี้ได้ดีกว่ากัน?

— goooser
แหล่งที่มา

คำตอบ:

มันไม่ได้โกงอย่างแน่นอน คิดในแคลคูลัสว่าการทดแทนอาจใช้เพื่อแก้ปัญหาอินทิกรัลที่ซับซ้อนได้อย่างไร การทดแทนทำให้สมการสามารถจัดการได้ง่ายขึ้นสำหรับการจัดการ นอกจากนี้การทดแทนอาจเปลี่ยนการเกิดซ้ำที่ค่อนข้างซับซ้อนให้เป็นที่คุ้นเคย

นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นในตัวอย่างของคุณ เรากำหนดกลับเป็นซ้ำใหม่ )จำไว้ว่า $S(m)=T(2^m)$ ม.ขอให้สังเกตว่า $T(2^m) = 2T(2^\frac{m}{2}) + m$ )หากจุดนี้โดยเฉพาะยังไม่ชัดเจนให้และแจ้งให้ทราบทุกสิ่งที่เรากำลังทำอยู่นี้คือ)ตอนนี้เราสามารถแสดงโดยการขยายไปยัง: แก้เพื่อเราเห็นว่ามันแก้ไขให้เพื่อนที่คุ้นเคย $S(m/2) = T(2^\frac{m}{2})$ $k =m/2$ $S(k) = T(2^k)$ $S(m)$

S (m) = 2 S (m / 2) + m .

$S(m) = 2S(m/2) + m.$

S

$S$

. ตอนนี้ที่เราได้แก้ไข

เราต้องการที่จะแสดงนี้ในแง่ของ

)

การทำเช่นนี้เพียงเสียบกลับมาอยู่ในค่าเดิมของเราสำหรับ

และเรามี

)

O (m \log m)

$O(m \log m)$

S

$S$

T (n)

$T(n)$

m

$m$

T \in O (\log n \log \log n)

$T \in O(\log n \log \log n)$

— Nicholas Mancuso
แหล่งที่มา

ใช่ฉันเข้าใจอย่างสมบูรณ์ว่าการทดแทนช่วยให้ปัญหาง่ายขึ้นได้อย่างไรและจะเสียบค่ากลับเข้าไปเพื่อให้ได้ความซับซ้อนในรูปของ n ฉันเดาว่าคำถามของฉันคือหลังจากให้ S (m) = T (2 ^ m) คุณจะสืบทอด S (m / 2) อย่างไร มันไม่ชัดเจนสำหรับฉันด้วยเหตุผลบางอย่าง เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นคุณจะสรุปได้อย่างไรว่า T (2 ^ (m / 2)) = S (m / 2) ดูเหมือนว่าในการเกิดซ้ำ T ขนาด subproblem กำลังสแควร์รูทในขณะที่การเกิดซ้ำ S ขนาด subproblem จะถูกลดลงครึ่งหนึ่ง

ส่วนเดียวที่ฉันไม่เข้าใจคือเมื่อคุณพูดว่า "สังเกตว่า S (m / 2) = T (2 ^ (m / 2))" นั่นเป็นเพียงส่วนเดียวที่ไม่ชัดเจนสำหรับฉัน ฉันคุ้นเคยกับแนวคิดในการสร้างการแทนที่ตัวแปร แต่ฉันไม่คุ้นเคยกับแนวคิดในการแทนที่การเกิดซ้ำทั้งหมด

อ่าโอเคการแก้ไขครั้งล่าสุดทำให้ฉันแล้ว ชัดเจนแล้วขอบคุณ!

ฉันสงสัยเล็กน้อย ถ้าผมเขียนฟังก์ชั่น S () ในแง่ของkฉันได้รับด้านล่างสม S (k) = 2S (k / 2) + m ฉันจะได้รับแทนmสำหรับk

— Atinesh

$S(m) = T(2^m)$ $S$ $T$ $m$ $2^m$

$S$

$S'$ $m$ $2^m$
$T$

ดังนั้นช่วงการเปลี่ยนภาพคือ:

m \to 2^{m} \to T (2^{m}) = S (m)

$m\to 2^m\to T(2^m) = S(m)$

\frac{m}{2} \to 2^{m / 2} \to T (2^{m / 2}) = S (\frac{m}{2}) .

$\tfrac{m}2\to2^{m/2}\to T(2^{m/2}) = S(\tfrac{m}2)\,.$

— วิเวกอานันท์สัมพัท
แหล่งที่มา