เครื่องทัวริงของตัวอักษรที่ไม่มีที่สิ้นสุด

9

เครื่องทัวริงที่ได้รับอนุญาตให้อ่านและเขียนสัญลักษณ์จากตัวอักษรอนันต์มีประสิทธิภาพมากกว่า TM ปกติหรือไม่ (นั่นคือความแตกต่างเพียงอย่างเดียว

สัญชาตญาณบอกฉันไม่ได้เนื่องจากคุณต้องการจำนวนรัฐที่ไม่มีที่สิ้นสุดเพื่อแยกความแตกต่างของสัญลักษณ์แต่ละตัว ดังนั้นฉันคิดว่าสัญลักษณ์หรือช่วงการเปลี่ยนภาพที่เกิดจากสัญลักษณ์ (หรือชุดย่อยบางส่วนของการเปลี่ยนภาพ) จะต้องเทียบเท่ากัน ดังนั้นคุณสามารถจำลองเครื่องดังกล่าวด้วย TM ปกติและเซตย่อยที่ล้อมรอบของสัญลักษณ์หรือการเปลี่ยนดังกล่าว

ฉันจะเข้าหาหลักฐานอย่างเป็นทางการของเรื่องนี้ได้อย่างไร

— Zad
แหล่งที่มา

7

พร้อมกันcrosspostedบน CSTheory โปรดอย่าทำอย่างนั้น ทำให้คำถามของคุณปรากฏสำคัญกว่าคำถามอื่น ๆ นี่น่าจะเหมาะสมกว่าที่นี่

— Juho

17

ไม่มันจะมีพลังมากกว่านี้ ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนภาพจะไม่ถูก จำกัด อีกต่อไปและนั่นทำให้คุณมีอำนาจมาก

ด้วยตัวอักษรที่ไม่มีที่สิ้นสุดคุณสามารถเข้ารหัสรายการอินพุตใด ๆ จากชุดอนันต์ในสัญลักษณ์เดียว (แม้ว่าชุดอินพุตจะไม่สามารถ "ไม่มีที่สิ้นสุด" มากกว่าชุดตัวอักษรเช่นตัวอักษรน่าจะเป็นอนันต์นับเท่านั้นดังนั้นองค์ประกอบที่นับไม่ได้ ชุดเหมือนตัวเลขจริงไม่สามารถแสดงในสัญลักษณ์เดียว) และเช่นเดียวกันสำหรับการส่งออก

ดังนั้นคุณสามารถสร้างสองสถานะ (หนึ่งค่าเริ่มต้นหนึ่งยอมรับ) อนันต์ - ตัวอักษร -TM ด้วยการเปลี่ยนแปลงเดียวที่ย้ายไปยังสถานะที่ยอมรับและเปลี่ยนสัญลักษณ์ใต้หัวเทปตามฟังก์ชันที่คุณพยายามคำนวณ สูตรนี้จะช่วยให้คุณสามารถคำนวณการแมปใด ๆ ระหว่างชุดที่สามารถใส่ในการติดต่อแบบตัวต่อตัวกับตัวอักษร

ดังนั้นเพื่อหลีกเลี่ยงการเรียงลำดับของเครื่องที่แย่ลงเป็นคำตอบสำหรับทุกสิ่งคุณจะต้อง จำกัด สิ่งที่ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงสามารถทำได้ สิ่งที่ชัดเจนคือต้องการให้ฟังก์ชันการเปลี่ยนแปลงนั้นคำนวณได้ (ฟังก์ชันการเปลี่ยนแปลงปกติของ TM นั้นคำนวณได้แบบไม่สำคัญเลยเพราะมันมีขอบเขต จำกัด ) แต่คุณจะพยายามใช้ฟังก์ชันที่คำนวณได้เพื่อกำหนดรูปแบบของฟังก์ชันที่คำนวณได้

— เบน
แหล่งที่มา

6

คำตอบข้างต้นถูกต้อง แต่มีอีกเล็กน้อยที่สามารถพูดเกี่ยวกับตัวอักษรที่ไม่มีที่สิ้นสุดและการคำนวณ

เครื่องทัวริงอธิบายไว้ใน WP เป็นซึ่งชุดทั้งหมดมีขอบเขต ดังนั้นฟังก์ชันการเปลี่ยน จำเป็นต้องมีขอบเขตแน่นอน $M = (Q, \Gamma,b,\Sigma,\delta, q_0, q_f)$

δ : Q / F \times Γ \to Q \times Γ \times {L, R}

$\delta: Q / F \times \Gamma \rightarrow Q \times\Gamma \times \{L,R \}$

ในเครื่องตัวอักษรที่ไม่มีที่สิ้นสุดเราจะแทนที่ตัวอักษรอินพุตโดยพูดและดังนั้นตัวอักษรเทปโดยและฟังก์ชั่นการเปลี่ยนภาพโดยเชื่อฟัง: $\Sigma$ $\Sigma^{inf}$ $\Gamma^{inf}$ $\delta^{inf}$

δ^{i n f} : Q / F \times Γ^{i n f} \to Q \times Γ^{i n f} \times {L, R}

$\delta^{inf}: Q / F \times \Gamma^{inf} \rightarrow Q \times\Gamma^{inf} \times \{L,R \}$

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด ดังที่ได้กล่าวไว้หากฟังก์ชั่นนี้จะไม่สามารถคำนวณได้ดังนั้นสิ่งที่กล่าวมาข้างต้นจะไม่สามารถแทนได้อย่างละเอียด ให้เราสมมติว่าเราจะเก็บ (บางส่วน) ซ้ำถ้าเป็นไปได้ คำถามคือว่าตัวอักษรจะอนุญาตนี้หรือไม่ $\delta^{inf}$ $\delta^{inf}$

ปัญหาพื้นฐานคือตัวอักษรที่มี จำกัด จะถูกนำเสนออย่างครบถ้วน (เพื่อให้เราสามารถเลือกที่จะกำหนดฟังก์ชั่นของเราซ้ำ) แต่ตัวอักษรที่ไม่มีที่สิ้นสุดไม่สามารถนำเสนอในสิ่งทั้งปวง ดังนั้นกลไกใดที่สร้างตัวอักษร

วิธีที่ง่ายที่สุดในการพิจารณาเรื่องนี้คือการคิดว่ามีแน่นอน "แกนกลาง" ตัวอักษรกล่าวว่า\} แล้วสร้างเป็นภาษา * สมมติว่าสตริงabaabL จากนั้นกำหนด{} ดังนั้นตัวอักษรอนันต์ประกอบด้วยชุดของสตริงจากตัดแบ่งเป็นเดี่ยวสัญลักษณ์เช่น<abaab> $A=\{a,b\}$ $L \subset A^*$ $\in L$ $\alpha = <abaab> \in \Gamma^{inf}$ $L$ $<abaab>$

ตัวอักษรที่ง่ายที่สุดนั้นคือ<1 *>ซึ่งเป็นภาษาปกติที่สัญลักษณ์สองตัวใดที่มีความแตกต่างกันโดยการนับจำนวนของจังหวะตามแนวตั้งในแต่ละสัญลักษณ์ สิ่งนี้จะคำนวณได้ด้วยตัวแยกวิเคราะห์สถานะอัน จำกัด (ในฐานะ LBA แม้ว่าไม่ใช่แบบ จำกัด ขอบเขตอัตโนมัติ) ทัวริงแย้งสำหรับตัวอักษร จำกัด เพื่อหลีกเลี่ยงการปรากฏตัวของการดำเนินการที่ไม่ จำกัด ในการดำเนินงาน TM อย่างไรก็ตามเป็นที่น่าสังเกตว่าตัวอักษร 26 ตัวของตัวอักษรภาษาอังกฤษไม่เป็นไปตามรูปแบบการนับนี้: ตัวอักษร z ไม่ได้มี 26 จังหวะหรือจุดหรืออะไรก็ตาม ดังนั้นรูปแบบอื่น ๆ ที่เป็นไปได้ที่มีรูปแบบการคำนวณทั่วไปมากที่สุดที่ตั้งอยู่บนพื้นฐานนับซ้ำ (Re) ภาษาL $L$

ปัญหาที่นี่แม้ว่าจะเป็นไปได้ว่าการสร้างจะไม่สามารถทำได้เว้นแต่จะมีการให้คำจำกัดความของอย่างชัดเจน นี่เป็นส่วนหนึ่งเนื่องจากความไม่เท่าเทียมของเซตใหม่นั้นไม่สามารถบอกได้และส่วนหนึ่งเป็นเพราะมิฉะนั้นเราจะมีตัวอย่างที่แน่นอนที่จะทำงานด้วยและไม่สามารถอนุมานจากนั้นได้ ถ้าเรามีคำจำกัดความของ (ดังนั้น ) ถ้ามีการเรียกซ้ำในดังนั้นจะเรียกซ้ำในขอบเขต A และคือ recursive และสามารถเรียกซ้ำได้ $\delta^{inf}$ $L$ $L$ $L$ $\Gamma^{inf}$ $f$ $\Gamma^{inf}$ $f$ $f$ $\delta^{inf}$

ในที่สุดเราจะพิจารณากรณีที่ไม่ได้มีสองตัวอย่าง: $L$

example1 iff $<n>\in \Gamma^{inf}$ $\phi_{n}(n)$ พิสูจน์ได้ว่าแตกต่าง ในกรณีนี้ตัวอักษร $\Gamma^{inf}$ จะไม่มีคำอธิบายที่แน่นอน - แต่จะ "เติบโต" เมื่อเวลาผ่านไป (และจะถูกกำหนดโดยตัวเองอย่างเต็มที่ในขีด จำกัด การคำนวณบางอย่าง) แต่มันก็เป็นตัวอักษรที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งไม่สามารถนำเสนอได้ในทุกกรณี ดังนั้นถ้า $f$ เรียกซ้ำ $\Gamma^{inf}$ จากนั้น f อยู่ใน - ชุด Halting ดังนั้นไม่สามารถเรียกซ้ำได้ $\Delta_2^0$ $\delta^{inf}$

ตัวอย่างที่ 2 ตัวอย่างเรขาคณิตมากขึ้นพิจารณาเพนโรสเหมือนกระเบื้อง ให้สัญลักษณ์ถ้าเป็นหน่วยของไพ่แบบ aperiodic N ซึ่งสามารถจัดเรียงแผ่นกระเบื้องได้ ตัวอักษรนี้ไม่มีที่สิ้นสุดเนื่องจากสามารถสร้างได้สำหรับ N ใด ๆ ซึ่งเป็นหน่วย N-tile ของกระเบื้อง Penrose อย่างไรก็ตามการเรียงตัวของเครื่องบินเองนั้นไม่สามารถตัดสินใจได้ดังนั้นชุดของ S จะเพิ่มขึ้นเมื่อมีการค้นพบกระเบื้องมากขึ้น ความเป็นไปได้ซ้ำในแต่ไม่สามารถเรียกซ้ำได้อย่างแน่นอนคือ f (S) = จำนวนไพ่ใน S $S\in\Gamma^{inf}$ $S$ $f$ $\Gamma^{inf}$

— รอยซิมป์สัน
แหล่งที่มา