n * log n และ n / log n เทียบกับเวลาที่ใช้พหุนาม

ผมเข้าใจว่าจะเร็วกว่าΘ ( n log n )และช้ากว่าΘ ( n / log n ) อะไรคือสิ่งที่ยากสำหรับผมที่จะเข้าใจวิธีการที่จริงเปรียบเทียบΘ ( n log n )และΘ ( n / log n )กับΘ ( n ฉ )ที่0 < ฉ< 1$\Theta(n)$$\Theta(n\log n)$$\Theta(n/\log n)$$\Theta(n \log n)$$\Theta(n/\log n)$$\Theta(n^f)$$0 < f < 1$

ตัวอย่างเช่นวิธีที่เราจะตัดสินใจเทียบกับΘ ( n 2 / 3 )หรือΘ ( n 1 / 3$\Theta(n/\log n)$$\Theta(n^{2/3})$$\Theta(n^{1/3})$

ฉันต้องการมีทิศทางต่อการดำเนินการในกรณีเช่นนี้ ขอบคุณ.

หากคุณวาดกราฟสองสามกราฟคุณจะมีรูปร่างที่ดี Wolfram Alpha เป็นแหล่งข้อมูลที่ยอดเยี่ยมสำหรับการตรวจสอบประเภทนี้:

สร้างโดยลิงค์นี้ โปรดสังเกตว่าในกราฟ log (x) เป็นลอการิทึมธรรมชาติซึ่งเป็นเหตุผลที่สมการของกราฟหนึ่งดูตลกเล็กน้อย

เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามของ 2 n เช่นเดียวกับที่ 2 nเติบโตเร็วกว่าพหุนามใด ๆ n kโดยไม่คำนึงว่าขนาดใหญ่ของ kคือเท่าใดก็ตาม log nจะเติบโตช้ากว่าฟังก์ชันพหุนามใด ๆ n kโดยไม่คำนึงว่าขนาดเล็กเป็นศูนย์บวก kคือเท่าใด$\log n$$2^n$$2^n$$n^k$$k$$\log n$$n^k$$k$

$n / \log n$$n^k$$k < 1$$n / \log n$$n / n^{1-k}$

$n^{1-k} > \log n$$n$$n / \log n > n^k$$k < 1$$n$

สำหรับอัลกอริธึมหลายครั้งบางครั้งมันก็เกิดขึ้นว่าค่าคงที่แตกต่างกันทำให้หนึ่งหรืออื่นเร็วหรือช้าลงสำหรับขนาดข้อมูลที่เล็กลงและไม่ได้รับคำสั่งจากความซับซ้อนของอัลกอริธึม

ต้องบอกว่าถ้าเราพิจารณาขนาดข้อมูลที่ใหญ่เป็นพิเศษเช่น ซึ่งหนึ่งในที่สุดก็ชนะแล้วO(n^f)จะเร็วกว่าสำหรับO(n/log n)0 < f < 1

ส่วนใหญ่ของความซับซ้อนอัลกอริทึมคือการกำหนดอัลกอริทึมที่เร็วที่สุดดังนั้นการรู้ว่าO(n^f)เร็วกว่าO(n/log n)สำหรับ0 < f < 1มักจะเพียงพอ

กฎทั่วไปคือคูณ (หรือหาร) โดยlog nในที่สุดจะมีเพียงเล็กน้อยเมื่อเทียบกับการคูณ (หรือหาร) โดยสำหรับการใด ๆn^ff > 0

เพื่อแสดงให้เห็นชัดเจนยิ่งขึ้นให้เราพิจารณาว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อ n เพิ่มขึ้น

   n       n / log n         n^(1/2)
   2        n/ 1              ?
   4        n/ 2             n/ 2
   8        n/ 3              ?
  16        n/ 4             n/ 4
  64        n/ 6             n/ 8
 256        n/ 8             n/16
1024        n/10             n/32

แจ้งให้ทราบล่วงหน้าซึ่งลดลงอย่างรวดเร็วมากขึ้น? มันคือn^fคอลัมน์

แม้ว่าจะfอยู่ใกล้กับ 1 มากขึ้นn^fคอลัมน์ก็จะเริ่มช้าลง แต่เมื่อ n เป็นสองเท่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวส่วนจะเพิ่มขึ้นในขณะที่ตัวส่วนของn/log nคอลัมน์จะเปลี่ยนในอัตราคงที่

ให้เราพล็อตกรณีเฉพาะบนกราฟ

ที่มา: Wolfram Alpha

ฉันเลือกแบบO(n^k)ที่kค่อนข้างใกล้ถึง 1 (ที่0.9) ฉันยังเลือกค่าคงที่เพื่อเริ่มO(n^k)ช้าลง แต่แจ้งให้ทราบว่าในที่สุดก็ "ชนะ" O(n/log n)ในที่สุดและใช้เวลาน้อยกว่า

$n^f$$\dfrac{n}{n^{1-f}}$$n^{2/3}=n/n^{1/3}$

$\log n$$n^\varepsilon$$\varepsilon>0$

เมื่อเปรียบเทียบเวลาที่ใช้งานจะเป็นประโยชน์เมื่อเปรียบเทียบโดยใช้ค่าใหญ่ของ n สำหรับฉันสิ่งนี้จะช่วยสร้างสัญชาตญาณว่าฟังก์ชั่นใดจะช้ากว่ากัน

ในกรณีของคุณให้คิดถึง n = 10 ^ 10 และ a = .5

O(n/logn) = O(10^10/10) = O(10^9)
O(n^1/2) = O(10^10^.5) = O(10^5)

ดังนั้น O (n ^ a) เร็วกว่า O (n / logn) เมื่อ 0 <a <1 ฉันใช้เพียงหนึ่งค่าอย่างไรก็ตามคุณสามารถใช้หลายค่าเพื่อสร้างสัญชาตญาณเกี่ยวกับฟังก์ชัน

$f \prec g$

$(2, 10) < (3, 5)$$(2, 10) > (2, 5)$

นำไปใช้กับตัวอย่างของคุณ:

$\mathcal{O}(n/\log n) \Rightarrow (1, -1, 0)$

$\mathcal{O}(n^{2/3}) \Rightarrow (2/3, 0, 0)$

$\mathcal{O}(n^{1/3}) \Rightarrow (1/3, 0, 0)$

คุณสามารถพูดได้ว่า: พลังแห่ง n ครองอำนาจของบันทึกซึ่งครองอำนาจของบันทึก

ที่มา: คณิตศาสตร์คอนกรีตหน้า 441