เหตุใดผู้ดำเนินการดาว Kleene จึงเรียกผู้ดำเนินการ Kleene 'ปิด'?

ฉันพบว่าหากฉันไม่เข้าใจนิรุกติศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลังคำศัพท์ cs / programming มันมักจะหมายความว่าฉันพลาดหรือเข้าใจผิดแนวคิดพื้นฐานที่สำคัญบางอย่าง

ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมดาว Kleene จึงถูกเรียกว่าการปิด Kleene มันเกี่ยวข้องกับการปิดในการเขียนโปรแกรมฟังก์ชั่นที่มีตัวแปรที่ไม่ใช่ท้องถิ่นที่ถูกผูกไว้หรือไม่?

... ในการไตร่ตรองอาจเป็นเพราะมันอนุญาตให้เขียนชุดเปิดปลายในรูปแบบนิพจน์ปิด?

... ในแบบเป็ดยางอธิบายได้ดีตอนนี้ฉันเดาว่ามัน แต่ก็ยังคงยินดีต้อนรับคำตอบที่มีสิทธิ์

ชุดจะปิดภายใต้ตัวดำเนินการบางอย่างถ้าผลลัพธ์ของการใช้ตัวดำเนินการกับสิ่งต่าง ๆ ในชุดนั้นจะอยู่ในชุดเสมอ ตัวอย่างเช่นตัวเลขธรรมชาติถูกปิดใต้นอกจากนี้เพราะเมื่อใดก็ตามที่และเป็นตัวเลขธรรมชาติเป็นจำนวนธรรมชาติ ในทางกลับกันธรรมชาติจะไม่ถูกปิดภายใต้การลบเนื่องจากตัวอย่างเช่นไม่ใช่จำนวนธรรมชาติm n + $n$$m$$n+m$$3-5$

การปิดชุดภายใต้โอเปอเรเตอร์บางตัวเป็นชุดเล็กที่สุดที่มีซึ่งถูกปิดใต้โอเปอเรเตอร์ ตัวอย่างเช่นการปิดจำนวนธรรมชาติภายใต้การลบคือจำนวนเต็ม การปิดหมายเลขธรรมชาติภายใต้การเพิ่มนั้นเป็นเพียงตัวเลขธรรมชาติเนื่องจากชุดนั้นปิดไปแล้ว$S$$S$

ดังนั้น "การปิด Kleene" ไม่ใช่ชื่ออื่นสำหรับ "Kleene Star" ดาว Kleene เป็นตัวดำเนินการ การปิดตัวของชุด Kleene เป็นการปิดตัวชุดภายใต้ผู้ควบคุมเครื่อง

โดยสังเขป

การปิดชื่อKleeneนั้นตั้งใจไว้อย่างชัดเจนว่าหมายถึงการปิดใน การทำงานของสายอักขระ

อย่างไรก็ตามการวิเคราะห์อย่างระมัดระวัง (ขอบคุณความคิดเห็นที่สำคัญโดย OP mallardz) แสดงให้เห็นว่าดาว Kleene ไม่สามารถปิดได้ภายใต้การต่อเรียงซึ่งค่อนข้างสอดคล้องกับตัวดำเนินการ Kleene บวก

ผู้ประกอบการดาว Kleene จริง ๆ แล้วสอดคล้องกับการปิดภายใต้การใช้พลังงานที่ได้จากการต่อข้อมูล

ดาว Kleeneชื่อนั้นมาจากการแสดงทางวากยสัมพันธ์ของดาวฤกษ์*ในขณะที่การปิดเป็นสิ่งที่มันทำ

นี่คือคำอธิบายเพิ่มเติมด้านล่าง
จำได้ว่าการปิดตัวโดยทั่วไปและโดยเฉพาะอย่างยิ่งดาว Kleene คือการดำเนินการในชุดที่นี่ในชุดของสตริงเช่นในภาษา สิ่งนี้จะถูกใช้ในคำอธิบาย

การปิดชุดย่อยภายใต้การดำเนินการที่กำหนดไว้เสมอ

ชุดปิดให้บริการในบางการดำเนินงาน -ary IFFถูกกำหนดเสมอสำหรับการใด ๆ -tuple ของการขัดแย้งในและ \}n f f n C C = { f ( c 1 , … , c n ) ∣ ∀ c 1 , … , c n ∈ C $C$$n$$f$$f$$n$$C$$C=\{f(c_1,\ldots,c_n)\mid \forall c_1,\ldots,c_n \in C\}$

โดยการขยายเป็นชุดของค่าในวิธีปกติเช่น เราสามารถเขียนเงื่อนไขเป็นชุดสมการใหม่ได้:ฉ( S 1 , ... , S n ) = { F ( s 1 , ... , s n ) | ∀ s ฉัน ∈ Sฉัน 1 ≤ i ≤ n } C = f ( C , … , C $f$

สำหรับโดเมน (หรือชุด)มีการดำเนินการที่กำหนดไว้เสมอบนและชุด , การปิดภายใต้เป็นชุดที่เล็กที่สุด ที่มีที่ตรงกับสมการ: \}ฉD S ⊂ D S ฉS ฉ S S ฉ = { F ( s 1 , ... , s n ) | ∀ s 1 , ... , s n ∈ S ฉ$D$$f$$D$$S\subset D$$S$$f$$S_f$$S$$S_f=\{f(s_1,\ldots,s_n)\mid \forall s_1,\ldots,s_n \in S_f\}$

การตั้งค่าภายใต้อาจถูกกำหนดโดย:$S$$f$

นี่เป็นตัวอย่างของคำจำกัดความจุดคงที่น้อยที่สุดซึ่งมักใช้ในความหมายและยังใช้ในภาษาที่เป็นทางการ ไวยากรณ์ที่ไม่มีบริบทสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นระบบของสมการภาษา (เช่นสมการชุดสตริง) ซึ่งตำแหน่งที่ไม่ใช่เทอร์มินัลสำหรับตัวแปรภาษา วิธีแก้ปัญหาจุดตายตัวที่น้อยที่สุดเชื่อมโยงภาษากับแต่ละตัวแปรและภาษาที่สัมพันธ์กับสัญลักษณ์อินเทอร์แอคทีฟนั้นเป็นสิ่งที่กำหนดโดยไวยากรณ์ CF

การขยายแนวคิด

การปิดตามที่กำหนดไว้ด้านบนมีจุดประสงค์เพื่อขยายชุดย่อย ลงในชุดที่น้อยที่สุดเพื่อให้การดำเนินการถูกกำหนดไว้เสมอS ฉ$S$$S_f$$f$

ในฐานะที่เป็นข้อสังเกตโดย mallardz OP นี้ไม่ได้เป็นคำอธิบายที่เพียงพอเพราะมันจะไม่รวมถึงคำที่ว่างเปล่าในเมื่อมันไม่ได้อยู่แล้วในSอันที่จริงการปิดนี้สอดคล้องกับความหมายของ Kleene บวกและไม่ Kleene ดาวS ฉ$\epsilon$$S_f$$S$+*

ที่จริงแล้วความคิดของการปิดสามารถขยายหรือพิจารณาในรูปแบบที่แตกต่างกัน

1. ส่วนขยายไปยังคุณสมบัติเชิงพีชคณิตอื่น ๆ

   เกี่ยวกับวิธีการที่จะขยายมัน (แม้ว่ามันจะไม่ได้เรียกว่าปิด ) พิจารณามากขึ้นโดยทั่วไปส่วนขยายไปยังชุดมีคุณสมบัติเกี่ยวกับพีชคณิตเฉพาะที่เกี่ยวกับการดำเนินงานของฉ$S_f$$f$

   $S_f$$S$$f$$\epsilon$

2. ส่วนขยายผ่านการดำเนินการที่ได้รับ

   $S\subset D$$D$

   $f$$D$$S_{f,1}$$S$

   $$S_{f,1}=\{f(s_1,s_2)\mid \forall s_1\in S_{f,1}\wedge\forall s_2\in D\}$$

   หรือด้วยสมการที่กำหนด:

   $$S_{f,1} \text{ is the smallest set such that } S\subset S_{f,1} \text{ and } S_{f,1}=f(S_{f,1},D)$$

   นอกจากนี้ยังสมเหตุสมผลเมื่ออาร์กิวเมนต์ไม่ได้อยู่ในชุดเดียวกัน จากนั้นคุณอาจมีการปิดด้วยความเคารพกับข้อโต้แย้งบางอย่างในชุดเดียวในขณะที่พิจารณาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับข้อโต้แย้งอื่น ๆ (เป็นไปได้หลายรูปแบบ)

   $(M,f,\epsilon)$ $-$$-$$f$$M$$\epsilon$$u\in M$

   $$\forall u\in M.\; u^0=\epsilon\; \text{ and }\; \forall n\in\mathbb N\; u^n=f(u,u^{n-1})$$

   $u^n$$M$$\mathbb N_0$

   $M$$n$$U^n=\{u^n\mid u\in U\}$$u^n$$f$

   $$\left\{ \begin{array}{l} U^0=\{u^0\mid u\in U\}=\{\epsilon\}\\ \forall n\in\mathbb N,\; U^n=f(U,U^{n-1}) \end{array} \right.$$ $f$$M$

   ตอนนี้เราสามารถกำหนดการปิดของสำหรับอาร์กิวเมนต์แรกของการดำเนินการด้านพลังงานตามที่ระบุไว้ข้างต้นด้วยการตั้งค่าสัญลักษณ์เป็น: U ⊂ M U ∧ , 1  เป็นเซตที่เล็กที่สุดที่  U ⊂ U ∧ , 1  และ  U ∧ , 1 = f ( U ∧ , 1 , N 0$U_{\wedge,1}$$U\subset M$

   $$U_{\wedge,1} \text{ is the smallest set such that } U\subset U_{\wedge,1} \text{ and } U_{\wedge,1}=f(U_{\wedge,1},\mathbb N_0)$$

   และนี่จะให้การดำเนินงานของ Kleene Star แก่เราเมื่อการก่อสร้างถูกนำไปใช้กับการดำเนินการเรียงต่อกันของ Monoid อิสระของสตริง

   พูดตามตรงฉันไม่แน่ใจว่าฉันไม่ได้โกง แต่คำจำกัดความเป็นสิ่งที่คุณทำเท่านั้นและนั่นเป็นวิธีเดียวที่ฉันพบว่าทำให้ดาว Kleene กลายเป็นดาวปิด ฉันอาจจะพยายามหนักเกินไป
   _{ความคิดเห็นยินดีต้อนรับ}

การปิดชุดภายใต้การดำเนินการที่ไม่ได้กำหนดไว้เสมอ

นี่คือมุมมองที่แตกต่างกันเล็กน้อยและใช้แนวคิดของการปิด มุมมองนี้ไม่ได้ตอบคำถามจริงๆ แต่มันก็เป็นเรื่องดีที่จะจำไว้เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนที่อาจเกิดขึ้น

ดังกล่าวข้างต้นแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นถูกกำหนดไว้เสมอในชุดอ้างอิงDนั่นอาจไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป จากนั้นการปิดสามารถใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์เพื่อขยายชุดดังนั้นการดำเนินการบางอย่างจะถูกกำหนด วิธีการทำงานในทางปฏิบัติมีดังนี้:$f$$D$

• เริ่มต้นด้วยชุดที่ไม่ได้กำหนดเสมอ;$D$$f$

• สร้างอีกชุดสร้างจากองค์ประกอบของด้วยการดำเนินการที่กำหนดไว้เสมอเช่นที่คุณสามารถ ... D f $D'$$D$$f'$

• แสดงให้เห็นว่ามีมอร์ฟิซึ่มระหว่างและเซตย่อยของ ที่เป็นเช่นนั้นคือภาพของถูก จำกัด ให้เซตย่อยนั้นD ′ f f $D$$D'$$f$$f'$

$D'$$f'$$D$$f$

นั่นคือวิธีสร้างจำนวนเต็มจากจำนวนธรรมชาติพิจารณาชุดของจำนวนธรรมชาติหารด้วยความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน (สองคู่มีค่าเท่ากันถ้าทั้งสององค์ประกอบอยู่ในลำดับเดียวกันและมีความแตกต่างกัน)

นี่ก็เป็นวิธีที่สามารถสร้างปันส่วนจากจำนวนเต็ม

และนี่คือวิธีการสร้าง reals แบบคลาสสิกจาก rationals แม้ว่าการก่อสร้างจะซับซ้อนกว่า

$\ast\colon X \to X$$X$

1. $x \leq x^\ast$
2. $x \leq y \longrightarrow x^\ast \leq y^\ast$
3. $(x^\ast)^\ast = x^\ast$

$\bot^* = \bot$$(x \lor y)^* = x^* \lor y^*$

$X=2^{\Sigma^*}$$x,y \subseteq \Sigma^*$$x \leq y$$x \subseteq y$

1. $L \subseteq L^\ast$
2. $L_1 \subseteq L_2 \longrightarrow L_1^* \subseteq L_2^*$
3. $(L^*)^* = L^*$

ตัวดำเนินการ Kleene บวกยังตอบสนองความจริงเหล่านี้ดังนั้นจึงเป็นตัวดำเนินการปิดภายใต้คำจำกัดความนี้