จะตัดสินใจได้อย่างไรว่า

เราได้รับแบบฝึกหัดต่อไปนี้

ปล่อย

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

พิสูจน์ว่าคำนวณได้$f$

เป็นไปได้อย่างไร? เท่าที่ผมรู้ว่าเราไม่ทราบว่าสภาพอากาศมีลำดับของตัวเลขทุก (หรือ) และขั้นตอนวิธีการได้อย่างแน่นอนไม่ได้ตัดสินใจว่าลำดับบางอย่างจะไม่เกิดขึ้น ดังนั้นฉันคิดว่าfไม่สามารถคำนวณได้เพราะปัญหาพื้นฐานเป็นแบบกึ่งตัดสินใจได้เท่านั้น$\pi$$f$

มีเพียงสองความเป็นไปได้ที่จะต้องพิจารณา

• $n$$0^n$$\pi$

• $N$$0^N$$\pi$$N$

  Zeros-in-pi(n):
   if (n > N) then return 0 else return 1
  

$N$$n$$\pi$

สังเกตความแตกต่างที่ลึกซึ้งด้วยภาพร่างหลักฐานต่อไปนี้ที่เสนอโดยgallais :

1. ใช้เครื่องทัวริงสุ่มและอินพุตแบบสุ่ม
2. การคำนวณจะดำเนินต่อไปเรื่อย ๆ หรือจะหยุดในบางจุดและมีฟังก์ชันที่คำนวณได้ (ค่าคงที่) ซึ่งอธิบายพฤติกรรมแต่ละอย่างเหล่านี้
3. ???
4. กำไร!

Alex ten Brinkอธิบาย:

ระวังสิ่งที่ทฤษฎีบท Halting กล่าว: มันบอกว่าไม่มีโปรแกรมเดียวที่สามารถตัดสินใจได้ว่าโปรแกรมใดโปรแกรมหนึ่งหยุดทำงานหรือไม่ คุณสามารถสร้างโปรแกรมสองโปรแกรมได้โดยง่ายว่าโปรแกรมใดโปรแกรมหนึ่งหยุดทำงานหรือไม่โปรแกรมแรกมักจะบอกว่า 'หยุดเลย' ส่วนที่สอง 'ไม่หยุด' - โปรแกรมหนึ่งถูกต้องเสมอ ของพวกเขาคือ!

sepp2kเพิ่ม:

ในกรณีตัวอย่างของอเล็กซ์อัลกอริทึมจะไม่ส่งคืนผลลัพธ์ที่ถูกต้องสำหรับอินพุตทั้งหมด ในกรณีของคำถามนี้หนึ่งในนั้นจะ คุณสามารถอ้างได้ว่าปัญหานั้นสามารถตัดสินใจได้เพราะคุณรู้ว่ามีอัลกอริทึมที่ให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องสำหรับอินพุตทั้งหมด ไม่สำคัญว่าคุณจะรู้ว่าอัลกอริทึมนั้นคืออะไร 10

เพียงโพสต์รายละเอียดเล็กน้อยในคำตอบของ JeffE

เรารู้ว่ามีสองฟังก์ชัน / กรณีที่มีอยู่ซึ่งสามารถคำนวณฟังก์ชัน f (n):

1. ฟังก์ชั่นที่ส่งกลับค่าจริงเสมอ (สำหรับ n ทั้งหมดมีจำนวน n เป็น 0 ต่อเนื่องกัน)
2. ฟังก์ชันที่จะคืนค่าจริงหาก n น้อยกว่าจำนวนเต็ม N ซึ่ง N ถูกกำหนดเป็นความยาวสูงสุดของ 0 ต่อเนื่องที่มีอยู่ในจำนวนอตรรกยะที่กำหนด

ฟังก์ชันเหล่านี้หนึ่งเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้ เราไม่รู้ว่าสิ่งใด แต่เรารู้แน่ชัดว่ามีคำตอบอยู่ การคำนวณต้องการฟังก์ชันที่มีอยู่ซึ่งสามารถกำหนดคำตอบภายในจำนวนขั้นตอนที่ จำกัด

จำนวนขั้นตอนในกรณีที่ 1 ถูกผูกไว้กับการคืนค่าเพียงเล็กน้อย 1

$N$$T_N(n)$$n < N$$N$$N$$T_N(n)$$n < N$

แม้ว่าจะไม่สามารถเลือกได้ระหว่างสองกรณี (แม้ว่าจะดูเหมือนว่ามีแนวโน้มมากกว่าอีกกรณีหนึ่ง) แต่เรารู้ว่าหนึ่งในนั้นต้องถูกต้อง

ในฐานะที่เป็นหมายเหตุด้าน: โซลูชันของเราสมมติว่าในขณะที่เราไม่สามารถระบุได้ว่าฟังก์ชั่นใดจะทำให้เกิดค่าที่ถูกต้องสาระสำคัญของการคำนวณไม่ได้ขึ้นอยู่กับความสามารถในการสร้างของการพิสูจน์ มีอยู่จริงก็เพียงพอแล้ว

ขั้นตอนที่ 5 ของความพยายามหลักฐานดังต่อไปนี้ไม่ยุติธรรมและในความเป็นจริงที่ไม่ถูกต้อง - เป็น counterexample สามารถพบได้ที่นี่ (ขอบคุณ Yuval มันให้ความรู้สึกเหมือนเป็นส่วนที่เป็นภาพร่างที่สุดของภาพร่าง) ฉันทิ้งคำตอบไว้ที่นี่เพราะฉันคิดว่าข้อผิดพลาดนั้นเป็นประโยชน์

ก่อนปิด: คำตอบของ JeffE ก็เพียงพอแล้ว fคำนวณได้ทั้งสองทาง

$\pi$
$\pi$
$\pi$

$\pi$
$\pi$