ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ combinatorial นี้คล้ายกับปัญหาที่ทราบหรือไม่?

ปัญหาดังต่อไปนี้:

เรามีอาร์เรย์ / ตารางจำนวนสองมิติแต่ละอันแสดงถึง "ผลประโยชน์" หรือ "ผลกำไร" นอกจากนี้เรายังมีสองจำนวนเต็มคงและ (สำหรับ "กว้าง" และ "ความสูง".) และเป็นจำนวนเต็มคงnH $w$$h$$n$

ตอนนี้เราต้องการที่จะซ้อนทับสี่เหลี่ยมขนาดในตารางดังกล่าวว่าผลรวมของค่าของเซลล์ในรูปสี่เหลี่ยมเหล่านี้เป็น maximizedw × $n$$w \times h$

ภาพต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของตารางสองมิติที่มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูปซ้อนทับอยู่บนภาพ (รูปภาพไม่ได้แสดงวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดเพียงหนึ่งภาพซ้อนทับที่เป็นไปได้โดยที่และ )n = $w = h = 2$$n = 2$

รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าไม่สามารถตัดกันได้ (ไม่เช่นนั้นเราแค่ต้องการหาตำแหน่งที่เหมาะสมที่สุดสำหรับหนึ่งรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแล้วใส่รูปสี่เหลี่ยมทั้งหมดในตำแหน่งนั้น)

ในตัวอย่างข้างต้นผลรวมของค่าทั้งหมดในเซลล์จะเป็น$-2 + 4.2 + 2.4 + 3.14 + 2.3 -1.4 + 1 - 3.1$

สิ่งนี้คล้ายกับปัญหาใด ๆ ที่ทราบกันดีในการเพิ่มประสิทธิภาพ combinatorial หรือไม่? เพื่อให้ฉันสามารถเริ่มอ่านและพยายามหาวิธีแก้ไข

พื้นหลังเพิ่มเติมสำหรับผู้ที่สนใจ:

จนถึงตอนนี้ความคิดเดียวที่ฉันมีก็คืออัลกอริธึมโลภ (ซึ่งจะหาตำแหน่งที่ดีที่สุดสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้าแรกจากนั้นหา Loctaion ที่ไม่ทับซ้อนกันสำหรับสี่เหลี่ยมที่สองเป็นต้น) หรืออภิปรัชญาบางอย่างเช่นอัลกอริทึมทางพันธุกรรม

ในความเป็นจริงฉันต้องการที่จะแก้ปัญหานี้ด้วยกริดที่มีเซลล์ประมาณหนึ่งล้านและหนึ่งแสน (หรือแม้กระทั่งหลายแสน) ของสี่เหลี่ยมแม้ว่ามันจะไม่จำเป็นต้องแก้ปัญหาในเวลาอันสั้น (เช่นมันจะเป็นที่ยอมรับสำหรับ อัลกอริทึมใช้เวลาเป็นชั่วโมงหรือหลายวัน) ฉันไม่ได้คาดหวังว่าจะได้คำตอบที่แน่นอน แต่ฉันต้องการได้วิธีที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เนื่องจากข้อ จำกัด เหล่านี้

ไชโย!

การกำหนดครั้งสุดท้ายของฉันมีข้อบกพร่องร้ายแรงที่ต้องการจำนวน จำกัด ของ "ข้อ จำกัด " โหนด

อีกสูตรกราฟิกตามธรรมชาติของปัญหาที่เกิดขึ้นจะสร้างกราฟที่แต่ละจุดสุดยอดหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีw_rคู่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ทับซ้อนกันมีขอบในกราฟนี้ ด้วยการแก้ปัญหาชุดอิสระขนาดน้ำหนักสูงสุดเรามีวิธีแก้ไขปัญหาดั้งเดิมของคุณ มีฮิวริสติกที่ดีและอัลกอริธึมการประมาณจำนวนมากสำหรับสิ่งนี้w r r , r ′ k = $r$$w_r$$r, r'$$k=n$

คุณสามารถกำหนดสิ่งนี้เป็นอินสแตนซ์จำนวนเต็มขนาดใหญ่การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (ILP) จากนั้นใช้ตัวแก้ ILP แบบปิด (lp_solve, CPLEX, ฯลฯ ) พวกเขาจะให้ทางออกที่ดีที่สุดแก่คุณ เมื่อพิจารณาถึงขนาดปัญหาของคุณฉันไม่ทราบว่าจะมีประสิทธิภาพเพียงพอหรือไม่ แต่จะลองได้ง่าย

นี่คือสูตรของ ILP เรามีตัวแปรที่เป็นศูนย์หรือหนึ่งสำหรับสี่เหลี่ยมแต่ละอันที่เป็นไปได้พร้อมการตีความที่ตั้งใจว่าหมายความว่าคุณรวมสี่เหลี่ยมไว้ในชุดของคุณและหมายความว่าคุณไม่ได้รวมมันไว้ คุณต้องการเพิ่มฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ (โดยที่คือผลกำไรของ rectangle ) ภายใต้ข้อ จำกัด ที่และไม่มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูปซ้อนทับกัน ข้อ จำกัด หลังสามารถแสดงเป็นอสมการเชิงเส้นได้โดยกำหนดให้สำหรับทุกคู่ของ rectangles R x R = 1 R x R = 0 Σ R คR x R คR R Σ R x R = n x R + x s ≤ 1 R , $x_r$$r$$x_r=1$$r$$x_r=0$$\sum_r c_r x_r$$c_r$$r$$\sum_r x_r = n$$x_r + x_s \le 1$$r,s$ที่ทับซ้อนกัน ด้วยวิธีนี้คุณจะได้รับ ILP