เป็นไปได้จริงหรือที่จะพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่า?

เมื่อพิจารณาจากปัญหาการคำนวณงานในการค้นหาขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับการคำนวณดังกล่าวเป็นไปได้จริงหรือ ฉันคิดว่ามันจะทำให้ขั้นตอนการคำนวณเป็นขั้นตอนเดียวและแบบจำลองใดที่เราใช้สำหรับการพิสูจน์ แต่จากนั้นเราจะพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าโดยทั่วไปหรือไม่? สิ่งที่ฉันหมายถึงคือเราสามารถพิสูจน์บางสิ่งเช่น "ปัญหาไม่สามารถแก้ไขได้เร็วกว่าเวลา " มากกว่า "ปัญหาสามารถแก้ไขได้ในเวลาหรือเร็วกว่า"?t ( X ) X t ( X $X$$t(X)$$X$$t(X)$

ฉันได้พยายามค้นหาข้อมูลโดยเฉพาะเกี่ยวกับขอบเขตที่ต่ำกว่าและการพิสูจน์ของพวกเขาแล้ว แต่ฉันไม่สามารถหาข้อเสนอแนะใด ๆ ที่น่าสนใจเกี่ยวกับหนังสือ / เอกสาร / เว็บไซต์ในเรื่องนี้

เราสามารถพิสูจน์สิ่งเหล่านี้ได้อย่างแน่นอน

ปัญหาหลายคนมีขอบเขตที่ต่ำกว่าเล็กน้อยเช่นว่าการหาต่ำสุดของชุดของที่ตัวเลข (ที่ไม่ได้เรียง / โครงสร้างในทางใดทางหนึ่ง) ใช้เวลาอย่างน้อยเวลา การพิสูจน์นี้ง่ายมาก: อัลกอริธึมสมมุติที่รันในเวลาไม่สามารถตรวจสอบตัวเลขทั้งหมดในอินพุตได้ ดังนั้นหากเราใช้อัลกอริทึมกับอินพุตเราสามารถสังเกตได้ว่ามันไม่เคยตรวจสอบองค์ประกอบเฉพาะของอินพุต การเปลี่ยนองค์ประกอบนั้นให้น้อยที่สุดเราสามารถทำให้อัลกอริทึมล้มเหลวได้Ω ( n ) o ( n $n$$\Omega(n)$$o(n)$

ขอบเขตล่างที่ไม่สำคัญคือขอบเขตล่างสำหรับการเรียงลำดับในแบบจำลองการเปรียบเทียบ ข้อพิสูจน์สำหรับที่ไปตามบรรทัดต่อไปนี้: เนื่องจากอินพุตของตัวเลขมีเอาต์พุตที่เป็นไปได้ (อินพุตอาจเป็นการเรียงสับเปลี่ยนของรายการที่เรียงลำดับดังนั้นเอาต์พุตสามารถเป็นการเรียงสับเปลี่ยนของอินพุตได้) ถ้าเราถูก จำกัด ให้ทำการเปรียบเทียบเท่านั้นอัลกอริทึมของเรา (โดยเฉลี่ย) ต้องดำเนินการอย่างน้อยการเปรียบเทียบเพื่อให้สามารถให้เอาท์พุทที่แตกต่างกันn n ! log 2 ( n ! ) = Ω ( n log n ) n $\Omega(n \log n)$$n$$n!$$\log_2(n!)=\Omega(n \log n)$$n!$

ขอบเขตที่ต่ำกว่าสามารถแข็งแกร่งยิ่งขึ้น มีหลายปัญหา (โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหา EXPTIME) ซึ่งมีขอบเขตล่างแบบเอ็กซ์เนนเชียล ปัญหาในชั้นเรียนนี้รวมถึงการคำนวณกลยุทธ์ที่ดีที่สุดสำหรับเกมเช่นหมากรุก (ทั่วไป) ตัวตรวจสอบและไป การพิสูจน์เรื่องนี้ผ่านทฤษฎีบทลำดับชั้นเวลาซึ่งระบุ (ขึ้นอยู่กับข้อ จำกัด บางประการเกี่ยวกับ ):$EXPTIME$$f$

ได้รับฟังก์ชั่นมีอยู่ปัญหาการคำนวณที่สามารถแก้ไขได้ในเวลาแต่ไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาn})O ( f ( n ) ) o ( f ( n $f$$O(f(n))$$o(\frac{f(n)}{\log n})$

ดังนั้นโดยทั่วไปถ้าคุณนึกถึงฟังก์ชั่นมีปัญหาที่ต้องใช้เวลามากในการแก้ไข$f$

ในที่สุดถนนอีกแห่งที่ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์เวลาที่ถูก จำกัด แต่สิ่งที่แข็งแกร่งยิ่งกว่านั้นก็คือการแสดงให้เห็นถึงความไม่แน่นอนของปัญหา (เช่นการหยุดชะงักการโพสต์จดหมาย)

ใช่มันเป็นไปได้ ตัวอย่างคลาสสิกเป็นความจริงที่ว่าขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับใด ๆ การเปรียบเทียบตามต้องเปรียบเทียบกับเรียงลำดับรายชื่อของความยาวn$\Omega(n\log n)$$n$

อย่างไรก็ตามขอบเขตที่ต่ำกว่าดูเหมือนจะพิสูจน์ได้ยากกว่าขอบเขตบน เพื่อพิสูจน์ว่ามีอัลกอริทึมการเรียงลำดับที่ต้องการการเปรียบเทียบคุณเพียงแค่ต้องแสดงอัลกอริทึม (ผสานการจัดเรียง - voila !) แต่สำหรับขอบเขตล่างคุณต้องแสดงให้เห็นว่าไม่มีอัลกอริทึมในชั้นเรียนใดสามารถแก้ปัญหาของคุณ ความยากลำบากในการทำที่แสดงโดยข้อเท็จจริงที่ว่าเรารู้ว่า ถึงแม้เรารู้ว่าอย่างน้อยหนึ่งของการรวมเหล่านั้นเป็นที่เข้มงวด (โดยทฤษฎีบทลำดับชั้นพื้นที่) และคนส่วนใหญ่คิดว่าพวกเขามีทุกอย่างเข้มงวดL ⊆ N L ⊆ P ⊆ N P ⊆ P S P A C $O(n\log n)$L ⊂ P S P A C

ในทางตรงกันข้ามไรอันวิลเลียมส์มีกระดาษ (และพูดคุยซึ่งฉันเคยได้ยินสองสามครั้ง) เรียกว่าอัลกอริทึมสำหรับวงจรและวงจรสำหรับอัลกอริทึมซึ่งเขาระบุว่าการหาขอบเขตที่ต่ำกว่าและการค้นหาอัลกอริทึม ที่แตกต่างกัน ยกตัวอย่างเช่นเขาอ้างถึงการพิสูจน์ความลังเลของปัญหาการหยุดชะงักเป็นตัวอย่างของอัลกอริธึม (เครื่องจักรทัวริงสากล) ที่ใช้เพื่อพิสูจน์ขอบเขตล่าง (undecidability)

ในการยกตัวอย่างเล็กน้อยคุณไม่สามารถหาจำนวนที่มากที่สุดจากชุดของตัวเลขโดยไม่ตรวจสอบพวกเขาทั้งหมดซึ่งต้องใช้เวลาเชิงเส้น ไม่มีหลักฐานใหญ่ แต่มีอัลกอริทึมที่ไม่จำเป็นต้องอ่านข้อมูลทั้งหมดเสมอไป ตัวอย่างที่ดีคือการค้นหารูปแบบทั้งหมดในสตริงซึ่งอาจไม่จำเป็นต้องอ่านสตริงทั้งหมด (อัลกอริทึม Boyer-Moore) แต่ฉันไม่ควรทำซ้ำสิ่งที่ตอบไปแล้วอาจดีกว่าฉัน$n$

อย่างไรก็ตามมีคำถามบางข้อที่เรียกร้องให้มีคำพูดเพิ่มเติมเกี่ยวกับขอบเขตล่าง (หรือขอบเขตความซับซ้อนโดยทั่วไป)

ที่จริงแล้วการเลือกสิ่งที่เป็นขั้นตอนการคำนวณเพียงครั้งเดียวนั้นไม่เกี่ยวข้องตราบใดที่ขั้นตอนการคำนวณนั้นสามารถพิจารณาได้ว่ามีขอบเขตคงที่ส่วนบน (และขอบล่าง) ผลลัพธ์ความซับซ้อนจะเหมือนกันเนื่องจากถูกกำหนดให้คงที่ การเปรียบเทียบ 3 ครั้งเป็นการดำเนินงานของหน่วยหรืออย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้นทำให้ไม่แตกต่างกัน

เช่นเดียวกับขนาดของข้อมูลที่ทำหน้าที่เป็นข้อมูลอ้างอิงในการประเมินราคาของการคำนวณ การใช้เลขจำนวนเต็มเดียวหรือสองจำนวนเต็มเป็นหน่วยของขนาดไม่แตกต่างกัน

อย่างไรก็ตามทั้งสองตัวเลือกจะต้องเกี่ยวข้องกัน

คุณอาจพิจารณาว่าตัวเลขเป็นหน่วยของข้อมูลเดียวหากคุณพิจารณาว่าการดำเนินการกับจำนวนเต็มเช่นการเพิ่มหรือการเปรียบเทียบเป็นการดำเนินการของหน่วย คุณอาจพิจารณาว่าเป็นหน่วยของข้อมูลเนื่องจากใช้ตัวเลขเพื่อแสดงตัวเลข แน่นอนว่าการเพิ่มและการเปรียบเทียบไม่ได้เป็นการใช้งานหน่วยอีกต่อไปและค่าใช้จ่ายนั้นขึ้นอยู่กับค่าของตัวถูกดำเนินการบันทึกn O ( บันทึกn $n$$\log n$$O(\log n)$

การดำเนินการนั้นสามารถพิจารณาได้ว่ามีต้นทุนต่อหน่วยเกี่ยวข้องกับข้อมูลที่ถือได้ว่ามีขนาดต่อหน่วยหรือไม่ และนั่นก็ขึ้นอยู่กับว่าคุณเลือกระดับนามธรรมสำหรับรูปแบบการคำนวณของคุณ