การพิสูจน์ถึงความไม่แน่นอนของปัญหาการลังเลด้วยการย้อนกลับผลลัพธ์หรือไม่?

ฉันมีปัญหาในการทำความเข้าใจปัญหาการหยุดของทัวริง

หลักฐานของเขาสันนิษฐานว่ามีเครื่องจักรวิเศษซึ่งสามารถตัดสินได้ว่าคอมพิวเตอร์จะหยุดหรือวนซ้ำตลอดไปสำหรับอินพุตที่กำหนด แล้วเราแนบเครื่องที่ฝืนการส่งออกอีกและเรามีความขัดแย้งและดังนั้นจึงไม่สามารถอยู่ได้$H$$H$

ความกังวลของฉันคือดูเหมือนว่าเรากำลังพูดคำตอบไม่ถูกต้องเพราะเรากลับรายการ หากมีเครื่องที่เรียกว่าซึ่งส่งเอาต์พุตคำตอบที่ถูกต้องสำหรับอินพุตที่แน่นอนและคำตอบที่ไม่ถูกต้องสำหรับผู้อื่น จากนั้นเราแนบเครื่องอื่นที่ย้อนกลับผลลัพธ์ของดังนั้นการรวมกันของทั้งสองเครื่องจึงมีความขัดแย้งกับวิธีการที่กำหนดไว้ เครื่องสองเครื่องนี้สร้างคำตอบที่ไม่ถูกต้องสำหรับอินพุตที่ถูกกำหนดให้กับเอาท์พุทคำตอบที่ถูกต้องและเอาท์พุทคำตอบที่ถูกต้องสำหรับอินพุตที่ถูกกำหนดให้กับคำตอบที่ไม่ถูกต้องของเอาต์พุต สิ่งนี้จะถูกเรียกว่าขัดแย้งหรือไม่และดังนั้นจึงไม่มีเครื่องจักรที่ส่งออกคำตอบที่ถูกต้องในอินพุตและคำตอบที่ไม่ถูกต้องกับผู้อื่นA A A $A$$A$$A$$A$$A$

เวอร์ชั่นสั้น:ผลลัพธ์ของเครื่องไม่ถูกต้องหรือไม่ถูกต้องพวกเขาเป็นเพียงความขัดแย้งซึ่งพิสูจน์ว่าเครื่องเริ่มต้นที่ตัดสินใจว่าเครื่องป้อนหยุดในสตริงที่กำหนดหรือไม่สามารถอยู่ได้

รุ่นยาว : ก่อนอื่นเราจะร่างหลักฐาน (หรืออย่างน้อยหนึ่งรุ่น - มีมากมาย)

1. สมมติว่าเรามีทัวริง Machineที่ตัดสินว่าทัวริง Machineหยุดการทำงานของอินพุตหรือไม่M $\mathrm{HALT}(\langle M\rangle, x)$$M$$x$
2. การใช้เราสร้างเครื่องจักรซึ่งใช้เพื่อตรวจสอบว่าหยุดอยู่กับหรือไม่จากนั้นทำตรงกันข้ามเช่นถ้าหยุดบน ,วนซ้ำหากไม่หยุดอยู่กับ ,หยุดพักF L ฉันP ( ⟨ M ⟩ , x ) H L T M x M x F L ฉันP M x F L ฉัน$\mathrm{HALT}$$\mathrm{FLIP}(\langle M\rangle, x)$$HALT$$M$$x$$M$$x$$\mathrm{FLIP}$$M$$x$$\mathrm{FLIP}$
3. ในที่สุดเราก็สร้าง TM (ฉันไม่มีชื่อที่ดี) ซึ่งใช้คำอธิบายของ TM และรันพร้อมอินพุตแสดงผลอะไรก็ได้เอาท์พุทF L ฉันP ( ⟨ M ⟩ , ⟨ M ⟩ ) F L I $\mathrm{C}(\langle M \rangle)$$\mathrm{FLIP}$$(\langle M \rangle, \langle M \rangle)$$\mathrm{FLIP}$

มันเป็นเรื่องสำคัญที่จะต้องทราบว่าตราบใดที่ deciderมีอยู่แล้วแต่ละขั้นตอนเหล่านี้ก็ง่ายที่จะใช้ เพียงแค่มีการใช้เพื่อตรวจสอบสิ่งที่จะทำและเพียงซ้ำปัจจัยการผลิตเพื่อส่งผ่านไป{}F L ฉันP H L T C F L ฉัน$\mathrm{HALT}$$\mathrm{FLIP}$$\mathrm{HALT}$$\mathrm{C}$$\mathrm{FLIP}$

ขัดแย้งเกิดขึ้นเมื่อเรามองไปที่สิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อเราทำงานrangle) อย่างใดอย่างหนึ่งหยุดเมื่อได้รับตัวเองเป็น input หรือไม่ จะเป็นผู้ตัดสินสิ่งนี้:C H A L $\mathrm{C}(\langle\mathrm{C}\rangle)$$\mathrm{C}$$\mathrm{HALT}$

• ถ้าหยุดการป้อนข้อมูล ,จะพูดว่าแต่แล้วจะวนซ้ำดังนั้นจะวนซ้ำ , ขัดแย้ง{} ⟨ C ⟩ H L T Y E s F L ฉันP C H L $\mathrm{C}$$\langle\mathrm{C}\rangle$$\mathrm{HALT}$$\mathsf{Yes}$$\mathrm{FLIP}$$\mathrm{C}$$\mathrm{HALT}$
• ถ้าลูปที่อินพุต ,จะพูดว่าแต่แล้วก็จะหยุดดังนั้นก็จะ หยุดขัดแย้ง{} ⟨ C ⟩ H L T N o F L ฉันP C H L $\mathrm{C}$$\langle\mathrm{C}\rangle$$\mathrm{HALT}$$\mathsf{No}$$\mathrm{FLIP}$$\mathrm{C}$$\mathrm{HALT}$

เนื่องจากแต่ละขั้นตอนในการก่อสร้างมีความชัดเจนเราจึงสามารถสรุปได้ว่าไม่สามารถอยู่ได้ เราได้สร้างกรณีที่ไม่ว่ามันจะพูดอะไรไม่สามารถตัดสินใจได้ว่าจะเอาท์พุทนั่นคือปัญหาไม่สามารถตัดสินใจได้ เพื่อตอกย้ำจุดนี้ไม่สามารถมีอยู่จริง - นั่นคือไม่มี TM ที่จะตัดสินปัญหาการหยุดชะงัก - เนื่องจากมีอย่างน้อยหนึ่งกรณีที่เราได้สร้างขึ้นอย่างชัดเจนโดยที่ไม่มี คำตอบที่เป็นไปได้ในเชิงตรรกะ โปรดจำไว้ว่า decider ไม่ได้รับอนุญาตให้ส่งคำตอบที่ไม่ถูกต้องและต้องส่งบางสิ่งออกไป แต่ในกรณีที่เราสร้างขึ้นคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งสองข้อนั้นผิดH A L T H A L $\mathrm{HALT}$$\mathrm{HALT}$$\mathrm{HALT}$

คุณกำลังพูดถึงสองความหมายที่ต่างกันของ

ในการเปรียบเทียบของคุณเครื่องAและการปรับเปลี่ยนที่พลิกกลับขัดแย้งกันเพียงในแง่ที่ว่าเอาต์พุตของพวกเขานั้นแตกต่างกันเสมอ (ตัวอย่างเช่นพวกเขาอาจใช้ฟังก์ชั่นการทดสอบสองฟังก์ชั่นกับจำนวนเต็ม“ x ≤ 5?” และ“ x > 5?”) นั่นคือสิ่งหนึ่งที่“ ความขัดแย้ง” อาจมีความหมายในการใช้งานทุกวัน แต่ไม่ใช่สิ่งที่มีความหมาย พิสูจน์

ในการพิสูจน์เชิงตรรกะมันหมายถึงบางสิ่งที่แข็งแกร่งกว่า: สิ่งที่เป็นไปไม่ได้ เช่นฟังก์ชั่นที่ส่งกลับ“ จริง” ในอินพุตทั้งหมดมากกว่า 5 และ“ เท็จ” ในอินพุตทั้งหมดน้อยกว่า 10 - นั่นขัดแย้งในแง่ที่แข็งแกร่งกว่านี้เพราะสำหรับการพูด 7 เอาต์พุตจะต้องเป็นทั้ง "จริง" และ“ เท็จ” แต่สิ่งเหล่านี้ไม่เหมือนกัน การโต้แย้งของทัวริงแสดงให้เห็นว่าโปรแกรมการหยุดชะงักนั้นขัดแย้งกับความหมายที่แข็งแกร่งกว่า: สมมติว่ามันนำไปสู่บางสิ่งที่เป็นไปไม่ได้หรือรู้แล้วว่าเป็นเท็จ

$x$$x$$f(n)$$n$

$f(m)$

$m$$m$

$m$$P_m$$f(m)+1$$P_m$$P_m$$m$$m$$|m|$$|m|$$m$$|m| \approx \log_{10} m$$T$$P_m$$T + \log_{10} m$$m$$m=2T$$T + \log_{10} m \leq m$$f(m)$$P_m$$f(m) \geq f(m) + 1$. เราขัดแย้งกันแล้ว