พิสูจน์การปิดตัวภายใต้การกลับของภาษาที่ยอมรับโดย min-heap ออโตมาตา

นี่คือคำถามที่ติดตามคนนี้

ในคำถามก่อนหน้านี้เกี่ยวกับเครื่องจักรของรัฐที่แปลกใหม่ Alex ten Brink และ Raphael ได้กล่าวถึงความสามารถในการคำนวณของเครื่องสถานะแปลก ๆ : min-heap ออโตมาตา พวกเขาสามารถแสดงให้เห็นว่าชุดของภาษาที่ยอมรับโดยเครื่องดังกล่าว ( $HAL$ ) ไม่ใช่เซตย่อยหรือเซ็ตของชุดของภาษาที่ไม่มีบริบท เมื่อพิจารณาถึงความสำเร็จและความสนใจที่ชัดเจนของคำถามนั้นฉันจะถามคำถามติดตามหลายครั้ง

เป็นที่ทราบกันว่าภาษาปกติถูกปิดภายใต้การดำเนินงานที่หลากหลาย (เราอาจ จำกัด ตัวเองให้ดำเนินการขั้นพื้นฐานเช่นสหภาพการแยกการเติมเต็มความแตกต่างการต่อกันดาว Kleene และการกลับรายการ) ในขณะที่ภาษาปลอดบริบทมีการปิดที่แตกต่างกัน คุณสมบัติ (สิ่งเหล่านี้จะปิดภายใต้สหภาพการต่อกันดาว Kleene และการกลับรายการ)

HAL ปิดตัวลงไหม

พิจารณาภาษา (โดยที่# 0 ( x )หมายถึงจำนวนศูนย์ในx )

$$L_{\times 2} = \big\{ x\bot y\bot z \mid x,y,z\in \{0,1\}, \#_0(x)=\#_0(y) \text{ and } |x|+|y|=z\big \}$$ $\#_0(x)$$x$

มันง่ายในการตัดสินใจโดยใช้เครื่อง HAL - สังเกตว่าเครื่องต้องการติดตามคุณสมบัติสองประการ: จำนวนศูนย์ในx vs yและความยาวของx , y (vs z ) มันสามารถผลัก a เข้าไปใน heap สำหรับทุก ๆ ศูนย์ที่เห็นในx (แล้วต่อมาก็ pop สำหรับ zero ที่เห็นในy ) นอกจากนี้มันจะส่งผลให้บิตใด ๆ ในx , y (และต่อมาปรากฏขึ้นสำหรับบิตใด ๆ ของz ) เนื่องจากทั้งหมดถูกผลักลงกองพวกเขาจะไม่ยุ่งเกี่ยวกับการนับ $L_{\times 2}$$x$$y$$x,y$$z$0$x$0$y$1$x,y$1$z$10$\bot$ ทำหน้าที่เป็นตัวคั่นและสามารถละเว้นได้จริง

ตอนนี้ให้เป็นภาษาย้อนกลับ นั่นคือ L = { z ⊥ y ⊥ x ∣ x , y , z ∈ { 0 , 1 } , # 0 ( x ) = # 0 ( y )  และ  | x | + | y | = Z } เราจะแสดงให้เห็นว่าไม่มีเครื่อง HAL สามารถตัดสินใจL$L = L_{\times 2}^R$

$$L = \big\{z\bot y \bot x \mid x,y,z\in \{0,1\}, \#_0(x)=\#_0(y) \text{ and } |x|+|y|=z\big \}$$ $L$

สัญชาตญาณมีดังต่อไปนี้ ข้างต้นเครื่องต้องติดตามทั้งความยาวของและจำนวนของศูนย์ในX , Y อย่างไรก็ตามในกรณีนี้มันต้องติดตามพวกเขาไปพร้อม ๆ กัน สิ่งนี้ไม่สามารถทำได้ผ่านกอง ในรายละเอียดเพิ่มเติมหลังจากอ่านzฮีปจะมีข้อมูลเกี่ยวกับความยาวของ| x | + | y | . ในขณะที่อ่านYเครื่องยังต้องเก็บไว้ในกองจำนวนของศูนย์ในปี อย่างไรก็ตามข้อมูลนี้ไม่สามารถแทรกแซงข้อมูลที่กองมีอยู่แล้วตามความยาวที่เราคาดหวัง$z$$x,y$$z$$|x|+|y|$$y$$y$$x$เป็น. อย่างสังหรณ์ใจทั้งข้อมูลเกี่ยวกับจำนวนของศูนย์จะเป็น "ด้านล่าง" ข้อมูลเกี่ยวกับความยาวของและจากนั้นเราไม่สามารถเข้าถึงได้ในขณะที่อ่านxหรือเป็น "เหนือ" ข้อมูลที่แสดงผลไม่สามารถเข้าถึงได้หลังหรือ ข้อมูลสองรายการจะ "สับสน" และไม่มีความหมาย$x$$x$

อย่างเป็นทางการมากขึ้นเราจะใช้อาร์กิวเมนต์ "ปั๊ม" บางชนิด นั่นคือเราจะใช้อินพุตที่ยาวมากและแสดงให้เห็นว่า "สถานะ" ของเครื่องจะต้องทำซ้ำตัวเองในระหว่างการประมวลผลอินพุตนั้นซึ่งจะช่วยให้เรา "แทนที่" อินพุตเมื่อเครื่องซ้ำ "สถานะ" ของมัน

$\varepsilon$$^1$$c$$c$

$H$$L$$4n$$|x|=|y|=n$$|z|=2n$$\bot$$z,y$$\#_0(y) = n/2$${n \choose n/2}$$x$$z\bot y \bot x \in L$

$z\bot y$$3nc$$\Gamma$${n \choose n/2}$$x's$$x_1,x_2$

1. $n/2$$x_1$$x_2$
2. $n/2$$x$$x_1$$x_2$$x_1,x_2$$n$$2^{0.8n}$$^2$$x_1,x_2$$(3.5cn)^{|\Gamma|}|Q|$$^3$

$z\bot y \bot x_1^px_2^s$$x_1^p$$x$$n/2$$x_2^s$$x_2$$x_1^px_2^s$$x_1$$x_2$$\#_0(y)$$x_1$$x_2$

$^1$
$^2$ ^{$x_1$$n/2$$n/4$$\log {n \choose k} \approx nH(k/n)$ where $H()$ is the Binary entropy funciton. Since $H(1/4) \approx 0.81$ we have ${n \choose n/4} > 2^{0.8n}$ for large enough $n$.}
$^3$ ^{Assuming alphabet $\Gamma$, there are $|\Gamma|^n$ different strings of length $n$, so if this was a stack we were screwed. However, pushing "01" into a heap is equivalent to pushing "10" - the heap stores only the sorted version of the content. The number of different sorted strings of size $n$ is ${n+1 \choose |\Gamma|-1}\approx n^{|\Gamma|}$, for a constant $|\Gamma|$.}