วิธีการหาซูเปอร์สตาในเวลาเชิงเส้น?

พิจารณากราฟกำกับ เราเรียกโหนดซุปเปอร์สตาร์และถ้าหากไม่มีโหนดอื่น ๆ ที่สามารถเข้าถึงได้จากมัน แต่โหนดอื่น ๆ ทั้งหมดที่มีขอบสระโวลต์ อย่างเป็นทางการ:$v$ $v$

$\qquad \displaystyle$v $\text{ superstar } :\Longleftrightarrow \mathrm{outdeg}(v) = 0 \land \mathrm{indeg}(v) = n-1$

ด้วยจำนวนโหนดในกราฟ ตัวอย่างเช่นในกราฟด้านล่างโหนดที่ไม่สำเร็จเป็นซูเปอร์สตาร์ (และโหนดอื่นไม่ได้)$n$

^{[ แหล่งที่มา ]}

คุณจะระบุซุปเปอร์สตาร์ทั้งหมดในกราฟที่กำกับในเวลาอย่างไร? เป็นตัวแทนของกราฟที่เหมาะสมสามารถเลือกจากผู้สมัครตามปกติ ; โปรดงดเว้นจากการใช้การเป็นตัวแทนซึ่งย้ายความซับซ้อนของปัญหาไปสู่การประมวลผลล่วงหน้า$\mathcal{O}(n)$

ไม่มีสมมติฐานเกี่ยวกับความหนาแน่น เราไม่คิดว่ากราฟมีซูเปอร์สตาร์ หากไม่มีเลยอัลกอริทึมควรจดจำมัน

โน้ต : เป็นจำนวนโหนดขอบขาออกฉันn d อีกรัมคล้ายกันสำหรับขอบขาเข้า$\mathrm{outdeg}$$\mathrm{indeg}$

$n-1$$x$$y$$x$$y$$y$$x$

vertex superstar(graph g)
    current vertex = first
    # Go through each vertex
    for each subsequent vertex in g ("next")
        # If there's an edge from this to the next, we eliminate this one [move to the new one].
        # If not, we just stay here.
        if edge exists from current to next
            candidate = next
        end if
    end for
    # Now we are on the final remaining candidate, check whether it satisfies the requirements.
    # just a rename for clarity
    candidate = current
    for each other vertex in g
        if edge from current to other exists
            return null 
        else if no edge from other to current
            return null
        end if
    end for
    return candidate
end superstar

ลองทำตัวอย่างเพื่ออธิบายวิธีการ ใช้อาร์เรย์นี้พร้อมกับจุดสุดยอดของแหล่งที่มาด้านบนและปลายทางด้านข้าง 1 หมายถึงขอบ:

$$\begin{array}{r|c c c c|r} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & - & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & - & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & - & 1 \\ 4 & 1 & 1 & 0 & - \\ \end{array}$$

ฉันจะทำให้จุดสีเทาที่เราตัดออกไปเป็นซุปเปอร์สตาร์ที่มีศักยภาพ ฉันจะใช้สีเขียวและสีแดงเพื่อบ่งบอกถึงขอบที่เรากำลังมองหาเมื่อพวกเขาทำและไม่ได้มีขอบที่เรากำลังมองหาและสีฟ้าเพื่อระบุตำแหน่งที่เราได้ดูแล้ว

เราเริ่มต้นด้วยการดูจุดยอด 1 และ 2

$$\begin{array}{r|c c c c} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & - & \color{green}{1} & 0 & 1 \\ 2 & 1 & - & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & - & 1 \\ 4 & 1 & 1 & 0 & - \\ \end{array}$$

$$\begin{array}{r|c c c c} & 1 & \color{grey}{2} & 3 & 4 \\ \hline 1 & - & \color{blue}{1} & \color{red}{0} & 1 \\ \color{grey}{2} & 1 & - & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & - & 1 \\ 4 & 1 & 1 & 0 & - \\ \end{array}$$

เราเห็นว่าไม่มีขอบดังนั้นเราจึงกำจัด 1 และใช้ 3 เป็นจุดยอดปัจจุบันของเรา จำได้ว่าเราได้กำจัด 2 ไปแล้วดังนั้นดูว่ามีขอบจาก 4 เป็น 3:

$$\begin{array}{r|c c c c} & \color{grey}{1} & \color{grey}{2} & 3 & 4 \\ \hline \color{grey}{1} & - & \color{blue}{1} & \color{blue}{0} & 1 \\ \color{grey}{2} & 1 & - & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & - & \color{green}{1} \\ 4 & 1 & 1 & 0 & - \\ \end{array}$$

มีขอบตั้งแต่ 4 ถึง 3 ดังนั้นเราจึงกำจัด 4 ณ จุดนี้เราได้กำจัดทั้งหมดยกเว้นหนึ่งในจุดยอด (3) ดังนั้นตรวจสอบขอบและดูว่ามันมีคุณสมบัติ:

$$\begin{array}{r|c c c c} & \color{grey}{1} & \color{grey}{2} & 3 & \color{grey}{4} \\ \hline \color{grey}{1} & - & \color{blue}{1} & \color{red}{0} & 1 \\ \color{grey}{2} & 1 & - & 0 & 1 \\ 3 & \color{green}{1} & 1 & - & \color{blue}{1} \\ \color{grey}{4} & 1 & 1 & 0 & - \\ \end{array}$$

มีขอบตั้งแต่ 1 ถึง 3 แต่ไม่ใช่กลับกันดังนั้น 3 จึงยังเป็นตัวเลือก

$$\begin{array}{r|c c c c} & \color{grey}{1} & \color{grey}{2} & 3 & \color{grey}{4} \\ \hline \color{grey}{1} & - & \color{blue}{1} & \color{blue}{0} & 1 \\ \color{grey}{2} & 1 & - & \color{red}{0} & 1 \\ 3 & \color{blue}{1} & \color{green}{1} & - & \color{blue}{1} \\ \color{grey}{4} & 1 & 1 & 0 & - \\ \end{array}$$

นอกจากนี้ยังมีขอบตั้งแต่ 2 ถึง 3 แต่ไม่ใช่กลับกันดังนั้น 3 จึงยังคงเป็นตัวเลือก

$$\begin{array}{r|c c c c} & \color{grey}{1} & \color{grey}{2} & 3 & \color{grey}{4} \\ \hline \color{grey}{1} & - & \color{blue}{1} & \color{blue}{0} & 1 \\ \color{grey}{2} & 1 & - & \color{blue}{0} & 1 \\ 3 & \color{blue}{1} & \color{blue}{1} & - & \color{green}{1} \\ \color{grey}{4} & 1 & 1 & \color{red}{0} & - \\ \end{array}$$

มีขอบตั้งแต่ 4 ถึง 3 แต่ไม่ใช่ 3 ถึง 4; ที่ทำให้การตรวจสอบขอบ 3 ของเราเสร็จสมบูรณ์และเราพบว่าแท้จริงแล้วมันคือซุปเปอร์สตาร์

$n-1$$n$$n$$n-1$$2\times(n-1)$$3n-3$$O(n)$$\Theta(n)$

นี่ไม่ใช่ปัญหาชื่อเสียงหรือไม่

จะมีซูเปอร์สตาร์เพียงคนเดียว (คนดัง) ถ้ามี

$A[i,j] = 1$$i$$j$$0$

$A[i,j]$$\mathcal{O}(1)$$A[i,j] = 1$$i$$A[i,j] = 0$$j$

รักษารายชื่อผู้สมัครปัจจุบันโดยกำจัดทีละคน รายการที่เชื่อมโยงควรเพียงพอ

ในตอนท้ายคุณสามารถตรวจสอบว่าผู้สมัครของคุณเป็นซุปเปอร์สตาร์จริงๆ

$\mathcal{O}(n)$

คำตอบนี้ตอบคำถามของรุ่นที่สามารถแสดงกราฟได้ แต่ไม่ใช่เวอร์ชันปัจจุบันของคำถาม

• จัดเก็บกราฟของคุณเป็นคู่ของรายการคำสรรพนามและรายการคำสรรพนามย้อนกลับซึ่งแต่ละรายการจะมีความยาวของรายการเพิ่มขึ้นด้วยดังนั้นจึงมีหมายเลขที่อยู่นอกและอยู่ในขอบตามลำดับ

• $\mathcal{O}(|E|)$

• $0$$n-1$$\mathcal{O}(|N|)$

สำหรับการอ้างอิงนี่เป็นรหัสเทียมของรุ่นเรียกซ้ำของสิ่งที่ Kevin โพสต์

superstar(V, E) {
  if ( |V| == 1 ) {
    return V.pop
  }

  a = V.pop
  b = V.pop
  if ( (a,b) ∈ E ) {
    no_ss = a
    keep  = b
  }
  else {
    no_ss = b
    keep = a
  }

  s = superstar(V ++ keep)

  return ( s != null && (no_ss, s) ∈ E && !(s, no_ss) ∈ E ) ? s : null
}

hasSuperstar(V, E) = superstar(V, E) != null