การเรียงลำดับจำนวนเต็มเป็นไปได้ใน O (n) ในโมเดล transdichotomous หรือไม่?

สำหรับความรู้ของฉันไม่มีอัลกอริทึมกรณีที่เลวร้ายที่สุดที่แก้ปัญหาต่อไปนี้: $O(n)$

กำหนดลำดับความยาว $n$ ซึ่งประกอบด้วยจำนวนเต็ม จำกัด หาการเปลี่ยนแปลงที่ทุกองค์ประกอบน้อยกว่าหรือเท่ากับตัวตายตัวแทนของมัน

แต่มีข้อพิสูจน์ว่ามันไม่มีอยู่ในแบบจำลองการคำนวณแบบ transdichotomous ?

โปรดทราบว่าฉันไม่ได้ จำกัด ช่วงของจำนวนเต็ม ฉันไม่ได้ จำกัด การแก้ปัญหาเพื่อเปรียบเทียบทั้งสองประเภท

— orlp
แหล่งที่มา

เท่าที่ฉันรู้อาจมีอัลกอริทึมเวลา

O (n)

$O(n)$ สำหรับ SAT! ดังนั้นคำตอบคือไม่

— Lembik

AFAIK นี่ยังคงเป็นปัญหาเปิดอยู่

— Juho

ฉันไม่รู้ว่าจะมีคำตอบที่มีความหมายหรือไม่จนกว่าคุณจะระบุรูปแบบการคำนวณที่คุณใช้อยู่เพราะคุณไม่ได้ จำกัด คอมพิวเตอร์ของคุณในการเปรียบเทียบและการแลกเปลี่ยน มีเพียง RAM และการเปรียบเทียบสองหมายเลขอาร์กิวเมนต์จากเอนโทรปีให้เวลาถึงแม้สำหรับคอมพิวเตอร์ transdichotomous นิดถ้าแทนการแลกเปลี่ยนและการเปรียบเทียบการเรียงลำดับเป็นงานระดับประถมศึกษาก็สามารถทำได้ใน(1) ถ้าใส่จำนวนเต็มในสถานที่ที่เหมาะสมคือการดำเนินการประถม(N) คุณมีรูปแบบการเปรียบเทียบที่สลับการเปรียบเทียบที่เฉพาะเจาะจงหรือไม่?

Ω (n \cdot l o g (n))

$\Omega(n\cdot log(n))$

Θ (1)

$\Theta(1)$

Θ (n)

$\Theta(n)$

— Lieuwe Vinkhuijzen

@LieuweVinkhuijzen คำถามของฉันระบุโมเดลการคำนวณ transdichotomous ในภาษาอังกฤษแบบธรรมดา: รูปแบบการคำนวณที่ขนาดคำของเครื่องมีขนาดใหญ่พอที่จะถือจำนวนเต็มของปัญหา ดังนั้นการเปรียบเทียบจำนวนเต็มสองตัวใด ๆ ก็คือ O (1) แต่เป็นการบวกการคูณและอื่น ๆ ในรูปแบบของการคำนวณนี้สึกกร่อนผูกพันได้รับการตีดูฮั่น Yijie (2004), "ตายตัวเรียงลำดับใน O (n log บันทึก n) เวลาและพื้นที่เชิงเส้น"

— orlp

@ หรือฉันเห็น; หากคุณใช้ประโยชน์จากโครงสร้างของจำนวนเต็มคุณสามารถเอาชนะขอบเขตของเอนโทรปิกได้ ฉันไม่รู้เกี่ยวกับการเรียงลำดับจำนวนเต็ม; ฉันจะแน่ใจว่าได้อ่านในหัวข้อนั้น!

— Lieuwe Vinkhuijzen

คำตอบ:

จำนวนเต็มสามารถเรียงลำดับเสถียรในเวลาพร้อมพื้นที่เพิ่มเติม $O(n)$ $O(1)$ แม่นยำยิ่งขึ้นหากคุณมีจำนวนเต็มจำนวนในช่วงสามารถเรียงลำดับได้ในเวลา O (n) $n$ $[1, n^c]$

นี่แสดงให้เห็นเพียงไม่กี่ปีที่ผ่านมาโดยทีมงานรวมถึง Mihai Pătrașcu (ซึ่งน่าแปลกใจที่ไม่มีใครคุ้นเคยกับงานของเขา) มันเป็นผลลัพธ์ที่น่าทึ่งซึ่งทำให้ฉันประหลาดใจที่คนอื่นไม่รู้เพราะนั่นหมายความว่าปัญหาการเรียงลำดับจำนวนเต็ม (ตามหลักวิชา) ได้รับการแก้ไข

มีอัลกอริทึมที่ใช้งานได้จริง (ตามที่ระบุไว้ในกระดาษด้านบน) หากคุณได้รับอนุญาตให้แก้ไขคีย์ โดยทั่วไปคุณสามารถบีบอัดจำนวนเต็มเรียงมากกว่าที่คุณสามารถบีบอัดจำนวนเต็มไม่เรียงลำดับและพื้นที่พิเศษที่คุณได้รับจะเท่ากับหน่วยความจำพิเศษที่จำเป็นในการจัดเรียงฐานราก พวกเขายังให้อัลกอริทึมที่ไม่สามารถใช้งานได้ซึ่งรองรับคีย์แบบอ่านอย่างเดียว

— นามแฝง
แหล่งที่มา

จากสิ่งที่ฉันสามารถเข้าใจจากนามธรรมนี้ไม่ได้ทั่วไป - มันสามารถเรียงลำดับคำพูดถึงในขนาด(n) คำถามของฉันพูดถึงจำนวนเต็มที่ไม่ได้ จำกัด อย่างชัดเจน

\log n

$\log n$

O (n)

$O(n)$

— orlp

@orlp อัลกอริทึมที่สามในกระดาษพูดถึงจำนวนเต็มความยาว

— นามแฝง

บางทีฉันกำลังอ่านผิด แต่ฉันสามารถเห็นคำอธิบายของวิธีการลดการใช้หน่วยความจำของอัลกอริธึมการเรียงลำดับจำนวนเต็มแบบไม่ จำกัด ข้อความจากนามธรรม (เหมืองเน้น): "อีกคำถามที่น่าสนใจคือกรณีของพลที่นี่เรานำเสนอการเปลี่ยนแปลงกล่องดำจาก RAM ใดเรียงลำดับขั้นตอนวิธีขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับซึ่งใช้เพียง O (1) พื้นที่พิเศษและมี. เดียวกัน เวลาทำงาน " $c$

— orlp

ยกโทษให้ฉัน แต่ในสถานะปัจจุบันคำตอบนี้ไม่ตอบคำถามเลย ฉันอย่างชัดเจนบอกว่าเลขจะไม่กระโดด คำตอบนี้แก้ปัญหาที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง

— orlp

จุดสุดท้ายคือตอนนี้ไม่ได้อยู่ในตัวอักษรขนาดเล็ก :)

— orlp

-1

สำหรับจำนวนเต็มคุณสามารถใช้การจัดเรียง Radix มันสร้างที่เก็บข้อมูลแล้วเรียงลำดับรายการตัวเลขในโดยที่คือขอบเขตบนของขนาดเป็นบิตของจำนวนเต็มใด ๆ และจำนวนองค์ประกอบที่จะเรียงลำดับ $O(bn)$ $b$ $n$

หากไม่มีขอบเขตบนขนาดของจำนวนเต็มของคุณแล้วฉันไม่เชื่อว่ามีอัลกอริทึมการเรียงลำดับเวลาเชิงเส้นใด ๆ ที่รู้จัก

— RFC 2549
แหล่งที่มา

ยินดีต้อนรับ! สิ่งที่คุณพูดนั้นเป็นความจริงอย่างสมบูรณ์ แต่ฉันไม่คิดว่ามันจะตอบคำถาม คำถามถามเพื่อเป็นการพิสูจน์ว่าอัลกอริทึมที่ต้องการไม่มีอยู่ในรูปแบบเฉพาะของการคำนวณ เพียงแค่บอกว่าไม่มีวิธีการดังกล่าวเป็นที่รู้จักไม่ได้พิสูจน์ว่าไม่มีอยู่จริง

— David Richerby

ที่จริงแล้วขคงที่ในปัญหาของเราฉันคิดว่าอัลกอริทึมนี้อยู่ใน o (n)

— RFC 2549

คำถามบอกว่าไม่มีอะไรเกี่ยวกับเป็นค่าคงที่ แค่บอกว่าเรามีจำนวนตัวเลขเหล่านั้นอาจมีขนาดใหญ่โดยพลการ (นอกจากนี้ก็อาจจะเพียงแค่พิมพ์ผิดในความคิดเห็นของคุณ แต่ทราบว่าและเป็นสองสิ่งที่แตกต่างกันมาก.)

b

$b$

n

$n$

O (n)

$O(n)$

o (n)

$o(n)$

— เดวิด Richerby

ใช่แน่นอนพิมพ์ผิด) ในคำถามของเขาในขณะที่คุณคิดว่าจำนวนที่เหมาะสมในคำยาว b มันจะกลายเป็นค่าคงที่

— RFC 2549

นั่นไม่ทำให้ความยาวของคำคงที่ (มิฉะนั้นจะมีเหตุผลที่จะชัดเจนสมมติ "ว่าการดำเนินการในคำเดียวใช้เวลาในการดำเนินงานอย่างต่อเนื่องต่อ" no.