XOR-SAT ทั่วไปสามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่

12

ฉันเห็นว่า XOR-3-SAT สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพ (ตัวอย่างเช่นดูส่วน"ความพึงพอใจ XOR"ในรายการ Wikipedia สำหรับปัญหาความพึงพอใจ Boolean )

ฉันสงสัยคำถามพื้นฐาน: XOR-k-SAT แก้ปัญหาได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่สำหรับสูตรที่มีตัวอักษรจำนวนแตกต่างกันไปในแต่ละข้อ?

ฉันอยากรู้ว่าถ้าเราสามารถเพิ่มจำนวนตัวอักษรต่อข้อเกิน 3 และถ้าเราสามารถมีความยาวมาตราผสม

complexity-theory satisfiability

— Matt Groff
แหล่งที่มา

2

คุณทำวิจัยอะไร เราคาดหวังให้คุณพยายามอย่างจริงจังด้วยตัวคุณเองก่อนที่จะถามและแสดงให้เราเห็นในคำถามว่าคุณทำวิจัยอะไรและลองทำอะไร Wikipedia กล่าวว่าอัลกอริทึมสำหรับการแก้ไข XOR-3-SAT เป็นการกำจัดแบบเกาส์เซียน คุณพยายามทำความเข้าใจเกี่ยวกับวิธีการทำงานและดูว่ามันใช้กับ XOR-k-SAT หรือไม่?

— DW

@DW ฉันยอมรับว่าฉันไม่ได้ทำการวิจัยมากมายเกี่ยวกับเรื่องนี้ ฉันเห็นการกล่าวถึงการกำจัดแบบเกาส์เซียนและคิดว่าสิ่งนี้จะใช้ได้กับ XOR-SAT ทั่วไป แต่ฉันเดาว่าฉันต้องการการยืนยัน ฉันหวังว่าคุณจะให้อภัยความขี้เกียจของฉัน ฉันจะพยายามค้นคว้าเพิ่มเติมในอนาคตก่อนถามคำถามเช่นนี้

— Matt Groff

11

ดูเหมือนว่าบทความ Wikipedia ที่คุณเชื่อมโยงจะบอกว่า XORSAT (ไม่ใช่แค่ 3-XORSAT) อยู่ใน P วิธีการที่พวกเขากำลังแก้ไขว่าสูตร 3-XORSAT ในตัวอย่างของพวกเขาสามารถสรุปสูตรของสูตรที่กฎเกณฑ์ได้โดยพลการ ตัวแปรจำนวนมากและจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน

คุณเพียงแค่ดูสูตรว่าเป็นระบบของสมการเชิงเส้นที่คุณมีสมการสำหรับแต่ละประโยคและตัวแปรสำหรับแต่ละตัวแปร ตัวอย่างเช่นสูตร:

(x_{1} \oplus x_{2} \oplus \neg x_{3} \oplus x_{5}) \land (x_{2} \oplus x_{3})

$(x_1\oplus x_2\oplus\lnot x_3\oplus x_5)\land (x_2\oplus x_3)$

มีการมอบหมายที่น่าพอใจหากระบบสมการต่อไปนี้มีทางออก:

x_{1} + x_{2} + (1 + x_{3}) + x_{5} \equiv 1 \mod 2

$x_1+x_2+(1+x_3)+x_5\equiv 1 \mod 2$

x_{2} + x_{3} \equiv 1 \mod 2

$x_2+x_3\equiv 1 \mod 2$

และเราสามารถหาคำตอบสำหรับระบบเชิงเส้นของสมการเช่นนี้ในเวลาพหุนามโดยใช้การกำจัดแบบเกาส์!

— ดีแลนแม็คเคย์
แหล่งที่มา

6

ใช่. มันสามารถแก้ไขได้โดยการกำจัดแบบเกาส์เซียน การกำจัดแบบเกาส์สามารถแก้ระบบสมการใด ๆ ที่เป็นแบบโมดูโลเชิงเส้น แฮคเกอร์ทำหน้าที่เป็นแบบโมดูโล 2 นอกจากนี้แต่ละส่วนของ XOR-SAT ทำหน้าที่เป็นโมดูโลสมการเชิงเส้น 2 ดังนั้นการกำจัดแบบเกาส์สามารถแก้ไขสูตร XOR-k-SAT ใด ๆ หรือสูตร XOR-SAT ใด ๆ แม้ว่าจะมีจำนวนตัวอักษรที่แตกต่างกัน ต่อข้อหรือความยาวมาตราผสมในเวลาพหุนาม

— DW
แหล่งที่มา