มีมุมมองที่ซับซ้อนของทฤษฎีบทของ Galois หรือไม่?

ทฤษฎีบทของ Galois บอกอย่างมีประสิทธิภาพว่าเราไม่สามารถแสดงรากของพหุนามระดับ = 5 โดยใช้ฟังก์ชันเหตุผลของสัมประสิทธิ์และอนุมูล - นี่ไม่สามารถอ่านได้ว่าเป็นเพราะพหุนามไม่มีอัลกอริธึมกำหนดที่จะค้นหารากหรือไม่
ตอนนี้พิจารณาคำถามการตัดสินใจของรูปแบบ "ให้จริงฝังรากพหุนามและหมายเลข k เป็นครั้งที่สามและรากสูงสุดที่สี่ของอย่างน้อยในช่องว่างของ k หรือไม่?" $p$ $p$

ใบรับรองการพิสูจน์สำหรับคำถามการตัดสินใจนี้จะเป็นชุดของรากของพหุนามนี้และนั่นคือใบรับรองสั้น ๆ และด้วยเหตุนี้ดูเหมือนว่า BUT ไม่ใช่ทฤษฎีบทของ Galois ที่บอกว่าไม่มีอัลกอริธึมที่กำหนดขึ้นเพื่อค้นหาใบรับรองสำหรับการตัดสินใจนี้ คำถาม? (และคุณสมบัตินี้ถ้าเป็นจริงออกกฎอัลกอริทึมใด ๆ ในการตัดสินใจตอบคำถามนี้) $NP$

คำถามการตัดสินใจนี้มีความซับซ้อนในระดับใด?

คำถามที่ทำให้ NP สมบูรณ์ทั้งหมดที่ฉันเคยเห็นมีอัลกอริธึมเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลเล็กน้อยสำหรับแก้ปัญหา ฉันไม่ทราบว่าสิ่งนี้คาดว่าจะเป็นคุณสมบัติที่ควรเป็นจริงสำหรับคำถามที่ตอบปัญหาทั้งหมด สำหรับคำถามการตัดสินใจครั้งนี้ดูเหมือนจะไม่เป็นจริง

complexity-theory np-complete np polynomials

— user6818
แหล่งที่มา

รากเป็นใบรับรอง แต่ไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่าพวกเขาเป็นใบรับรองสั้น ๆ (นั่นคือมีค่าคงที่

เช่นนั้นสำหรับพหุนามทุกครั้งคุณสามารถเขียนรากของมันในบิต

โดยที่

คือ จำนวนบิตที่จำเป็นสำหรับการเขียนพหุนาม) แต่ถ้ามีอัลกอริธึม NP จะมีอัลกอริธึมเอ็กซ์โพเนนเชียลเวลาเล็กน้อย: เพียงระบุใบรับรองที่เป็นไปได้ทั้งหมดและดูว่ามีใบรับรองใดทำงานได้หรือไม่

k

$k$

O (n^{k})

$O(n^k)$

n

$n$

— David Richerby

ไม่กี่ความคิดเห็น: (1) รากของ

มีค่าที่แน่นอนที่มากที่สุด

)

(2) ลำดับ Sturm สามารถใช้เพื่อแยกรากของพหุนาม (3) เราสามารถตรวจสอบว่ามีรากที่สองที่ระยะทาง

แน่นอนหรือไม่และถ้าเป็นเช่นนั้นโดยการคำนวณ GCD ของ

และ

\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x_{i}

$\sum_{i=0}^n a_i x_i$

max (1, \sum_{i = 0}^{n - 1} | a_{i} | / | a_{n} |)

$\max(1,\sum_{i=0}^{n-1} |a_i|/|a_n|)$

k

$k$

p (x)

$p(x)$

)

p (x + k)

$p(x+k)$

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus ความคิดข้างต้นของคุณสามารถใช้เพื่อตัดสินใจคำถามการตัดสินใจข้างต้นได้หรือไม่ ไม่ชัดเจนว่าสามารถใช้เพื่อตัดสินใจคำถามนี้ได้หรือไม่ในเวลาพหุนาม

— user6818

ทฤษฎีบทของ Galois กล่าวอย่างมีประสิทธิภาพกล่าวว่าเราไม่สามารถแสดงรากของพหุนามระดับ = 5 โดยใช้ฟังก์ชันเหตุผลของสัมประสิทธิ์และอนุมูล - นี่ไม่สามารถอ่านได้ว่าเป็นเพราะพหุนามไม่มีอัลกอริธึมที่กำหนดขึ้นเพื่อค้นหารากหรือไม่ " ไม่เนื่องจากอัลกอริทึมเวลาพหุนามมีประสิทธิภาพมากกว่าฟังก์ชั่นที่มีเหตุผล ตัวอย่างเช่นพวกเขาสามารถแยกกรณีย้ำสร้างอาร์เรย์และห่วงมากกว่าพวกเขา ฯลฯ

— sdcvvc

@ user6818 ทฤษฎีบทเกี่ยวข้องกับรูปแบบการคำนวณเฉพาะ - ฟังก์ชั่นที่มีเหตุผลของอนุมูล หากคุณเปลี่ยนรูปแบบจะไม่มีผลอีกต่อไป ตัวอย่างเช่นตาม MathWorld mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.htmlเป็นไปได้ที่จะแก้สมการระดับ 5 โดยใช้ฟังก์ชัน Jacobi theta หากคุณพอใจกับอัลกอริธึมที่คืนค่ารูตภายใน 0.01 (หรือที่ได้รับ

) ทฤษฎีบทของ Galois จะไม่ตัดสิทธิ์ของวิธีการนี้อีกต่อไปเนื่องจากตัวเลขใด ๆ สามารถประมาณได้ด้วยเหตุผล

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

— sdcvvc

คำตอบ:

การเชื่อมต่อที่น่าสนใจอย่างไรก็ตามทฤษฎี Galois ระบุว่าไม่มีวิธี (ที่สอดคล้องกัน) สำหรับการค้นหารากของ quintic โดยใช้อนุมูลแทนที่จะบอกว่าปัญหามีทางออก (เช่นเส้นทางที่ยาวที่สุด) ซึ่งอาจต้องใช้เวลาพหุนามสูง ดังนั้นฉันจะบอกว่ามันเกี่ยวข้องกับความไม่แน่นอนมากกว่าความซับซ้อน

Specificaly ในทฤษฎีของ Galois เราจะสร้างส่วนขยายกลุ่มของรากของสมการอย่างต่อเนื่องในแบบทีละขั้นตอน (เพิ่มทีละหนึ่งรูต) และกลุ่มทั้งหมดเหล่านี้ควรแก้ไขได้ในแง่หนึ่งไม่ควรมีความกำกวมในกระบวนการสร้างส่วนขยายเหล่านี้ในลำดับอื่น มีเป็นคำถามที่เกี่ยวข้องใน MO อยู่กับความซับซ้อนของการสร้างกลุ่ม Galois ของสมการ

อีกหนึ่งการอ้างอิงที่นี่"ทฤษฎีกาแลคซีการคำนวณ: นักลงทุนและการคำนวณเกิน ", CLAUS FIEKER JURGEN KLUNERS $\mathbb{Q}$

นอกจากนี้หนึ่งสามารถ systematicaly เป็นตัวแทนของรากของ euqation พหุนามโดยใช้อนุมูล (เมื่อสมการสามารถแก้ไขได้โดยใช้อนุมูล) ขึ้นอยู่กับการก่อสร้างของกลุ่ม Galois (s) ของสมการ Ref: "การเป็นตัวแทนของรากแบบพหุนามอย่างรุนแรง, Hirokazu Anai Kazuhiro Yokoyama 2002

ความซับซ้อนในการคำนวณของการพิจารณาว่า monyn ลดพหุนาม monic มากกว่าจำนวนเต็ม , สามารถละลายได้โดยอนุมูลอยู่ใน Ref "การแก้ปัญหาโดย Radicals อยู่ในเวลาพหุนาม", S. Landau GL Miller 1984 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{P}$

การสำรวจ"เทคนิคสำหรับการคำนวณกลุ่ม Galois" ล่าสุด Alexander Hulpke

แน่นอนถ้าจะมองหาขั้นตอนวิธีการที่ดีในการประมาณและความซับซ้อนของพวกเขา (วิธีเช่นนิวตันหรือพายุทฤษฎีบท) นี่เป็นคำถามที่แตกต่างกันเล็กน้อยและคำตอบเอาไว้แล้วให้ข้อมูลเพิ่มเติมในทิศทางนั้น

— Nikos M.
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! ดูเหมือนว่าฉันบังเอิญถามตัวเองด้วยคำถามที่น่าตื่นเต้นมาก!

— user6818

@ user6818 ขอบคุณคำตอบที่อัปเดตพร้อมข้อมูลเพิ่มเติมและข้อมูลอ้างอิงเพิ่มเติม

— Nikos M.

ฉันถือว่าคุณกำลังพิจารณาพหุนามกับค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

คุณได้รับจุดเริ่มต้นที่ผิดสำหรับการตรวจสอบของคุณ เป้าหมายของคุณคือการหาค่าประมาณที่ดีสำหรับรากที่แท้จริง กำลังมองหาสูตรพีชคณิตเพื่อให้คุณสามารถประเมินความแม่นยำเพียงพอเป็นสิ่งที่คุณสามารถทำได้ แต่ไม่ใช่สิ่งที่ถูกต้องที่จะทำที่นี่ (เว้นแต่แน่นอน " kรากที่แท้จริงที่ใหญ่ที่สุดของพหุนาม" เป็นหนึ่งในการดำเนินงานเกี่ยวกับพีชคณิตของคุณ)

จุดเริ่มต้นที่ดีกว่าคือการใช้ทฤษฎีบทของ Sturmเพื่อแยกรากของพหุนาม จากนั้นคุณสามารถสร้างการประมาณที่ดีขึ้นโดยการค้นหาแบบไบนารี แต่ถ้าช้าเกินไปคุณสามารถใช้วิธีของนิวตันเพื่อสร้างการประมาณการที่มีความแม่นยำสูงได้อย่างรวดเร็ว

แต่นั่นเป็นเพียงการค้นหาใบรับรอง ยังคงมีคำถามว่าใบรับรองใดที่มีอยู่

ปิดครั้งแรกผมจะชี้ให้เห็นว่าคุณโดยตรงสามารถคำนวณหรือไม่สองของรากเป็นว่า หน่วยออกจากกันเช่นโดยการคำนวณ )คุณจะต้องตัดสินใจว่าคุณต้องการทำอะไรเกี่ยวกับการหยั่งรากซ้ำและจัดการอย่างเหมาะสม ฉันคิดว่าคุณจะจัดการกับกรณีเหล่านี้เป็นพิเศษ $k$ $\gcd(p(x), p(x-k))$

หากเรารู้ว่ารากทั้งสองนั้นไม่แยกหน่วยแน่นอนนั่นหมายความว่าคุณสามารถประเมินความแม่นยำที่เพียงพอเพื่อพิสูจน์ว่าพวกเขานั้นมีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าหน่วยเช่นมีใบรับรองสองชนิด: $k$ $k$

ชนิดแรก (พิสูจน์ในเชิงลบ) คือ

ไม่ใช่รากของ $a$ $p$
ไม่มีรากใน $p$ $(a-k, a)$
มีสามรากใน $p$ $(a, \infty)$

ชนิดที่สอง (พิสูจน์ในเชิงบวก) คือ

ไม่ใช่รากของ $a$ $p$
มีรากอย่างน้อยสองรากใน $p$ $(a-k,a)$
มีสองรากใน $p$ $(a, \infty)$

ใบรับรองสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ทฤษฎีบทของ Sturm ตอนนี้คำถามของคุณเกี่ยวกับขนาดของใบรับรองเดือดลงไปค้นพบวิธีการหลายบิตของความแม่นยำที่คุณต้องการที่จะเป็นตัวแทน $a$

ในคำอื่น ๆ สิ่งที่มีขอบเขตเกี่ยวกับค่าที่เป็นไปได้ของที่เป็นรากของ ? $a-b-k$ $a,b$ $f$

ฉันไม่แน่ใจว่าวิธีการที่ยอดเยี่ยม แต่สิ่งหนึ่งที่ควรให้บางสิ่งแก่คุณคือการสังเกตว่าค่าเหล่านี้ทั้งหมดเป็นรากของพหุนาม:

g (x) = {Res}_{y} (f (y), f (x + y + k))

$g(x) = \mathop{\text{Res}_y}(f(y), f(x + y + k))$

ทำไม? จำได้ว่าผลลัพธ์ของพหุนาม monic สองอันเป็นผลผลิตของความแตกต่างทั้งหมดของรากดังนั้น

g (x) = c^{d^{2}} \prod_{a, b} (b - (a - x - k)) = \prod_{a, b} (x - (a - b - k))

$g(x) = c^{d^2} \prod_{a,b}(b - (a - x - k)) = \prod_{a,b} (x - (a-b-k))$

$c$ $d$ $f$ $-g(x)$ $g(x)$ ; I'm never sure on the sign)

So the question is to find estimates for how large the coefficients $g$ can be, and then once you know that, find estimates to how close a root of $g$ can be to zero.

(or, alternatively, find the largest magnitude that a root of the reverse polynomial of $g$ can have; the roots of the reverse polynomial are the inverses of the roots of $g$ )

Are there any issues about data representation, here? NP is fundamentally about Turing machines and it's not immediately obvious how that relates to real numbers or the number of bits required to write down rationals of sufficient precision. (I'm sorry to not be very constructive: I know enough to know this might be a problem but not enough to know whether it really is a problem or, if it is, how to resove it.)

— David Richerby

@DavidRicherby: I'm assuming the inputs are essentially just the coefficients of the polynomial written in binary, and my expectation is that the number of bits you need to represent

a

$a$ in binary will be bounded by a polynomial function of the number of bits of input. If we use two parameters, the number of bits of input and the degree of the polynomial, then I'm nearly certain that the number of bits you need for

a

$a$ will be polynomial in the number of bits of input, but I'm less sure exactly how it will depend on the degree.

The input as a list of coefficients makes perfect sense. But your assumptions about the precision needed to represent the roots definitely need to be checked. For example, the reason that Hilbert's tenth problem (solving Diophantine equations) is undecidable is essentially that you can't bound the length of the solution in terms of the length of the input. That's not directly applicable here, since we only have one variable and we're not looking for integer solutions, but it does ask a pretty big question about the assumption of boundedness.

— David Richerby

@David: The theory of real closed fields is dramatically different than number theory; intuition about one doesn't really translate well to the other.

What if two roots are

k + 2^{- 2^{2^{n}}}

$k+2^{-2^{2^n}}$ apart or

k - 2^{- 2^{2^{n}}}

$k-2^{-2^{2^n}}$ apart? Producing an estimate of sufficient precision can be hard.

— Yuval Filmus

am going to take your questions as mostly open ended. the galois proof now known as the Abel-Ruffini thm shows the impossibility of polynomial solutions to the quintic. (in contrast to eg the quadratic equation). so its not really a result on the hardness of a problem per se but rather the impossibility. in this sense it is more analogous to eg a proof of undecidability of the halting problem. complexity theory is in general concerned with the "cost" of computing solutions. that is the viewpoint of two leading CS researchers in the introductory section of this following paper (Computability and Complexity / Kleinberg & Papadimitriou), sec 1 The Quest for the Quintic Formula:

Viewed from the safe distance of a few centuries, the story is clearly one about com- putation, and it contains many of the key ingredients that arise in later efforts to model computation: We take a computational process that we understand intuitively (solving an equation, in this case), formulate a precise model, and from the model derive some highly unexpected consequences about the computational power of the process. It is precisely this approach that we wish to apply to computation in general.

elsewhere a loose/ general analogy might be that a P $\neq$ NP proof (or other complexity class separation) is analogous to a computational impossibility result somewhat like the Abel-Ruffini thm. a separation result says roughly that problems of a certain type cannot be solved with "computational resources" of another certain type. a P $\neq$ NP theorem would be viewed as a (monumental) computational impossibility result.

— vzn
แหล่งที่มา

I'm not sure that the halting problem is a good analogy, since it's more along the lines of "you can't compute the answer" rather than "there isn't an answer at all".

Isn't Galois theorem a computational impossibility result just like the Halting problem?

— user6818