มีความสัมพันธ์ที่เป็นรูปธรรมระหว่างทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของGödelปัญหาการหยุดชะงักและเครื่องจักรทัวริงสากลหรือไม่?

75

ฉันมักจะคิดราง ๆ ว่าคำตอบของคำถามข้างต้นนั้นยืนยันตามบรรทัดต่อไปนี้ ทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของGödelและ undecidability ของปัญหาการหยุดชะงักทั้งสองเป็นผลเชิงลบเกี่ยวกับความสามารถในการตัดสินใจและสร้างขึ้นโดยการโต้แย้งในแนวทแยง (และในปี 1930) ดังนั้นพวกเขาจะต้องมีสองวิธีในการดูเรื่องเดียวกัน และฉันคิดว่าทัวริงใช้เครื่องทัวริงสากลเพื่อแสดงว่าปัญหาการหยุดชะงักไม่สามารถแก้ไขได้ (ดูคณิตศาสตร์นี้คำถามSE .)

แต่ตอนนี้ที่ (สอนหลักสูตรในการคำนวณ) ฉันมองเข้าไปในเรื่องเหล่านี้ฉันค่อนข้างสับสนกับสิ่งที่ฉันพบ ดังนั้นฉันต้องการความช่วยเหลือในการยืดความคิดของฉันออกไป ฉันรู้ว่าในอีกด้านหนึ่งการโต้แย้งในแนวทแยงของGödelนั้นลึกซึ้งมาก: มันต้องใช้งานจำนวนมากเพื่อสร้างคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่สามารถตีความได้ว่าพูดอะไรบางอย่างเกี่ยวกับความสามารถในการเป็นของตัวเอง ในทางกลับกันการพิสูจน์ความลังเลของปัญหาการหยุดชะงักที่ฉันพบที่นี่นั้นง่ายมากและไม่ได้กล่าวถึงเครื่องจักรทัวริงอย่างชัดเจนแม้แต่การมีอยู่ของเครื่องจักรทัวริงสากล

คำถามเชิงปฏิบัติเกี่ยวกับเครื่องจักรทัวริงสากลคือไม่ว่าจะมีความสำคัญใด ๆ ที่ตัวอักษรของเครื่องจักรทัวริงสากลเป็นเช่นเดียวกับเครื่องจักรทัวริงที่เลียนแบบ ฉันคิดว่ามันเป็นสิ่งที่จำเป็นเพื่อสร้างการโต้แย้งในแนวทแยงที่เหมาะสม (มีเครื่องจำลองตัวเอง) แต่ฉันไม่พบความสนใจใด ๆ กับคำถามนี้ในคอลเลกชันที่ทำให้สับสนของคำอธิบายของเครื่องจักรสากลที่ฉันพบในอินเทอร์เน็ต หากไม่ใช่สำหรับปัญหาการหยุดชะงักทัวริงของเครื่องจักรสากลมีประโยชน์ในการโต้แย้งแนวทแยงหรือไม่?

ในที่สุดฉันก็สับสนโดยส่วนต่อไปนี้ของบทความ WP เดียวกันซึ่งบอกว่ารูปแบบที่อ่อนแอของความไม่สมบูรณ์ของGödelดังต่อไปนี้จากปัญหาการหยุดชะงัก: "axiomatisation axiomatisation ที่สมบูรณ์สอดคล้องและเสียงของคำสั่งทั้งหมดเกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติเป็นสิ่งที่ไม่สามารถทำได้" ที่ "เสียง" ควรจะอ่อนตัวลง ฉันรู้ว่าทฤษฎีนั้นมีความสอดคล้องกันหากเราไม่สามารถได้มาซึ่งความขัดแย้งและทฤษฎีที่สมบูรณ์เกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติดูเหมือนจะหมายความว่าข้อความจริงทั้งหมดเกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติสามารถได้มาในนั้น ฉันรู้ว่าGödelกล่าวว่าทฤษฎีดังกล่าวไม่มีอยู่จริง แต่ฉันล้มเหลวที่จะเห็นว่าสัตว์ในสมมุติฐานนั้นอาจจะฟังดูไม่เป็นเช่นกล่าวได้รับมาซึ่งเป็นเท็จสำหรับจำนวนธรรมชาติ: การปฏิเสธของคำสั่งดังกล่าวจะเป็นจริง และโดยสมบูรณ์แล้วก็สืบเนื่องซึ่งจะขัดแย้งกับความมั่นคง

ฉันขอขอบคุณการชี้แจงใด ๆ ในประเด็นเหล่านี้

— Marc van Leeuwen
แหล่งที่มา

คุณมีปัญหาด้านความคิดหนึ่งประการ: ความสามารถในการถอดรหัสได้ของอัลกอริทึม การพิสูจน์ได้ (logics) เป็นสองแนวคิดที่แตกต่างกันมาก คุณดูเหมือนจะใช้ "decidability" สำหรับทั้งคู่

— Raphael

1

@ ราฟาเอล: ฉันตระหนักดีว่ามีความแตกต่างทางความคิดขนาดใหญ่ระหว่างงบของทฤษฎีบทที่ไม่สมบูรณ์และ undecidability ของปัญหาการหยุดชะงัก อย่างไรก็ตามรูปแบบเชิงลบของความไม่สมบูรณ์: ระบบราชการที่ทรงพลังไม่สามารถมีความสอดคล้องและสมบูรณ์ได้จึงแปลเป็นคำอธิบายที่ไม่สามารถอธิบายได้: เนื่องจากเซตของทฤษฎีบทสามารถอนุมานได้ในระบบที่เป็นทางการคือกึ่ง decidable โดยการก่อสร้าง - ทฤษฎีกึ่ง decidable เช่นกัน (เป็น negations ของ theorems, สมมติความสอดคล้อง, หรืออื่น ๆ เป็นชุดว่าง), จึง decidable

— Marc van Leeuwen

ใช่จริง ๆ แล้วหลักฐานทั้งสองนั้นมีความคล้ายคลึงกันอย่างมากและในความเป็นจริงวิธีหนึ่งในการมองดูก็คือ Godel ได้สร้างตรรกะที่สมบูรณ์แบบของทัวริงในทางคณิตศาสตร์ มีหนังสือหลายเล่มที่ชี้ให้เห็นความเท่าเทียมกันทางความคิดนี้ เช่น Godel Escher Bach โดย hofstadter หรือ Emperors New Mind โดย penrose ....

— vzn

ค่อนข้างเกี่ยวข้อง ... ฉันมักเข้าใจผิดว่าเป็นสัญลักษณ์ของ Hofstadter ที่ Tortoise เก็บเครื่องเล่นแผ่นเสียงของ Achilles เอาไว้ใช้กับปัญหาการหยุดชะงัก ที่จริงแล้วฉันพบกระทู้นี้โดย (อีกครั้ง) ค้นหาความสับสนของฉัน ฉันยังรู้สึกว่า parabel แปลอย่างเป็นธรรมชาติมากขึ้นและตรงไปที่ปัญหาการหยุดชะงัก แต่สิ่งนี้ไม่เข้าใจทฤษฎีบทใดทฤษฎีหนึ่งอย่างลึกซึ้ง

— micans

32

ฉันแนะนำให้คุณตรวจสอบโพสต์บล็อกของ Scott Aaronson เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ผ่านเครื่องทัวริงและทฤษฎีของ Rosser's การพิสูจน์ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเขานั้นง่ายมากและง่ายต่อการติดตาม

— Marcos Villagra
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับลิงค์นี้ฉันจะยอมรับตอนนี้เพราะใกล้จะถึงข้อกังวลของฉันแล้ว ในตอนแรกฉันค่อนข้างจะถูกรบกวนแม้ว่า: ฉันเข้าใจผิด "สมบูรณ์" เพื่อหมายถึง "ความจริงทุกอย่างเป็นไปได้" (การสนทนาที่ฟัง) มากกว่า "ถ้าไม่สามารถสืบหาได้แล้วคือ" (เป็นการสนทนาที่สอดคล้องกัน) Scott Aaronson ดูเหมือนจะเชื่อในความหมายของ "สมบูรณ์" ที่เห็นได้ชัดต่อผู้ชมแม้ว่าเขาจะดูเหมือนจะไม่ถือว่าเป็นผู้ชมนักลอจิสติกส์ ด้วยความเข้าใจผิดของฉันสิ่งที่เขาเขียนไม่สมเหตุสมผล เมื่อพบข้อผิดพลาดของฉันฉันพบว่าโพสต์น่าสนใจมาก

P

$P$

\neg P

$\lnot P$

— Marc van Leeuwen

1

มีหลักฐานอีกข้อหนึ่งในหลอดเลือดดำที่คล้ายกันในหนังสือ The Nature of Computation ( amazon.com/gp/cdp/member-reviews/A2DGFHJVZ92HVI/ … ) ในบทเกี่ยวกับการคำนวณ ที่นั่นผู้เขียนหลีกเลี่ยงการใช้ทฤษฎีบทของ Rosser และสมมติว่ามีเครื่องสากล (เช่นวิทยานิพนธ์ของโบสถ์ - ทัวริง) การอ้างอิงที่แน่นอนคือส่วน 7.2.5 หน้า 238

— Marcos Villagra

21

คำตอบของ Neel Krishnaswami สำหรับปัญหาการหยุดชะงัก, ชุดที่ไม่สามารถคำนวณได้: การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ทั่วไป? ที่ CSTheoryให้กับการอ้างอิงที่เชื่อมโยงผลลัพธ์ข้างต้นภายใต้ทฤษฎีหมวดหมู่

— Suresh
แหล่งที่มา

1

บทความนี้ไม่ได้กล่าวถึงในคำตอบ cstheory (แต่อยู่ในความคิดเห็นของโพสต์บล็อกของAndrej Bauerจากคำตอบ) แต่อาจเป็นภาพรวมที่ดีเช่นกัน

— Artem Kaznatcheev

นี่คือการเชื่อมต่อที่อิงจากความคล้ายคลึงกันของการพิสูจน์แทนที่จะเป็นนัยระหว่างผลลัพธ์ไม่ใช่เหรอ?

— Raphael

1

ทีนี้มุมมองในบทความที่อาร์เทมเชื่อมโยงไปถึงคือสิ่งเหล่านี้ล้วนเป็นปรากฏการณ์ทางทฤษฎีหมวดหมู่เดียว

— Suresh

16

(นี่ควรจะเป็นการแสดงความคิดเห็นต่อคำตอบของ Suresh แต่มันยาวเกินไปที่จะใส่ตรงนั้นดังนั้นฉันจึงขออภัยล่วงหน้าว่าไม่ได้ตอบคำถามของ Marc จริงๆ)

ฉันพบคำตอบของ Neel ปัญหาการหยุดชะงัก, ชุดที่ไม่สามารถคำนวณได้: การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ทั่วไป? ใน โพสต์บล็อกของ CSTheoryและAndrej Bauerไม่น่าพอใจด้วยเหตุผลสองประการ

อันดับแรกเราไม่จำเป็นต้องมีศัพท์แสงหมวดหมู่ตามทฤษฎีทั้งหมดเพื่ออธิบายการเชื่อมต่อ การดำรงอยู่ของภาษา undecidable ส่อให้เห็นโดยทฤษฎีบทของคันทอร์ซึ่งมีหลักฐานในแนวทแยงเบื้องต้น เหตุผลก็คือว่าชุดของโปรแกรมคือ equinumerous จะ{N} บนมืออื่น ๆ เนื่องจากแต่ละภาษาสามารถมองเห็นเป็นส่วนย่อยของและทำให้ชุดของทุกภาษาคือ equinumerous ไป{N}) โดยทฤษฎีบทของคันทอร์ไม่มีการโต้เถียงจากไปที่และทำให้เรารู้ว่าต้องมีภาษาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$

ประการที่สองการพิสูจน์ข้างต้นไม่เป็นที่น่าพอใจเนื่องจากเราต้องการ "ดู" ตัวอย่างของภาษาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ที่สมเหตุสมผล หลักฐานข้างต้นสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นข้อโต้แย้งที่นับและดังนั้นจึงไม่ได้ "สร้างสรรค์" ในแง่นั้น ทัวริงค้นพบปัญหาการหยุดชะงักเป็นตัวอย่างเช่น

— Dai
แหล่งที่มา

+1 นี่เป็นวิธีที่ง่ายกว่า แต่ฉันยังคงสงสัยในสิ่งนี้: "และเรารู้ว่าต้องมีภาษาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้" คุณสามารถระบุความแตกต่างระหว่างภาษาที่ undecidable และปัญหา undecidable ได้หรือไม่?

— Hernan_eche

1

@ Hernan_e ไม่มี "ความแตกต่าง" จริงๆ ปัญหาการตัดสินใจในทางทฤษฎีการคำนวณสามารถกำหนดเป็นใด ๆ ใช่หรือไม่คำถามเกี่ยวกับชุดของปัจจัยการผลิต * ดังนั้นเราสามารถกำหนดปัญหาการตัดสินใจแต่ละรายการให้กับชุดของอินพุตที่คำตอบคือใช่ ชุดภาษาที่กำหนดโดยปัญหาP

x \in Σ^{*}

$x\in \Sigma^*$

P

$P$

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

L

$L$

P

$P$

— Dai

เข้าใจคุณชัดเจนฉันเห็นด้วยกับข้อโต้แย้งที่นับได้ว่าไม่เป็นที่น่าพอใจอย่างสมบูรณ์ แต่ถึงแม้จะไม่มีตัวอย่างก็ตามฉันคิดว่าส่วนที่แย่ที่สุดคือไม่มีที่สิ้นสุด เป็นภาษา undecidable จะดีที่จะขยาย (ดีกว่ากล่าวเพื่อจำกัด ) เหตุผลสำหรับกรณีที่ จำกัด (ฉันไม่ได้ขอตัวอย่างของปัญหา undecidable) แต่หลักฐานที่คล้ายกัน (หรือ disproof) ถูกต้องสำหรับชุดแน่นอน ของอินพุตที่ได้รับการยอมรับแทน

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

N

$\mathbb{N}$

— Hernan_eche

แต่การโต้แย้งในแนวทแยงย่อมเป็นข้อพิสูจน์ที่สร้างสรรค์ ตามการลดลงของทฤษฎีบทของคันทอร์ภาษาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้คือชุดของเครื่องทั้งหมดที่การเข้ารหัสไม่ได้อยู่ในภาษาที่ยอมรับได้

— Willard Zhan

6

เครื่องจักรทัวริงทัวริงมีประโยชน์สำหรับการโต้แย้งในแนวทแยงเช่นในการแยกบางคลาสในลำดับชั้นของเวลาหรือความซับซ้อนของพื้นที่ : เครื่องอเนกประสงค์ถูกใช้เพื่อพิสูจน์ว่ามีปัญหาในการตัดสินใจในแต่ไม่ได้อยู่ใน2)) (ขอบเขตที่ดีกว่าสามารถพบได้ในบทความ WP) $\mbox{DTIME}(f(n)^3)$ $\mbox{DTIME}(f(n/2))$

อย่างไรก็ตามหากพูดอย่างตรงไปตรงมาหากคุณมองอย่างใกล้ชิดเครื่องอเนกประสงค์ไม่ได้ใช้ในส่วน `ลบ ': การพิสูจน์ว่ามีเครื่องที่จะแก้ปัญหาการหยุดงานรุ่นที่ จำกัด เวลาและดำเนินการสร้าง¬KK(ไม่มีเครื่องสากลที่นี่) เครื่องอเนกประสงค์ใช้เพื่อแก้ปัญหาการหยุดชะงักในเวลา จำกัด ในเวลาที่มากขึ้น $K$ $¬KK$

— jmad
แหล่งที่มา

สำหรับ f (n) ที่ไม่แน่นอนเพียงพอ

— Yonatan N

0

"หากไม่ใช่เพราะปัญหาการหยุดชะงักทัวริงเครื่องอเนกประสงค์มีประโยชน์ในการโต้แย้งแนวทแยงหรือไม่?"

ทฤษฎีบทของข้าวนั้นเป็นลักษณะทั่วไปของการทแยงมุมกับเครื่องทัวริง มันแสดงให้เห็นว่าไม่มีคุณสมบัติใด ๆ เกี่ยวกับเครื่องจักรทัวริงที่คุณสามารถตัดสินใจได้สำหรับเครื่องจักรทัวริงทั้งหมดด้วยอัลกอริทึมเดียวเว้นแต่ว่าคุณสมบัตินั้นเก็บไว้สำหรับเครื่องจักรทัวริงทั้งหมดหรือไม่มีเครื่องทัวริง โปรดสังเกตความจริงที่ว่าการถือครองทรัพย์สินสำหรับเครื่องจักรทัวริงทั้งหมดหรือไม่มีเครื่องทัวริงป้องกันวัตถุในแนวทแยงมุมจากการเป็นเครื่องทัวริงดังนั้นจึงไม่สามารถอยู่ในรายการในสถานที่แรกที่ขัดแย้งกับการตัดสินใจเกี่ยวกับคุณสมบัติ แท้จริงนี่เป็นเพียงสิ่งเดียวเท่านั้นสิ่งที่ป้องกันไม่ให้วัตถุเส้นทแยงมุมอยู่ในรายการและขัดแย้งกับการตัดสินใจเกี่ยวกับคุณสมบัติซึ่งเป็นคุณสมบัติทั้งหมดของเครื่องจักรทัวริงที่ไม่สามารถระบุได้ รูปแบบของวัตถุเส้นทแยงมุมนี้จำเป็นต้องเป็นสมาชิกของรายการสิ่งที่คุณกำลังพยายามตัดสินใจเกี่ยวกับและยังไม่เห็นด้วยกับการตัดสินใจเป็นสิ่งที่เป็นนามธรรมที่สำคัญที่ทฤษฎีบทของ Lawvere (อ้างอิงในลิงก์ในคำตอบของ Suresh) เพื่อสรุปแนวความคิดของเส้นทแยงมุมอย่างเต็มที่ ตอนนี้เนื่องจากเรารู้จากประสบการณ์ว่าเกือบทุกเส้นทแยงมุมดูเหมือนจะมีคุณสมบัติร่วมกันที่นำไปสู่ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างยิ่งในตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่ทำให้ทฤษฎีบทของ Lawvere ค่อนข้างเป็นเครื่องมือที่น่าสนใจ

— stoopkid
แหล่งที่มา