Mandelbrot ตั้งค่าในแง่ใด?

ทาจิกิสถานเป็นสิ่งมีชีวิตที่สวยงามในวิชาคณิตศาสตร์

มีภาพที่สวยงามมากมายของชุดนี้ที่สร้างขึ้นด้วยความแม่นยำสูงดังนั้นชุดนี้จึง "คำนวณได้" ในบางแง่มุม

อย่างไรก็ตามสิ่งที่เกี่ยวข้องกับฉันคือความจริงที่ว่ามันไม่ได้นับซ้ำซ้ำได้ - เพราะชุดนั้นนับไม่ได้ สิ่งนี้สามารถแก้ไขได้โดยกำหนดให้มีการแสดงจุด จำกัด บางอย่าง

นอกจากนี้แม้ว่าเราจะรู้แน่นอนว่ามีหลายจุดอยู่ในฉากและคนอื่น ๆ ไม่ได้ แต่ก็มีหลายจุดที่สมาชิกในกลุ่มเราไม่รู้ ภาพทั้งหมดที่เราเคยเห็นอาจมีหลายจุดที่ "ซ้ำซ้ำไม่เกิน" แต่คะแนนเหล่านั้นอาจไม่ได้เป็นของจริง

ดังนั้นสำหรับจุดที่กำหนดด้วยการนำเสนอที่ จำกัด ปัญหา "จุดนี้เป็นของชุดหรือไม่" ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ว่าสามารถตัดสินได้ถ้าฉันพูดถูก

ทีนี้เราสามารถพูดได้ว่าในความหมาย (ตามคำจำกัดความ) ว่าชุด Mandelbrot คือ "คำนวณ"?

มีหลายวิธีในการกำหนดความหมายของชุด Mandelbrot ที่คำนวณได้ คำจำกัดความที่เป็นไปได้ประการหนึ่งคือโมเดล Blum – Shub – Smale ในรูปแบบนี้การคำนวณที่แท้จริงถูกสร้างแบบจำลองโดยเครื่องที่คล้ายกับเครื่อง RAM ซึ่งการเข้าถึงตัวเลขจริงนั้น จำกัด เฉพาะการคำนวณและการเปรียบเทียบขั้นพื้นฐาน Blum and Smaleแสดงให้เห็นว่าชุด Mandelbrot นั้นไม่สามารถคำนวณได้ในรุ่นนี้ถึงแม้ว่าส่วนประกอบนั้นสามารถนับจำนวนซ้ำได้โดยใช้อัลกอริทึมแบบดั้งเดิมที่ใช้ในการวาด

อีกรูปแบบหนึ่งคือการวิเคราะห์ที่คำนวณได้ซึ่งชุด Mandelbrot อาจคำนวณได้ดังที่แสดงโดยHertling (มีเงื่อนไขในการคาดเดาที่เชื่อกันอย่างกว้างขวาง ในโมเดลนี้การคำนวณชุด Mandelbrot หมายถึงความสามารถในการคำนวณค่าประมาณของชุด Mandelbrot ภายในความแม่นยำที่ต้องการ (สำหรับคำจำกัดความที่แน่นอนดูการอ้างอิงการวิเคราะห์ที่คำนวณได้)

ทำไมคอมพิวเตอร์จึงดูเหมือนว่าจะสามารถวาดชุด Mandelbrot ได้? ปัญหาหลักในการแสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมแบบดั้งเดิมทำงานได้ยากที่จะบอกล่วงหน้าว่าจะต้องทำซ้ำหลายครั้งก่อนที่เราจะตัดสินใจว่าจุดนั้นเป็นของชุด Hertling แสดงให้เห็นว่าหากการคาดคะเนการไฮเปอร์โบลิคที่เชื่อกันอย่างแพร่หลายนั้นมีอยู่เช่นนั้น สมมุติว่าโปรแกรมรอนานพอสมควร หรือพวกเขาไม่รอนานพอเพียง แต่ได้คะแนนเพียงเล็กน้อยเท่านั้น

โดยทั่วไปชุด Mandelbrot นั้นไม่สามารถคำนวณได้ (เท่าที่เรารู้) ความจริงที่ว่าคุณเห็นภาพไม่ได้หมายความว่ามันคำนวณได้ รูปภาพเหล่านั้นกำลังประมวลผลโดยใช้การประมาณ: หากกระบวนการทำงานนานกว่าขีด จำกัด ที่กำหนดไว้ในรูปแบบฮิวริสติกรหัสจะถือว่ามันจะไม่สิ้นสุด ฮิวริสติกนี้อาจผิดและเป็นผลให้ภาพเหล่านั้นอาจไม่ถูกต้อง 100% กล่าวอีกนัยหนึ่งรูปภาพเหล่านั้นไม่ใช่ภาพของชุด "Mandelbrot" มันเป็นของชุด Mandelbrot