ทำไมคลาส NP-Complete จึงสำคัญเมื่อเทียบกับ NP-hard

ฉันกำลังศึกษาความซับซ้อนในการคำนวณและฉันก็สงสัยว่าทำไมปัญหา NP-Complete (NPC) จึงเป็นสิ่งสำคัญสำหรับทุกคน ฉันพบว่าชัดเจนว่าเหตุใดเราจึงสนใจแสดงปัญหา NP ที่ระบุคือ NP-hard

ฉันยังเข้าใจความหมายของ NPC และการแสดงปัญหาการตัดสินใจที่กำหนดคือ NP-hard รู้ว่ามันอยู่ใน NP คือ NPC หมายถึงอย่างแน่นอน

อย่างไรก็ตามสิ่งที่ฉันไม่เข้าใจคือ: ทำไมแนวคิดนี้จึงสำคัญ? แน่นอนถ้าเราพบใด ๆ อัลกอริทึม NP-ยากซึ่งจะทำงานในเวลาที่ P (หรือไม่ที่อยู่ใน NP) เราได้แสดงให้เห็นว่าP$NP = P$

เหตุใดแนวคิดนี้จึงสำคัญมาก

มีเหตุผลบางอย่างที่ NPC น่าสนใจ:

• คลาส NP มีปัญหามากมายที่น่าสนใจ (ทั้งในทางปฏิบัติและในทางทฤษฎี) ยิ่งไปกว่านั้นปัญหาเหล่านี้กลายเป็นปัญหายาก (และดังนั้นปัญหาสมบูรณ์) แต่ปัญหามากมายนอก NP แทบจะยากเกินไปที่จะเป็น มากกว่าความสนใจเชิงทฤษฎีดังนั้น NPC จึงจัดให้มีกลุ่มของปัญหา (หยาบ) ที่เห็นได้ชัดว่าแข็ง แต่ไม่ยากมากจนเราไม่สามารถทำอะไรกับพวกเขาได้
  กล่าวอีกนัยหนึ่ง NPC อาจเป็นข้อ จำกัด ของสิ่งที่เราหวังว่าจะสามารถแก้ไขได้แบบพหุนามเวลามันดูเหมือนจะยืด PSPACE = P (ตัวอย่าง)
• คลาสคือ NP เป็นโครงสร้างที่น่าสนใจ มันเป็นตัวอย่างพื้นฐานของ "เราจะได้ 'ความเร็ว' การคำนวณใด ๆ เพิ่มเติมจาก nondeterminism" ดังนั้นเราจึงสนใจว่า P = NP หรือไม่และ NPC เป็น (อาจ) องค์ประกอบที่สำคัญของการทำงานนั้น
• NP-hard (ในชั้นเรียน) มีขนาดใหญ่เกินไปและหลากหลายเกินกว่าที่จะจัดการกับสิ่งใดสิ่งหนึ่งได้ทุกอย่างที่สามารถลดลงได้จากปัญหาที่เกิดขึ้นจากปัญหา NP-completeรวมถึงสิ่งที่อยู่นอก NP ขนาดใหญ่ดังนั้นจากจุด มุมมองของการพยายามพัฒนาผลลัพธ์และเทคนิคทั่วไปไม่มีอะไรให้ทำ

จากมุมมองของคนที่เขียนโค้ดเพื่อการใช้ชีวิตการมีความคุ้นเคยที่ดีกับปัญหาความสมบูรณ์แบบเป็นสิ่งสำคัญสำหรับ:

1. จดจำเมื่อคุณเห่าต้นไม้ผิด

ปัญหาที่สมบูรณ์แบบของ NP เป็นปัญหาที่ยากที่สุดของปัญหา NP และสมบูรณ์ที่สุดเท่าที่เราสามารถบอกได้มันต้องใช้เวลาชี้แจงถึงขนาดของอินพุตเพื่อแก้ไขปัญหาการตัดสินใจ ดังนั้นตามความเป็นจริงหากคุณสามารถแสดงให้เห็นว่าปัญหาที่คุณกำลังพยายามแก้ไขนั้นคือ NP-hard (โดยปกติแล้วแสดงให้เห็นว่าวิธีแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพสำหรับมันก็จะให้วิธีแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหา NP-Complete ด้วย) คุณสามารถหยุดค้นหาอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพเพื่อแก้ปัญหาโดยทั่วไป แต่คุณสามารถเลือกจากอัลกอริทึมที่รู้จักซึ่งให้การประมาณที่ดีสำหรับปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ NP-hard และเข้าสู่ส่วนที่เหลือของโครงการของคุณ

2. ค้นหาต้นไม้ที่เหมาะสม

เพราะคอมพิวเตอร์มักจะถูกใช้ในการโจมตีปัญหา NP-ยากแก้เฉพาะได้รับการพัฒนาที่มีประสิทธิภาพสามารถแก้บางกรณีปัญหา NP-ยาก การรับรู้ว่าปัญหาของคุณคือ NP-complete เป็นขั้นตอนแรกในการค้นหาเครื่องมือที่มีอยู่ (SAT, ILP, SMT, CSP เพื่อตั้งชื่อไม่กี่) ที่อาจช่วยให้คุณค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาที่แน่นอนในบางกรณีที่คุณจะต้องชำระ การประมาณ

"แน่นอนถ้าเราพบอัลกอริธึม NP-hard ใด ๆ ที่ทำงานในเวลา P (หรือไม่นั้นอยู่ใน NP) เราได้แสดงว่า NP = P ทำไมแนวคิดนี้จึงสำคัญ?

ปัญหา NP ทุกข้อจะลดปัญหา NPC ใด ๆ แต่ก็ไม่เป็นความจริงที่ว่าปัญหา NP ทุกข้อจะลดปัญหา NP ยากใด ๆ ดังนั้นการพิสูจน์อัลกอริทึม NP-hard ที่เป็น P ไม่ได้พิสูจน์ P = NP เลย อย่างไรก็ตามในกรณีของปัญหา NPC นั่นคือสิ่งที่ "ลด" หมายถึง ดังนั้นหากเราพบอัลกอริทึม P สำหรับปัญหา NPC ดังนั้นเราจะได้พิสูจน์ว่า P = NP